Physikalische Anwendungen II

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1 Physikalische Anwendungen II Übungsaufgaben - usterlösung. Berechnen Sie den ittelwert der Funktion gx = x + 4x im Intervall [; 4]! ittelwert einer Funktion: f = b fxdx b a a ḡ = 4 x + 4x dx = [ ] x3 + x = [ 64 ] = 8 3. Ein Radfahrer fährt eine hügelige Strecke von 6 km Länge. Bergauf beträgt seine Geschwindigkeit km/h, bergab läßt er sich mit 4 km/h rollen. Ebene Streckenabschnitte sollen nicht vorkommen. a Berechnen Sie die Fahrtdauer t d und stellen Sie die Geschwindigkeit v des Radfahrers in Abhängigkeit von der Zeit t grafisch dar! b Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit v, wenn sich die Strecken für Tal- und Bergfahrt genau entsprechen! c Zeichnen Sie die Druchschnittsgeschwindigkeit v in das Geschwindigkeits- Zeit-Diagramm ein! a/c v [k m /h ] v a b v a u f,5,,5,,5 3, 3,5 t [h ] v Abbildung : Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm.

2 b Fahrtdauer: t d = t auf + t ab = s auf v auf + s ab v ab = 3,75 h b Durchschnittsgeschwindigkeit: v = t vtdt t t t v = t auf = s auf v auf t auf + t ab t auf +t ab t ab = s ab v ab t = t = t auf + t ab vtdt = t auf + t ab t auf t auf +t ab v auf dt + v abdt t auf v = v auft auf + v ab t ab t auf + t ab = s auf + s ab s auf v auf + s ab v ab s auf =s ab = v auf v ab v auf + v ab v = 6 km/h 3. Ein Stromkreis wird mit einer Wechselspannung ut = u cosωt gespeist. An einem Widerstand wird der Strom it = i cosωt + φ gemessen. Dieser Strom ist um die Phase φ = π/4 zur Eingangsspannung ut verschoben! a Stellen Sie den zeitlichen Verlauf von Strom und Spannung in einem gemeinsamen Diagramm dar! b Berechnen Sie die mittlere Leistung P im Intervall von t = bis t = T = π/ω, die an dem Widerstand erzeugt wird! inweis: cosωt cosωt + π/4 + sinωt sinωt + π/4 = / a/b mittlere Leistung: P = t ptdt t t t pt = utit ut = u cos ωt it = i cosωt + φ t = t = T P = T u cosωti cosωt + φdt = u i T cosωt cosωt + φdt

3 b Partielle Integration: ftgt b a = b a ftg tdt + b a f tgtdt g t = cosωt ft = cosωt + φ gt = ω sinωt f t = ω sinωt + φ ω sinωt cosωt + φ T = cosωt cosωt + φdt sinωt sinωt + φdt ω sinωt cosωt + φ T T = cosωt cosωt + φdt = P = u i T cosωt cosωt+φdt adt + [ T ω sinωt cosωt + φ [ ] ω sinωt cosωt + φ + at cosωt cosωt+φdt + at ] T T = π ω φ = π 4 a = P = i u u /i u i ωt Abbildung : Zeitlicher Verlauf von Strom und Spannung. 3

4 4. Eine Kraft mit dem Betrag von 5 N wirkt unter einem Winkel von 3 zwischen Fläche und Kraftvektor auf eine mm große Fläche. Wie groß ist der dadurch entstandene Druck? Fertigen Sie eine Skizze an! Skizze: F p F F s α. Abbildung 3: Skizze zur Aufgabe 4. Druck: p = F s A = F sinα A = 75 hpa 5. Eine Staumauer mit einem trapezförmigen Querschnitt staut Wasser der öhe = m. Die Breite an der Wasseroberfläche beträgt B O = 5 m, die Sohlenbreite beträgt B S = m. a Berechnen Sie den mittleren Druck p, der auf die Staumauer wirkt! b it welcher Kraft drückt das Wasser gegen die Staumauer? inweis: Finden Sie eine Funktion, die die Breite B der Staumauer in Abhängigkeit von dessen öhe h beschreibt d.h. B = Bh und verwenden Sie die Beziehung da = Bhdh! a mittlerer Druck: p = h h h h phdh 4

