Einführung in die Integralrechnung

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1 Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind einfch zu berechnen: Ht ein Rechteck die Breite b und Höhe h, so ist seine Fläche F = bh. h b Den Flächeninhlt von Dreiecken knn mn uf den Flächeninhlt von Rechtecken zurückführen. C A B So folgt z.b. durch Kongruenzbetrchtungen, dss der Flächeninhlt des Dreiecks ABC gleich der Hälfte des Flächeninhlts des Rechtecks mit der gleichen Grundlinie und gleichen Höhe ist. Die Flächen von Polygonen knn mn durch Zerlegung in Dreiecke berechnen.

2 Schwieriger wird die Sitution, wenn der Flächeninhlt von Figuren bestimmt werden soll, die nicht gerdlinig begrenzt sind. Beim Kreis z.b. knn mn (wie schon Archimedes dies tt) einbeschriebene und umbeschriebene regelmäßige n-ecke betrchten. Mn stellt dnn fest, dss für wchsende Eckenzhl n die Flächen der einbeschriebenen und umbeschriebenen n-ecke sich immer mehr nnähern und wenn n gegen unendlich geht (in Zeichen n ) einem gemeinsmen Grenzwert zustreben, den mn ls Flächeninhlt des Kreises definiert.. Integrl von Funktionen Um nicht für jede spezielle Figur eigene kunstvolle Überlegungen nstellen zu müssen, betrchten wir jetzt folgende llgemeine Sitution: Gegeben sei eine stetige Funktion y = f(x) für x us einem Intervll der reellen Zhlen von bis b. Wir setzen zunächst vorus, dss f(x) in diesem Intervll immer größer oder gleich ist. y y = f(x) b x Wir stellen uns die Aufgbe, die Fläche der Figur zu bestimmen, die zwischen dem Intervll [, b] der x-achse und dem Grphen der Funktion f liegt (die Umrndung ist in der Zeichnung strk usgezogen). Eine erste grobe Annäherung n den Flächeninhlt erhlten wir, indem wir ds Intervll [, b] z.b. in drei gleichlnge Teilintervlle unterteilen = x < x < x < x 3 = b und die gesuchte Fläche durch die Summe dreier Rechtecke wie im folgenden Bild ersetzen:

3 y f(x ) f(x ) f(x 3 ) = x x x b = x 3 x Ds erste Rechteck ht die Breite x x und die Höhe f(x ), ds zweite die Breite x x und Höhe f(x ), ds dritte die Breite x 3 x und Höhe f(x 3 ). Die Summe der Flächen der 3 Rechtecke ist lso S 3 = f(x )(x x ) + f(x )(x x ) + f(x 3 )(x 3 x ). Wir wollen diese Summe noch etws elegnter schreiben, dmit sie leichter verllgemeinerungsfähig ist. Zunächst kürzen wir die Differenzen x k x k durch x k b. Dnn hben wir S 3 = f(x ) x + f(x ) x + f(x 3 ) x 3. Unter Verwendung des Summenzeichens knn mn dies nun so schreiben: S 3 = 3 f(x k ) x k. Dbei bedeutet 3, dss mn in dem folgenden Ausdruck den Index k der Reihe nch durch,, 3 ersetzen und die entstehenden Ausdrücke durch Pluszeichen verbinden soll. Ntürlich ist S 3 noch eine sehr grobe Approximtion des gesuchten Flächeninhlts. Erhöht mn ber die Anzhl der Teilpunkte, so erhält mn bessere Annäherungen, wie us den folgenden Bildern deutlich wird. y x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 3

