Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Ungleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Ungleichungen 3. Ungleichungen mit Brüchen 4. Ungleichungen mit Beträgen 5. Quadratische Ungleichungen

2 2 5.1 Grundlegendes Sei f : D R eine Funktion mit dem Definitionsbereich D R. Unter einer Ungleichung mit einer Unbekannten versteht man eine Aussageform vom Typ f(x) < 0 oder ; f(x) > 0. Die Lösungsmenge L einer Ungleichung ist dann die Menge aller x, für die f(x) < 0 gilt: Bemerkung: L = { x R : f(x) < 0 }. Geometrisch gesehen, ist die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) < 0 die Menge aller x-werte des Definitionsbereiches D, für die der Graph von f unter der x-achse liegt! In der Skizze sind das genau die rot gekennzeichneten Stücke der x-achse. f(x) Beispiele: f(x) = x + 5 < 0 L = {x R : x < 5} f(x) = x 2 4 < 0 L = {x R : 2 < x < 2} f(x) = sin(x 2 ) + ln(x) + 13 = 0 L = {?} Da jede Ungleichung mit < durch Vertauschen der Seiten (oder Multiplikation mit -1) in eine Ungleichung mit > überführt werden kann, werden wir die Regeln nur für einen Typ formulieren.

3 5.1. GRUNDLEGENDES 3 Satz 5.1 (Rechenregeln) Für alle a, b, c R gilt: a + c < b + c a < b a c = b c a < b für c > 0 a > b für c < 0 a b > 0 (a > 0 und b > 0) oder (a < 0 und b < 0) a b < 0 (a > 0 und b < 0) oder (a < 0 und b > 0) Wir werden beim Lösen von Ungleichungen zunächst wie beim Lösen von Gleichungen vorgehen. Unseren speziellen Augenmerk werden wir dann darauf richten, wo Ungleichungen einer Sonderbehandlung bedürfen.

4 4 Gegenüberstellung der Rechenregeln von Gleichungen und Ungleichungen 1. a + c = b + c a = b a + c < b + c a < b 2. Hier besteht kein Unterschied zwischen Gleichungen und Ungleichungen. Wir können stets auf beiden Seiten beliebige Ausdrücke addieren und subtrahieren. a c = b c a = b für c 0 a c < b c a < b für c > 0 a > b für c < 0 Der Regel für Gleichungen entsprechen zwei Regeln bei Ungleichungen und hier ist meist eine Fallunterscheidung nötig.!!!!!! Vorsicht Fehler!!!!!! Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert (oder durch eine negative Zahl dividiert), so kehrt sich die Relation um! Beispiel: Es gilt 2 < 3 (mittlerer Ausdruck) und durch Multiplikation mit 1 folgt 2 < 3 2 < 3 2 > !!!!!! Vorsicht Fehler!!!!!! 3. Die dritte und vierte Regel für Ungleichungen lässt sich wie folgt ausdrücken: Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren gleiches Vorzeichen haben. Es ist genau dann negativ, falls beide Faktoren verschiedene Vorzeichen haben. Die entsprechende Regel bei Gleichungen besagt, dass das Produkt aus zwei Faktoren genau dann Null ist, wenn (mindestens) einer der Faktoren Null ist.

5 5.2. LINEARE UNGLEICHUNGEN Lineare Ungleichungen Lineare Ungleichungen lassen sich wie lineare Gleichungen behandeln. Es ist einzig darauf zu achten, dass beim Multiplizieren (oder Dividieren) mit negativen Zahlen das Ungleichungszeichen umgekehrt werden muss. Allgemeine Gestalt: ax + b < 0 mit a 0 Lösung: L = { x R : x < b } a { x R : x > b } a für a > 0 für a < 0 Beispiele: x + 4 < 0 4 2x < > 0 x < 4 2 = 2 2x 6 < 0 ( 6) = +6 2x < < 0 x > 6 2 = 3

6 6 5.3 (Einfache) Ungleichungen mit Brüchen Kommt die Unbekannte x im Nenner vor, muss zur Lösung dieser Ungleichung mit diesem Nenner multipliziert werden. Dabei ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Nenners meist von x abhängt, d.h. für gewisse Werte x kann der Nenner positiv und für gewisse andere Werte negativ sein. In diesen Fällen ist daher stets eine Fallunterscheidung nötig. Vorgehen am Beispiel: Zu lösen ist die Ungleichung x + 52 x + 2 < 11. Der 1. Schritt zur Lösung dieser Ungleichung ist dabei die Multiplikation mit dem Nenner x + 2, dessen Vorzeichen wir nicht kennen. Falls x + 2 > 0 ist, d.h. wir ein x > 2 wählen, ist der Nenner positiv, ist x + 2 < 0 ist, d.h. x < 2, ist der Nenner negativ. Wir zerlegen deshalb den Definitionsbereich R { 2} in zwei Teile und suchen auf jedem Teil nach Lösungen der Ausgangsgleichung. Am Ende fassen wir beide Teillösungsmengen zusammen. Fall 1: x + 2 > 0 x > 2 Der Nenner ist also stets positiv und wir suchen nun nur im Bereich x > 2 nach Lösungen. 2 3 Hier gilt x + 52 x + 2 < 11 (x + 2) > 0 x + 52 < 11x + 22 x < 10x : 10 > 0 3 < x x > 3 Im Bereich x > 2 sind also alle x mit x > 3 Lösungen der Ausgangsungleichung. Fall 2: x + 2 < 0 x < 2 Der Nenner ist also stets negativ und wir suchen nun nur im Bereich x < 2 nach Lösungen. 2 3 Hier gilt

