Die Gammafunktion. 1 Motivation und Definition der Gammafunktion

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1 Vortrag zum Semiar zur Futioetheorie, 4..8 Miriam Tamm I diesem Vortrag werde wir us mit der Gammafutio beschäftige. Sie ist eie der wichtigste mathematische Futioe ud eie der eifachste vo de ichtelemetare Futioe. Außerdem spielt sie eie wesetliche Rolle bei der Utersuchug vo Dirichletsche Reihe. Ziel des erste Abschittes ist es, die Gammafutio als meromorphe Futio auf C zu defiiere. Im zweite Abschitt werde wir weitere Eigeschafte herleite ud uter Verwedug der Eulersche Itegraldarstellug der Gammafutio die Mellische Trasformatio herleite. Im Folgede werde wir hier die omplexe Veräderliche mit s ud ihre Realud Imagiärteil mit σ beziehugsweise t bezeiche. Motivatio ud Defiitio der Gammafutio Zuächst werde wir die Gammafutio motiviere ud sie als meromorphe Futio auf C defiiere. Die Idee ist, dass ma eie Iterpolatiosfutio für die Futio! sucht, das heißt eie stetige Futio Π, so dass Π! für alle atürliche Zahle ist. Auf Grud eies historische Umstades betrachte ma aber u die Substitutio x s ud schreibt Γs für Πx Πs. Gesucht wird also eie stetige Futio Γ, die Γ! für alle erfüllt ud außerdem die Grudeigeschaft!! der Faultät besitzt: Γs + s Γs für alle s.

2 Motivatio ud Defiitio der Gammafutio Es ist also eie Futio gesucht, die für s lei durch folgede Pute läuft: Durch wiederholte Awedug vo erhalte wir für die Gleichug Γs + s s +... s + Γs. 3 Es reicht u also eie asymptotische Formel für Γs + mit azugebe. Für s gilt Γs + + s! + s + s... +! s + s + s... +!. Das Obige liefert u Γs + s! für, das heißt, dass gilt. lim Γs + s!

3 Motivatio ud Defiitio der Gammafutio Es ist daher ahelieged, Γs uter Verwedug vo 3 auch für alle s C durch Γs lim s! s s +... s + 4 zu defiiere, falls der Grezwert existiert. Für de des u folgede Satzes beötige wir. Lemma Sei ud a eie Folge omplexer Zahle mit + a für. Da sid äquivalet: i ii + a overgiert absolut. a overgiert absolut. I diesem Fall ist + a auch overget. Kr] XXVI3.6 Damit omme wir u zu. Satz i Der Grezwert vo Γ s : für existiert für alle s C \. ii Es gilt die Eulersche Produtdarstellug Γs s s + + s s! s s +... s + für alle s C \. iii Die durch 4 defiierte Futio Γ erfüllt die geforderte Eigeschafte Γ! für alle ud Γs + s Γs für alle s C \. 3

4 Motivatio ud Defiitio der Gammafutio i Es gilt: Γ + s Γ s + s! s s +... s + s s +... s + s! + s s + + s + s. u gilt mit der Biomische Reihe + s s vergleiche zum Beispiel Kö] S. 6 f ud mit der geometrische Reihe + s s für alle mit > s, also s <. Hiermit erhalte wir + s + O s + O Γ + s Γ s s + O s O + O + s O + O 4 + O Wir defiiere u a : Γ +s. Für groß geug ist a Γ s +. Außerdem existiert ei c R, so dass a c für alle. ach dem Majorateriterium overgiert somit a ud mit. auch das Produt a +. Da Γ s Γ s gilt, overgiert auch Γ s. Γ + s Γ s. 4

5 Motivatio ud Defiitio der Gammafutio ii Aus dem vo i erhält ma Γ s Γ s Γ + s Γ s s + s + s für alle s C \ ud damit die Behauptug. iii Dass erfüllt ist, etimmt ma folgeder Rechug: Γs + s+! lim s + s +... s + lim s s! lim s + s + s Γ s s s +... s + ] s Γs. Die Eigeschaft folgt per Idutio. ach der Eulersche Produtdarstellug ist Γ, also gilt der Idutiosafag Γ! für. Die Aussage folgt mit dem Idutiosschluss Γ + Γ!!. ] Als ächstes defiiere wir die Eulersche Kostate..3 Lemma Der Limes γ : lim existiert ud wird Eulersche Kostate geat. log Wir zeige, dass die durch a : log defiierte Folge a ach ute beschrät ud mooto falled ist. zur Beschrätheit: a + + log + x] dx x >, + x] dx x dx 5

