2. Räumliche Bewegung

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1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Massenpunkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort im Raum zu bestimmen. Es muss ein Ortsvektor angegeben werden. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-1

2 2. Räumliche Bewegung 2.1 Ortsvektor und Bahnkurve 2.2 Geschwindigkeitsvektor 2.3 Beschleunigungsvektor 2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung 2.5 Schiefer Wurf Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-2

3 2.1 Ortsvektor und Bahnkurve Ortsvektor: Der Ortsvektor eines Punktes P zeigt vom Ursprung O zum Punkt P. Bahnkurve: Die Bahnkurve ist die Gesamtheit aller Orte, die der Punkt einnimmt. Die Bahnkurve wird durch den zeitabhängigen Ortsvektor r(t) beschrieben. O r(t 3 ) r(t 2 ) P r(t 1 ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-3

4 Kartesische Koordinaten: 2.1 Ortsvektor und Bahnkurve Basisvektoren: e x,e y, e z Ortsvektor: r t =x t e x y t e y z t e z z Komponentenform: P [ r t ]=[ x t y t z t ] e x e z O r(t) e y z(t) x(t) y x y(t) Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-4

5 2.2 Geschwindigkeitsvektor Der Geschwindigkeitsvektor gibt an, wie schnell sich der Ortsvektor ändert. Vektor der mittleren Geschwindigkeit: P(t 2 ) Δr P(t 1 ) Der Vektor r(t 2 ) r=r t 2 r t 1 r(t 1 ) ist die Sekante der Bahnkurve zwischen den Orten P(t 1 ) und P(t 2 ). O Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-5

6 Der Vektor 2.2 Geschwindigkeitsvektor v m = r t 2 r t 1 t 2 t 1 wird als Vektor der mittleren Geschwindigkeit bezeichnet. Er gibt durch seinen Betrag und seine Richtung eine mittlere geradlinige gleichförmige Ersatzbewegung zwischen den Orten P(t 1 ) und P(t 2 ) an. In einem kartesischen Koordinatensystem gilt: v m = x t 2 x t 1 t 2 t 1 e x y t 2 y t 1 t 2 t 1 e y z t 2 z t 1 t 2 t 1 e z Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-6

7 Geschwindigkeitsvektor: 2.2 Geschwindigkeitsvektor Der Grenzwert v t 1 =lim t 2 t 1 r t 2 r t 1 t 2 t 1 = d r dt t 1 =ṙ t 1 definiert den Geschwindigkeitsvektor im Punkt P(t 1 ). Der Geschwindigkeitsvektor ist die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit. In einem kartesischen Koordinatensystem gilt: v t = dx dt t e x dy dt t e y dz dt t e z =ẋ t e x ẏ t e y ż t e z =v x t e x v y t e y v z t e z Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-7

8 2.2 Geschwindigkeitsvektor In einem kartesischen Koordinatensystem wird ein Vektor differenziert, indem seine Komponenten differenziert werden. Zusammenhang mit der Bahngeschwindigkeit: Der Ortsvektor kann auch als Funktion der Bogenlänge geschrieben werden: r t =r s t Ableiten nach der Zeit unter Berücksichtigung der Kettenregel führt auf: v t =ṙ t = d r ds ds dt = d r ds v Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-8

9 Wegen gilt: Der Vektor 2.2 Geschwindigkeitsvektor r s für s 0 d r ds = lim s 0 d r ds =e t r s =1 ist ein Einheitsvektor, der tangential zur Bahn gerichtet ist. Damit folgt für die Bahngeschwindigkeit: v = v e t = v = v x 2 v y 2 v z 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik 1.2-9

10 2.2 Geschwindigkeitsvektor v(t) r(t) P Wegen v=v e t gilt: Der Geschwindigkeitsvektor ist stets tangential zur Bahn gerichtet. Seine Richtung stimmt mit dem Durchlaufsinn der Bahn überein. Sein Betrag ist gleich dem Betrag der Bahngeschwindigkeit. O Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

11 2.2 Geschwindigkeitsvektor Beispiel: Archimedische Spirale Ortsvektor: [ [ cos t r t ]=v 0 t sin t ] Geschwindigkeitsvektor: [v t =v 0[ cos t sin t ] v t [ sin t ] 0 cos t Bahngeschwindigkeit: v t =v 0 cos t t sin t 2 sin t t cos t 2 =v t 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

12 2.2 Geschwindigkeitsvektor Addition von Geschwindigkeiten: Da die Geschwindigkeit wie die Kraft ein Vektor ist, kann sie in Komponenten zerlegt und aus Komponenten zusammengesetzt werden. Die resultierende Geschwindigkeit kann analog zur resultierenden Kraft aus dem Geschwindigkeitsplan bestimmt werden: v = v 1 + v 2 v 1 v 2 v v 2 v v v 2 v 1 v 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