7 5.3. (EINFACHE) UNGLEICHUNGEN MIT BRÜCHEN 7 x + 52 x + 2 < 11 (x + 2) < 0 x + 52 > 11x + 22 x > 10x : 10 > 0 3 > x x < 3 Im Bereich x < 2 sind also alle x mit x < 3 Lösungen der Ausgangsungleichung. Das bedeutet natürlich, dass alle x < 2 Lösung sind. Insgesamt ergibt sich damit als Lösungsmenge: L = (, 2) (3, ) = R [ 2,3].

8 8 5.4 Ungleichungen mit Beträgen Beim Auflösen oder Beseitigen der Betragsstriche ist im Allgemeinen schon eine Fallunterscheidung nötig. Deshalb wird es bei diesem Typ von Ungleichung in noch grösserem Umfang zu Fallunterscheidungen kommen als bisher. Zur Bestimmung aller Lösungen von Ungleichungen des Typs x a < b, b > 0 ist die folgende geometrische Überlegung sehr nützlich: Die nichtnegative reelle Zahl x a ist der Abstand der Zahlen a und x auf der Zahlengeraden. Lösungen der obigen Ungleichung sind nun alle Zahlen x (Punkte auf der Zahlengeraden), a b x a a+b x a deren Abstand von a kleiner als b ist. In unserer Skizze ist das das rot gekennzeichnete Intervall mit den Grenzen a b und a + b. Beispiel: Wir wollen die Ungleichung x 2 < 3 lösen. Wir suchen also alle Punkte auf der Zahlengeraden, deren Abstand von 2 kleiner als 3 ist. Dazu gehen wir auf der Zahlengeraden von 2 jeweils 3 Einheiten nach links und rechts und kennzeichnen diese Punkte als Intervallgrenzen der Lösungsmenge. Wir erhalten L = ( 1,5) Aufwendiger wird die Bestimmung der Lösung, wenn in der Ungleichung zwei oder mehr Ausdrücke mit Beträgen vorkommen. Meist kann jeder von ihnen positiv oder negativ sein, also ist für jeden eine Fallunterscheidung nötig. Zweckmässiges Vorgehen: Für jeden einzelnen Ausdruck in Betragsstrichen wird festgestellt, für welche x-werte er das Vorzeichen wechselt. Wir wollen diese Werte als kritische Werte der Ungleichung bezeichnen. Dann bilden wir die Gesamtheit aller kritischen Werte für sämtliche Ausdrücke in Betragsstrichen. Diese kritischen Werte zerlegen nun die reelle Achse in Intervalle, auf denen jeweils sämtliche Vorzeichen aller Ausdrücke in Betragsstrichen konstant bleiben. Jeden dieser Teilintervalle können wir dann separat untersuchen.

9 5.4. UNGLEICHUNGEN MIT BETRÄGEN 9 Beispiel: Wir wollen die Ungleichung x + 2 < x 3 lösen. Zunächst suchen wir die kritischen Werte aller Ausdrücke in Betragsstrichen. Es gilt { x + 2 für x oder x 2 x + 2 = (x + 2) für x + 2 < 0 oder x < 2 { x 3 für x 3 0 oder x 3 x 3 = (x 3) für x 3 < 0 oder x < 3 Die kritischen Werte sind also 2 und 3 und die reelle Achse zerfällt in drei Teile auf denen die beiden Ausdrücke in Betragsstrichen nicht ihr Vorzeichen wechseln. 2 3 x < 2 2 < x < 3 x > 3 1. Fall 1: x < 2 oder x (, 2) Hier gilt: x + 2 = (x + 2) = x 2 x 3 = (x 3) = x + 3 also x + 2 < x 3 x 2 < x < 3 Die letzte Gleichung ist sicher richtig, d.h. dass alle x (, 2) Lösung der Ungleichung sind: L 1 = (, 2). 2. Fall 2: x [ 2,3) Hier gilt: also x + 2 = x + 2 x 3 = (x 3) = x + 3 x + 2 < x 3 x + 2 < x + 3 2x < 1 x < 0.5 Im Intervall [ 2,3) sind somit alle x < 0.5 Lösung der Ungleichung, also L 2 = [ 2,0.5).