6 Motivatio ud Defiitio der Gammafutio de x] x zur Mootoie: für alle x. a a + log + log x + dx. Damit ist die Folge a ach ute beschrät ud mooto falled, also overget. Mit Hilfe der Eulersche Kostate erhalte wir eie weitere Produtdarstellug für Γs, die sogeate Weierstraßsche Produtdarstellug. Dazu verwede wir.4 Lemma Sei E q s mit q defiiert durch E q s : s e s+s /+...+s q /q für q ud E s : s. Sei a eie omplexe Zahlefolge i C mit der Eigeschaft lim a ud q eie beliebige Folge i, so dass Da ist R q + < für alle R >. a fs : s E q a eie gaze Futio, die geau i de Stelle a,, verschwidet ud sost irgeds. Kommt die Zahl a C geau m-mal uter de a,, vor, so gilt ord a f m. Kr] XXVI3.5.5 Satz Für alle s C \ gilt Γs s e γs + s e s/ s e γs + s e s/ ud Γ ist eie gaze Futio mit eifache ullstelle für s. 6

7 Motivatio ud Defiitio der Gammafutio Wir forme 4 i die Gestalt Γs + s Γs s s ]! lim s s +... s + s ] lim + s + s... + s um. Des Weitere erhalte wir aus.3: 5 e s log e γs. Mit Hilfe vo 5 gilt u Γs lim s s + s + s... + s lim s s ] + s s log lim e s e γs s + s e s/ ] + s e s/ u wede wir für die Holomorphie vo Γ auf gaz C das Lemma.4 a. Hier ist u a ud q für. Da < gilt, sid die Voraussetzuge vo.4 erfüllt. Damit erhalte wir, dass s Γs s eγs + s e s/ eie gaze Futio ist, die geau für s verschwidet ud sost irgeds. Die Ordug der ullstelle ist geau..6 Satz Die durch 4 beziehugsweise Satz.5 erlärte Futio Γ ist i der gaze omplexe Ebee als meromorphe Futio defiiert. Sie ist holomorph bis auf eifache Pole i de Pute für mit de Residue. Γ ist ullstellefrei auf C. Res Γs.! 7

8 Motivatio ud Defiitio der Gammafutio ach.5 ist Γ holomorph mit eifache ullstelle i,,,..., also ist Γ meromorph mit eifache Pole für s. Das Residuum vo Γ a der Polstelle ist Res Γs lim s + Γs s Γs + + lim s ss +... s + Γ +....! Die ullstellefreiheit folgt ach.5, de Γ ist eie gaze Futio. Auf der reelle Achse sehe Γ beziehugsweise Γ so aus: K4 K 4 s K K4 K6 K4 K 4 6 s K K 8

9 Eigeschafte der Gammafutio Eigeschafte der Gammafutio Wir werde u weitere Eigeschafte ud Darstelluge der Gammafutio beweise. Isbesodere werde wir die Eulersche Itegraldarstellug der Gammafutio für σ > herleite, welche us da zur Mellische Trasformatio führt. Zuächst omme wir zu eiem Resultat, welches us sagt, dass die Werte der Zetafutio a gazzahlige Stelle als Koeffiziete der Tayloretwiclug vo Log Γs a der Stelle s auftrete. Diese Satz öe wir auch ohe Verwedug vo beweise, also ohe tiefere Ketisse der Futioetheorie wie de Satz vo Weierstraß vorauszusetze. Dazu beötige wir eiige Vorüberleguge.. Defiitio Sei U C offe, f : U C für alle ud f : U C gegebe. Das Produt f overgiert absolut loal gleichmäßig gege f, we f s fs für alle s U gilt ud die Reihe f absolut loal gleichmäßig auf U overgiert.. Lemma Sei U C offe ud f : U C,, holomorphe Futioe. We das Produt f absolut loal gleichmäßig overgiert, so ist die durch fs defiierte Grezfutio f holomorph. Kr] XXVI3. f s.3 Lemma Es gibt ei c R, so dass für beliebiges a, ] ud s K stets + a s as ca s gilt. 9

10 Eigeschafte der Gammafutio Sei a, ] ud f a : K C defiiert durch f a s + a s. Da f a auf K holomorph ist, öe wir f a i seie Taylorreihe um etwicel ud erhalte f a s f a s! log + a s! für alle s K. Damit ergibt sich u log f a s s log + a + a s! log + a s log + a s +! log + a s log + a s! log + a s + a s Mit a, ] ud s K sowie der Abschätzug log + a a gilt u f a s s log + a log + a s + a s a s a s. Mit Hilfe des Leibizriteriums erhalte wir die Abschätzug log + a a + a a + a a, de a ist für a, ] eie mooto fallede ullfolge. Damit gilt u die Behauptug, de + a s as + a s s log + a + s log + a as a s + s a 5 a s..4 Lemma Das Produt + s + s overgiert für s K absolut loal gleichmäßig.