4 y x x x 4 x 6 x 8 x x x Allgemein erhält mn bei einer Unterteilung des Intervlls [, b] in n Teilintervlle = x < x < x <... < x n < x n = b eine Approximtion der gesuchten Fläche durch eine Summe von n Rechtecksflächen S n = f(x k ) x k. Mn knn beweisen (und dies lernt mn im. Semester des Mthemtikstudiums), dss bei einer stetigen Funktion f die Folge der S n für n einem wohlbestimmen Grenzwert (Limes) zustrebt, den mn dnn ls Integrl von f über ds Intervll [, b] bezeichnet. Mn schreibt dfür.3 Beispiele f(x)dx = lim n S n Wir können zwr hier nicht den llgemeinen Fll beweisen, führen ber den Grenzübergng n zwei Beispielen vor. Beispiel (.) xdx Hier soll lso die Funktion f(x) = x über ds Intervll [, ] integriert werden, wobei > vorusgesetzt sei. Betrchten wir zunächst den Grphen der Funktion y = f(x) = x. y y = x x 4

5 Wir sehen, dss ds Integrl xdx die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundlinie und Höhe drstellt, lso gleich sein muss. Obwohl wir ds Ergebnis schon wissen, führen wir trotzdem noch die Grenzwertbetrchtung durch, um eine Bestätigung zu erhlten, dss dieser Anstz sinnvoll ist. Dzu unterteilen wir ds Intervll [, ] wieder in n gleiche Teile = x < x <... < x n < x n =. Die Länge jedes Teilintervlls ist hier x k = n und es gilt x k = k n Ds k-te Teilrechteck ht die Fläche y x x x x... x n f(x k ) x k = x k x k = k n n = k n, lso ergibt sich für die n-te Näherungssumme S n = f(x k ) x k = k n = n k. für k =,,..., n. Nun benutzen wir die beknnte Formel für die Summe der ersten n ntürlichen Zhlen n(n + ) k = n =. Setzen wir dies ein, erhlten wir D lim n n S n = n(n + ) n =, erhlten wir insgesmt ws wir erwrtet hben. Beispiel (.) x dx = n(n + ) n xdx = lim n S n =, ( = + ). n Dies ist ds erste Beispiel für die Fläche einer nicht grdlinig begrenzten Figur. 5

6 y y = x x Anlog zum ersten Beispiel unterteilen wir ds Intervll [, ] in n gleiche Teile = x < x <... < x n < x n =. Die Länge jedes Teilintervlls ist x k = n und es gilt x k = k n ergibt sich für ds k-te Teilrechteck die Fläche ( f(x k ) x k = xk x k = k ) n Die n-te Näherungssumme für ds Integrl ist dher S n = f(x k ) x k = k 3 n 3 = 3 n 3 n = k 3 n 3, k. für k =,,..., n. Hier Um weiterzukommen, bruchen wir eine Formel für die Summe der ersten n Qudrtzhlen. Eine solche Formel ist k = n n(n + )(n + ) = = 6 3 n3 + n + 6 n. (Die Leserin knn sich leicht in den Fällen n =,, 3, 4 durch Einsetzen von der Richtigkeit der Formel überzeugen; der llgemeine Fll wird durch vollständige Induktion bewiesen.) Einsetzen ergibt ( S n = 3 n 3 3 n3 + n + ) ( 6 n = n + ). 6n D lim n n = und lim =, erhlten wir insgesmt n 6n.4 Einfche Rechenregeln x dx = lim n S n = 3 3. Negtive Funktionswerte. Wir hben uns bisher uf den Fll beschränkt, dss die zu integrierende Funktion f(x) immer größer oder gleich ist. Ws pssiert, wenn die Funktion uch negtive Werte nnimmt? Betrchten wir dzu die Näherungssumme S n = f(x k ) x k. 6