10 10 3. Fall 3: x [3, ) Hier gilt: x + 2 = x + 2 x 3 = x 3 also x + 2 < x 3 x + 2 < x 3 2 < 3 Die letzte Gleichung ist sicher falsch, d.h. im Intervall [3, ) gibt es keine Lösung der Ungleichung: L 3 =. Insgesamt haben wir somit die Lösung L = L 1 L 2 L 3 = (, 2) [ 2,0.5) = (,0.5).

11 5.5. QUADRATISCHE UNGLEICHUNGEN Quadratische Ungleichungen Quadratische Ungleichungen können wie quadratische Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung gelöst werden. Beim Ziehen der Wurzel dürfen aber nicht die Betragsstriche vergessen werden: x 2 < y 2 x < y. Allgemeine Gestalt: x 2 + px + q < 0 ( Lösungen: L = p ) p 2 2 p 4 q, p q }{{} offenes Intervall für p2 4 q 0 für p2 4 q > 0 Beweis: Wir nehmen zunächst wie bei den quadratischen Gleichungen eine Kette von Umformungen vor und schränken uns auf den Fall einer positiven Diskriminante ein. Am Ende erhalten wir eine Ungleichung mit Betragsstrichen, die wir schon gut kennen. x 2 + px + q < 0 x p 2 x + q < 0 x p 2 x + p2 4 p2 +q }{{ 4} < 0 =0 ( x p ) 2 x + p2 p q < 0 ( x + p ) 2 < p2 2 4 q x + p p 2 < 2 4 q }{{} = D x + p < D 2 x ( p 2 D, p 2 + ) D

12 12 Beispiel: Wir wollen die Lösungsmenge der Ungleichung f(x) = x 2 x 20 < 0 bestimmen. Zunächst könnten wir diese Ungleichung auch graphisch lösen, indem wir den Graphen der Funktion zeichnen und die x-werte bestimmen, für die dieser Graph unter der x-achse liegt ,0 2,5 0,0 4 2,5 x 5, Es gilt x 2 x 20 < 0 x 2 x < 0 ( x 1 ) 2 < x 1 2 < x 9 2 = 9 2 ( , ) = ( 4,5) 2

13 5.6. AUFGABEN Aufgaben 1. Lösen Sie die folgenden linearen Ungleichungen und geben Sie die Lösungsmenge an. a) 4x + 3 < 2(x 6) b) 7x > 3(x 1) 2 2. Lösen Sie die folgenden quadratischen Ungleichungen. a) x 2 7x + 12 > 0 b) 4x 2 8x + 3 > 0 c) x 2 4x + 5 > 0 d) x 2 + 6x + 9 > 0 3. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Bruchungleichungen. a) b) c) x + 2 x 3 < 2 2x 4 x 6 0 x x x Lösen Sie die folgenden Betragsungleichungen. a) 3x 5 < 11 b) x + 2 < 2x 3 c) x 4 2x + 6 > 0

14 Zusatzaufgaben 1. Lösen Sie die folgenden linearen Ungleichungen und geben Sie die Lösungsmenge an. a) 4(x 1) 3(x + 2) < 8 b) 2(x 1) < 6(x ) 2. Lösen Sie die folgenden quadratischen Ungleichungen. a) 2x x 32 > 0 b) x 2 14x 49 < 0 c) x 2 14x 49 > 0 d) x 2 + 2x + 10 < 0 3. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Bruchungleichungen. a) b) c) x x 1 > 3 2 x 2 1 x Lösen Sie die folgenden Betragsungleichungen. a) x 3 > 1 x x x x 2 1 b) 3x 1 + x + 2 < 3 c) x + 1 x x + 2 > 0

15 5.8. LÖSUNGEN Lösungen Lösungen der Aufgaben 1. a) x (, 15/2), b) x (3/17, ) 2. a) x (,3) (4, ), b) x (,1/2) (3/2, ), c) x ( 5,1), d) x R 3. a) x (,3) (8, ), b) x (,2] (6, ), c) x (, 6) [ 21/4, 3) 4. a) x ( 2,16/3), b) x (5, ), c) x ( 10, 2/3) Lösungen der Zusatzaufgaben 1. a) x (,18), b) x ( 3, ) 2. a) x, b) x R, c) x, d) x 3. a) x (1,3/2), b) x [ 8, 3] (2, ), c) x (, 3/2 33/2] ( 1,1) [ 3/2 + 33/2, ) 4. a) x (,2) (4, ), b) x (0,1/2), c) x (, 3) ( 1, )

16 16

17 Inhaltsverzeichnis 5.1 Grundlegendes Lineare Ungleichungen (Einfache) Ungleichungen mit Brüchen Ungleichungen mit Beträgen Quadratische Ungleichungen Aufgaben Zusatzaufgaben Lösungen Lösungen der Aufgaben Lösungen der Zusatzaufgaben

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