11 Eigeschafte der Gammafutio Zum verwede wir.. Wir zeige also, dass + s + s loal gleichmäßig overgiert. absolut Sei dazu < ε <. Für alle s K mit s ε gilt da + s + s + s s + s c s ε c ζ <, ε.3 c s + s de + s s ε ε für s ε..5 Folgerug Die Futio Γ ist auf K holomorph..6 Lemma Für alle < δ < ud ist die Futioereihe s gleichmäßig overget für s δ. Zum verwede wir das Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Kovergez. Sei dazu g : ud f : s. Damit ist g eie mooto fallede ullfolge. Zum achweis der gleichmäßige Beschrätheit vo f sei K ud s δ. Da gilt K s K s s + s K s K s s K s s s K s δ δ <. Somit ist f gleichmäßig beschrät ud wir erhalte die gleichmäßige Kovergez vo f g. Damit omme wir zum etscheidede

12 Eigeschafte der Gammafutio.7 Satz Es gibt ei ε >, so dass für alle s C mit s < ε die Tayloretwiclug Log Γ + s γs + ζ s overgiert. ach 5 gilt Γs + lim s + s + s... + s Wege.5 ist Γ holomorph i K, also isbesodere stetig für s. Weiterhi ist Γ. Daher existiert eie ε-umgebug U vo, für die alle i ΓU liegee Werte eie Realteil habe, der größer als ist. Auf ΓU ist da Log stetig ud somit s Log Γs + auf U {u u U}. Wir wede u de Logarithmus auf beide Seite der obige Gleichug a. De Limes dürfe wir auf Grud der Stetigeit vo Log Γ + s für s < ε hiausziehe. Für s < ε erhalte wir daher Log Γ + s lim s log Log + s ] + πis für ei s Z uter der Bedigug, dass der Grezwert existiert, welches wir später beweise werde. u verwede wir die Reihedarstellug des Logarithmus: Log Γ + s lim s log lim s log lim s log lim s log +πis. s + + ]. ] s + πis ] s + πis + + ] s + πis s ] Auf Grud der gleichmäßige Kovergez, welche i.6 bewiese wurde, sid Summatio ud Grezübergag vertauschbar. Mit Hilfe vo.3 erhalte wir u,

13 Eigeschafte der Gammafutio dass lim log lim log + γ ist. Für gilt ach Defiitio der Riemasche Zetafutio weiterhi lim ζ. Damit erhalte wir Log Γ + s γs + ζ s + πis, s Z. }{{} :Fs u ist s Fs auf U stetig, da die eizele Summade stetig sid ud die Reihe gleichmäßig overgiert, was ma aalog zu.6 zeige a. Außerdem ist ach Obigem s Log Γs + auf U stetig. Daher muss auch s stetig sei ud ist somit ostat. Eisetze vo s auf beide Seite liefert, dass s für alle s U gelte muss, also erhalte wir die behauptete Idetität. Bemerug: Ma a zeige, dass.7 für s < gilt. Hier ud im Folgede geügt aber s < ε. u leite wir eie weitere Futioalgleichug her. Dazu beötige wir zuerst folgedes.8 Lemma Für alle s C gilt Kr] XXVI4..9 Satz Für alle s C \ Z gilt siπs πs Γs Γ s s. π siπs. 3

14 Eigeschafte der Gammafutio Mit.5 folgt Γs Γ s s e γs s.8 s si πs π. + s e s/ s e γs s s e s/ Mit der Futioalgleichug gilt Γs Γ s Γs s Γ s siπs. π Damit erhalte wir u die. Folgerug Es gilt Γ π. ach.9 gilt Γ Γ Γ π siπ/ π. Außerdem erhalte wir ach der Eulersche Produtdarstellug, dass Γ de alle Fatore des Produtes sid größer als. Damit ist Γ π., Folgede Überlegug führt us zu eiem weitere Satz. Für s C \ sei s s + fs Γ Γ. 4

15 Eigeschafte der Gammafutio Da gilt s + fs + Γ oder s Γ + s s + Γ Γ s+ fs + s s fs. s s fs Diese Gleichug etspricht der Futioalgleichug vo Γ ud daher ist es ahelieged zu vermute, dass s s fs ei Vielfaches vo Γ ist, was auch der Fall ist ach. Satz Legedresche Verdopplugsformel Für alle s C \ gilt s s + Γ Γ s π Γs. Wir verwede die Darstellug 4 der Gammafutio. Damit erhalte wir s s + s Γ Γ lim s s/! s s +... s + s+/ ]! s+ s s+ + +s s+/! ] lim s s +... s + s + s s + /! lim s ]!! s s + s +... s + mit C Γs C lim /!! We wir u s betrachte, erhalte wir Γ Γ C Γ. Da ach. weiterhi Γ π gilt, ist hier C π. ]. 5