7 Wir sehen, dss für f(x k ) < ds Produkt f(x k ) x k negtiv wird, lso den negtiven Flächeninhlt des Rechtecks mit den Seiten x k und f(x k ) drstellt. Ds Integrl einer Funktion mit wechselndem Vorzeichen ist lso der Flächeninhlt zwischen der x-achse und dem Grphen von f dort wo die Funktion positiv ist, minus der Fläche zwischen der x-achse und dem Grphen von f, wo die Funktion negtiv ist, vgl. folgendes Bild. + Mnchml lssen sich dmit Integrle ohne Rechnung bestimmen. Zum Beispiel gilt (.3) π sin(x)dx =, denn der positive und negtive Anteil sind us Symmetriegründen gleich groß. x y π π y = sin x Genuso sieht mn (.4) cos(x)dx =, π cos(x)dx =. (Aufgbe: Zeichne den Grphen des Cosinus!) Bemerkung. In der Anlysis wird bei den trigonometrischen Funktionen der Winkel immer im Bogenmß gemessen. Dbei entspricht einem Winkel von 8 Grd ds Bogenmß π (= hlber Umfng des Einheitskreises). Linerität. Ersetzt mn in der Formel f(x k ) x k für die Näherungssumme die Funktion f durch die Summe zweier Funktionen f + f, so erhält mn (f (x k ) + f (x k )) x k = f (x k ) x k + f (x k ) x k. 7

8 Drus folgt eine Rechenregel für ds Integrl () (f (x) + f (x))dx = f (x)dx + f (x)dx. Ist c eine reelle Konstnte, so ht mn ußerdem die Rechenregel (b) cf(x)dx = c f(x)dx. Beispiel. Wir wollen diese Regeln zur Berechnung des Integrls (.5) (x x )dx usnutzen. Der Grph der Funktion y = f(x) = x x im Intervll [, ] schut so us: y = x x Ds Integrl ist lso die Fläche über dem Intervll [, ] unterhlb der Wurfprbel. Mit den Rechenregeln () und (b) erhlten wir (x x )dx = = = xdx + xdx + ( ) xdx ( x )dx x dx. x dx Die Integrle xdx = / = und x dx = 3 /3 = 8/3 htten wir vorher schon ls Beispiele usgerechnet. Insgesmt ergibt sich deshlb (x x )dx = 8 3 = 4 3, der ngesprochene Flächeninhlt ht lso den Wert 4/3. 8

9 Integrtion und Differentition Während wir im vorigen Kpitel ds Integrl in Anlehnung n seine nschuliche Bedeutung ls Flächeninhlt eingeführt hben, zeigen wir hier, dss die Integrtion die Umkehrung der Differentition ist, ws in vielen Fällen die Möglichkeit zur Berechnung des Integrls liefert.. Stmmfunktionen, Fundmentlstz Definition. Eine uf einem Intervll I R differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion einer Funktion f : I R flls F (x) = f(x) für lle x I. Zum Beispiel ist F (x) = x eine Stmmfunktion von f(x) = x. Die Stmmfunktion einer Funktion ist ber nicht eindeutig bestimmt. Denn zählt mn zu einer Funktion F (x) eine Konstnte hinzu, so fällt diese beim Differenzieren wieder herus. So ist uch G(x) = x + c für jede Konstnte c eine Stmmfunktion für f(x) = x. Aufgrund beknnter Formeln für die Ableitung von Funktionen können wir leicht eine kleine Liste von Stmmfunktionen ufstellen. Funktion f(x) Stmmfunktion F (x) x n n+ xn+ sin x cos x e x cos x sin x e x ln x (x > ) x Die Bedeutung der Stmmfunktionen beruht uf folgendem Stz (Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f : I R eine stetige Funktion und F eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt für lle, b I f(x) dx = F (b) F (). Mn knn sich diesen Stz wie folgt plusibel mchen. Nch Definition ist ds Integrl der Limes der Näherungssummen S n = f(x k ) x k. 9