5 ph = ϱgh h = h = p = phdh = p = 495 Pa ϱghdh = ϱg b Druck: p = df da Bh = m a h + n B = B S B = B O ph = ϱgh F = ϱg Bh = B O B S h + B S BO B S df = phda = phbhdh = ϱgh h + B S dh [ B O B S BO B S h +B S hdh = ϱg 3 h3 + ] B Sh = ϱg 3 B O + 6 B S F =,7985 N 6. Berechnen Sie den Schwerpunkt für die in Abbildung 4 dargestellte asserverteilung! y - - x 5 k g k g Abbildung 4: Verteilung verschiedener Punktmassen. 5

6 Schwerpunkt: s = 5 m i r i i= 5 = m i i= s = 3 [ ] = / /3 7. Berechnen Sie für einen geraden Kreiskegel mit homogener Dichte ϱ a das Volumen! b die Lage des Schwerpunktes! c das Trägheitsmoment Rotation um Symmetrieachse! inweis: Legen Sie die Symmetrieachse des Kreiskegels auf eine Koordinatenachse z.b. z-achse und finden Sie eine Funktion, die den Radius r des Kreiskegels in Abhängigkeit von dessen öhe z beschreibt d.h. r = rz. Skizze: R rz z Abbildung 5: Skizze zur Aufgabe 7. a Volumen: dv = rdr dφ dz 6

7 rz = m a z + n r = R r = rz = R z + R V = rz rdr π dφ dz = π rz dz = π R z R z+r dz = 3 πr b Schwerpunkt: s z = zdm dm = ϱ dv = ϱ rdr dφ dz s z = ϱ rz rdr π dφ zdz = πϱ rz zdz = πϱ R z 3 R z +R zdz = = πr ϱ 3 4 = 4 c Trägheitsmoment: J = r dm dm = ϱ dv = ϱ rdr dφ dz J = ϱ rz r 3 dr π dφ dz = ϱπ rz 4 dz rz = R z + R dr = R dz 7

8 J = ϱπ R R r4 dr = ϱπ [ ] R 5 r5 = 3 R 3 πr ϱ }{{} R = 3 R = 8. Berechnen Sie für eine albkugel mit homogener Dichte ϱ a das Volumen! b die Lage des Schwerpunktes! c das Trägheitsmoment Rotation um Symmetrieachse! Skizze: θ R b φ Abbildung 6: Skizze zur Aufgabe 8. a Volumen: dv = br, θrdr dφ dθ = r sinθdr dφ dθ V = R r dr π/ sinθdθ π dφ = 3 R3 [ cosθ ] π/ π = 3 πr3 b Schwerpunkt: s z = zdm 8

9 dm = ϱ dv = ϱ r sinθdr dφ dθ z = r cosθ s z = ϱ R r 3 dr π/ cosθ sinθdθ π dφ = ϱπr4 π/ cosθ sinθdθ u = sinθ du = cosθdθ s z = ϱπr4 udu = ϱπr4 = ϱπr R = 3 8 R c Trägheitsmoment: J = br, θ dm dm = ϱ dv = ϱ r sinθdr dφ dθ br, θ = r sinθ R J = ϱ r 4 dr π/ sin 3 θdθ π dφ = π 5 R5 ϱ π/ sin θ sinθdθ cos θ + sin θ = u = cosθ du = sinθdθ J = π 5 R5 ϱ π/ [ cos θ] sinθdθ = π 5 R5 ϱ J = 3 πr3 ϱ }{{} 5 R = 5 R = π/ sinθdθ + u du } {{ } = 3 9