16 Eigeschafte der Gammafutio Da C uabhägig vo s ist erhalte wir isgesamt s s + s Γ Γ π Γs. Sei Die Eulersche Itegraldarstellug hs t s e t dt. Das Itegral ist holomorph für Res > vergleiche Kr] XVIII5.4 ud es gelte ud, de: ud hs + t s e t dt t s e t ] } {{ } h + e t dt. s t s e t dt s hs Die Futio hs ist also ei Kadidat für die ursprüglich gesuchte Futio Γs. I der Tat gilt u der folgede. Satz Für Res > gilt Γs t s e t dt. Zum der Aussage zeige wir für x R mit x : i ii t t x dt x! x x +... x + lim t t x dt e t t x dt Γx 6

17 Eigeschafte der Gammafutio zu i: Durch -malige partielle Itegratio erhalte wir die Behauptug. t t x dt tu x u u x du u u x du x x ux u ] }{{} + x x x x + ux+ u }{{}... + x + u u x+ du x x x +... x + x! x x + x + u u x du ] u +x du + x Γ x Γx. zu ii: Es gilt: ud lim χ,]t t t x e t t x χ,] t t t x e t t x. für alle t. Das Riema-Itegral e t t x dt existiert ach Kr] VII4. ud ist ach Kr] XIV3.9 gleich dem Lebesgue-Itegral der Majorate t e t t x für t >. Damit öe wir u de Satz vo der majorisierte Kovergez vo Lebesgue 7

18 Eigeschafte der Gammafutio awede: lim t t x dt lim χ,] t t t x dt Mit i ud ii erhalte wir u Γx e t t x dt. t x e t dt für alle x. Da h eie i der rechte Halbebee holomorphe Futio ist ud die Aussage für x gilt, folgt die Behauptug mit Hilfe des Idetitätsatzes. Mellische Trasformatio Die im vorherige Abschitt hergeleitete Itegraldarstellug für die Gammafutio führt u zu eier Verüpfug der Dirichletreihe mit de Potezreihe..3 Satz Mellische Trasformatio Die gewöhliche Dirichletreihe fs : a s ud die Potezreihe Fz : a z mit deselbe Koeffiziete sid im Bereich der absolute Kovergez durch die Itegraltrasformatio für s C mit Res > verüpft. fs Fe t t s dt Γs Für σ > gilt mit der Darstellug der Gammafutio aus. t s e t dt ut u s e u du s u s e u du Γs s. 8

19 Eigeschafte der Gammafutio Damit erhalte wir u a s a t s e t dt. Γs Sei u s C ud σ > max{σ, }, wobei σ usere absolute Kovergezabszisse bezeichet. Da gilt a e t t s a e t t σ a e t t σ für alle ud t >. Da a e t t σ für jedes t mooto wachsed gege a e t t σ strebt, falls ma betrachtet, gilt weiter a e t t σ dλt a e t t σ dλt a Γσ σ <, da σ > σ ud folglich a σ < gilt. Somit ist t a e t t σ für alle eie itegrierbare Majorate vo t a e t t σ, also dürfe wir Summatio ud Itegratio vertausche ud erhalte a s Γs a e t Für z e t ist fs also durch die Itegraltrasformatio t s dt. darstellbar. fs Fe t t s dt Γs Diese Darstellug ermöglicht es, vo Eigeschafte vo Potezreihe auf Eigeschafte vo Dirichletreihe zu schließe ud umgeehrt. Der Satz gilt auch für icht-gewöhliche Dirichletreihe, ämlich a λ s a e λ t t s dt. Γs u verwede wir als Beispiele us scho wohlbeate Futioe. 9

20 Eigeschafte der Gammafutio.4 Beispiel i Wir betrachte die Dirichletreihe ζs s. Es gilt e t e t e t e t für t >, also erhalte wir mit Satz.3 für σ >. ζs Γs t s e t dt ii Wir betrachte die Dirichletreihe ψs s s ζs. Es gilt e t also erhalte wir ach.3 e t + e t e t + s ζs Γs t s e t + dt für t >, für σ >. u wede wir de Idetitätssatz a. Wir wisse, dass ψs ud Γs holomorph sid für σ >. Weiterhi ist auch das Itegral holomorph für σ >, was ma aalog zu Kr]XVIII5.4 zeige a, also erhalte wir sogar die Gleichheit für σ >. Isbesodere die Darstellug vo ζs i i wird us im folgede Vortrag über die Riemasche Zetafutio helfe, diese auf gaz C meromorph fortzusetze.

21 Literatur Literatur Kö] Köigsberger, Aalysis I, Spriger 995. Kr] Krieg, Aalysis I IV, Höhere Futioetheorie I, 5 7. Za] Zagier, Zetafutioe ud quadratische Körper, Spriger 98.