10 D f(x k ) = F (x k ) und die Ableitung ein Limes von Differenzenquotienten ist, gilt nnähernd F (x k ) F (x k) F (x k ) = F (x k) F (x k ) x k x k x k Die Näherung ist umso besser, je kleiner x k ist. Somit hben wir f(x) dx f(x k ) x k = F (x k ) x k (F (x k ) F (x k )) = (F (x ) F (x )) + (F (x ) F (x )) (F (x n ) F (x n )) = F (x n ) F (x ) = F (b) F (), d sich in der zweiten Zeile lle bis uf zwei Terme wegkürzen. Bezeichnung. Mn setzt b F (x) := F (b) F (). Die Formel von Stz schreibt sich dnn ls b f(x) dx = F (x). Dies kürzt mn noch weiter b durch f(x) dx = F (x). Beispiele (.) xdx = x und x dx = 3 x3. Dmit erhlten wir wieder die im. Kpitel durch Grenzübergng berechneten Integrle und xdx = x x dx = 3 x3 = = 3 3. (.) In Verllgemeinerung des vorigen Beispiels knn mn Integrle P (x)dx uswerten, wobei P (x) = c + c x + c x c n x n ein beliebiges Polynom n-ten Grdes ist. Eine Stmmfunktion von P (x) ist nämlich es gilt deshlb F (x) = c x + c x + c x c nx n+ n +, P (x)dx = F (b) F ().

11 (.3) Ein interessntes neues Integrl ist sin(x)dx = cos(x) π = cos(π) + cos() = + =. Es stellt die Fläche unterhlb des Sinusbogens über dem Intervll [, π] dr. y = sin x π Es ist bemerkenswert, dss sich ls Flächeninhlt eine gnze Zhl ergibt, obwohl die Länge des Intervlls irrtionl ist.. Substitutionsregel Der nächste Stz liefert eine wichtige Methode zur Berechnung verschiedener Integrle. Stz (Substitutionsregel) Sei f : I R eine stetige Funktion und ϕ : [, b] R eine stetig differenzierbre Funktion mit ϕ([, b]) I. Dnn gilt f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. Bezeichnung. Unter Verwendung der symbolischen Schreibweise lutet die Substitutionsregel dϕ(t) := ϕ (t) dt f(ϕ(t)) dϕ(t) = ϕ(b) ϕ() f(x) dx und in dieser Form ist sie besonders einfch zu merken, denn mn ht einfch x durch ϕ(t) zu ersetzen. Läuft t von nch b, so läuft x = ϕ(t) von ϕ() nch ϕ(b). Beispiele (.4) Mn berechne (x + ) 3 dx. Wir können ds Integrl uch ls (t + ) 3 dt schreiben (die Integrtions-Vrible drf umbennnt werden, solnge die keine Kollisionen mit nderen Bezeichnungen entstehen).

12 Wir setzen f(x) = x 3. Mit der Substitution x = ϕ(t) = t + und ϕ (t) = wird dnn f(ϕ(t))ϕ (t) = (t + ) 3, lso (t + ) 3 dt = = 3 f(ϕ(t))ϕ (t)dt = x 3 dx = 4 x4 3 ϕ() ϕ() f(x)dx = 4 (34 4 ) = 8 4 =. Bemerkung. Eine ndere Möglichkeit zur Berechnung ist, den Term (x + ) 3 nch dem binomischen Lehrstz zu entwickeln, (x + ) 3 = x 3 + 3x + 3x + und ds enstehende Polynom 3. Grdes direkt zu integrieren. Aufgbe: Führe ds durch und überzeuge dich, dss dsselbe Ergebnis heruskommt. (.5) Sei > vorgegeben. Mn berechne cos(t) dt. Mit f(x) = cos x und der Substitution ϕ(t) = t gilt: cos(t) dt = cos(t) (t) dt = cos(x) dx = sin x = sin(). Bemerkung. Mn knn dieses Integrl uch direkt mit dem Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung uswerten. Denn Differenzieren mit der Kettenregel ergibt d sin(x) = cos(x). dx Ds bedeutet, dss F (x) = sin(x) eine Stmmfunktion von cos(x) ist, lso cos(x) dx = sin(x) = sin(). (.6) Mn berechne ds Integrl x dx. Dieses Integrl stellt die Fläche des Viertelkreises mit Rdius dr, siehe Bild. y = x

13 Wir mchen die Substitution x = sin t, lso dx = d sin t = sin (t)dt = cos t dt. Dmit x von bis läuft, muss t von bis π/ lufen. x dx = / sin t d sin t = / cos t dt. Dbei hben wir sin t = cos t benutzt. Nun verwenden wir noch die Formel cos t = ( + cos t) und erhlten x dx = / ( + cos t) dt = / dt + / cos t dt. Nun ist / dt = π/ (Fläche des Rechtecks mit Höhe und Breite π/) und / π/ sin t cos t dt = = (sin π sin ) = nch dem vorigen Beispiel. Insgesmt erhlten wir x dx = π 4. Wir hben dmit mittels Integrlrechnung gezeigt, dss die Fläche des Einheitskreises gleich π ist. (.7) Sei r > vorgegeben. Mn berechne ds Integrl r r x dx. Dieses Integrl stellt die Fläche des Viertelkreises mit Rdius r dr. Hier mchen wir die Substitution x = rt, lso dx = rdt. Dmit x von bis r läuft, muss t von bis lufen. Es folgt dher r r x dx = r r t rdt = r t dt = r π 4, wobei ds vorige Beispiel benutzt wurde. Die Fläche eines Kreises mit Rdius r ist lso r π. (.8) Sei > vorgegeben. Mn berechne t cos(t ) dt. Mit f(x) = cos x und der Substitution ϕ(t) = t gilt: t cos(t ) dt = cos(t ) (t ) dt = cos x dx = sin x = ( sin( ) sin ) = sin( ). 3

14 .3 Prtielle Integrtion Eine weitere nützliche Methode zur Berechnung der Integrle ist die so gennnte prtielle Integrtion. Stz 3 (Prtielle Integrtion) Seien f, g : [, b] R zwei stetig differenzierbre Funktionen. Dnn gilt f(x) g (x) dx = f(x) g(x) b g(x) f (x) dx. Eine Kurzschreibweise für diese Formel ist f dg = fg g df. Stz 3 lässt sich wie folgt beweisen: Wir setzen F (x) := f(x)g(x). Nch der Produktregel für die Ableitung gilt F (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Nch dem Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung ist F (x)dx = F (x) b. Setzt mn die Ausdrücke für F (x) und F (x) ein, ergibt sich (f (x)g(x) + f(x)g b (x))dx = f(x)g(x). Bringt mn f (x)g(x)dx uf die ndere Seite, erhält mn die Behuptung des Stzes. Beispiele (.9) Mn berechne ds Integrl xe x dx. Wir setzen f(x) = x und g(x) = e x. Dnn ist uch g (x) = e x und die Formel der prtiellen Integrtion liefert (.) Mn berechne ds Integrl xe x dx = xe x e x dx = e e x = e (e ) =. x sin x dx. Der Grph der Funktion x x sin x schut so us: 4

15 y = x sin x π Zur Berechnung des Integrls setzen wir f(x) = x und g(x) = cos x. Dnn erhält mn x sin x dx = x ( cos x) dx π = x cos x = π cos π + cos + = π ( ) + = π. x ( cos x) dx cos x dx Die in obigem Bild gezeigte Figur ht lso genu denselben Flächeninhlt wie der Einheitskreis. (.) Mn berechne ds Integrl x cos x dx. Der Grph der Funktion x x cos x ist im folgenden Bild drgestellt. (Dbei ist der Mßstb uf der y-achse hlb so groß wie uf der x-achse.) π π - -5 y = x cos x - Wir setzen f(x) = x und g(x) = sin x. Dnn erhält mn 5

16 x cos x dx = x (sin x) dx = x π sin x = (x ) sin x dx x sin x dx = π nch dem vorherigen Beispiel. Ds negtive Resultt lässt sich ddurch erklären, dss die Funktion x x cos x im Intervll [ π, π] strk negtiv wird. Aufgbe: Berechne einzeln den positiven Teil und den negtiven Teil / π/ x cos x dx x cos x dx. 6