13 2.2 Geschwindigkeitsvektor Beispiel: Eine Fähre überquert einen Fluss mit der Strömungsgeschwindigkeit v S. A v F α B Die Geschwindigkeit der Fähre gegenüber der Strömung ist v F. Welchen Vorhaltewinkel α muss der Bootsführer steuern? v S Zahlenwerte: v S = 1,5m/s v F = 3m/s Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

14 2.2 Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeitsplan: v F v S =v F sin α v v S sin = v S v F sin = 1,5 m/ s 3 m/ s =0,5 =30 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

15 2.3 Beschleunigungsvektor Der Beschleunigungsvektor gibt an, wie schnell sich der Geschwindigkeitsvektor ändert. Dabei kann sich sowohl der Betrag als auch die Richtung der Geschwindigkeit ändern. Der Beschleunigungsvektor ist definiert durch Δv v(t+δt ) v(t) a t = lim t 0 v t = v t = r t v(t+δt ) r(t+δt ) v(t) P O r(t ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

16 2.3 Beschleunigungsvektor Der Beschleunigungsvektor ist die erste Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit oder die zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit. In einem kartesischen Koordinatensystem gilt: a t = v x t e x v y t e y v z t e z =ẍ t e x ÿ t e y z t e z =a x t e x a y t e y a z t e z Für den Betrag des Beschleunigungsvektors gilt: a = a x 2 a y 2 a z 2 Der Betrag des Beschleunigungsvektors stimmt in der Regel nicht mit der Bahnbeschleunigung überein. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

17 2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung Aus v t =v t e t t folgt nach der Produktregel: a t = dv dt t e t v t d e t t t =a t t a n t dt Bahnbeschleunigung: Die Komponente a t = v e t ist die Bahnbeschleunigung. Ihre Richtung ist tangential zur Bahn. Ihr Betrag gibt die zeitliche Änderung der Bahngeschwindigkeit an. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

18 2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung Normalbeschleunigung: Aus 1= e t 2 =e t e t folgt durch Ableiten nach der Zeit: 0= d dt e t e t = d e t dt e t e t d e t dt =2 d e t dt e t d e t dt e t Die Beschleunigungskomponente a n =v ė t ist also senkrecht zur Tangente der Bahn. Sie wird als Normalbeschleunigung bezeichnet. Die Normalbeschleunigung gibt die zeitliche Änderung der Richtung des Geschwindigkeitsvektors an. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

19 2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung Beispiel: Archimedische Spirale Geschwindigkeitsvektor: Beschleunigungsvektor: [v t =v 0[ cos t sin t ] v t [ sin t 0 [ a t ]=v 0 [ sin t cos t ] [ sin t cos t ] 2 t [ cos t =v 0 [ 2 sin t t cos t ] 2 cos t t sin t sin t ] cos t ] Bahngeschwindigkeit: v t =v t 2 Bahnbeschleunigung: a t t =v t t 2 = v 2 0 t 1 2 t 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

20 2.5 Schiefer Wurf Aufgabenstellung: Gesucht ist die Bahn eines Massenpunkts, dessen Beschleunigungsvektor mit dem konstanten Vektor der Erdbeschleunigung übereinstimmt. Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit sind bekannt. Koordinatensystem: Der Ursprung liegt im Anfangsort. Die Achsen werden so gewählt, dass der Vektor der Anfangsgeschwindigkeit und der Beschleunigungsvektor in der xz- Ebene liegen. Die z-achse zeigt nach oben. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

21 2.5 Schiefer Wurf Bahnkurve: Die Bahn verläuft in der xz-ebene. Anfangsbedingungen: z v 0z v 0 x 0 =0, z 0 =0 v x 0 =v 0 x =v 0 cos a α v 0x x v z x =v 0 z =v 0 sin Beschleunigungsvektor: a x =0, a z = g Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

22 2.5 Schiefer Wurf In x-richtung führt der Massenpunkt eine gleichförmige Bewegung aus: a x =0 v x t =v 0x, x t =v 0 x t In z-richtung führt der Massenpunkt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus: a z = g v z t =v 0 z g t, z t =v 0 z t 1 2 g t 2 Damit lautet die Parameterdarstellung der Bahnkurve: x t =v 0 cos t, z t =v 0 sin t 1 2 g t 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

23 2.5 Schiefer Wurf Die vektorielle Darstellung der Bahnkurve ist: [ r t ]=[ x t z t ] =v 0[ cos sin ] t 1 2 gt 2[ 0 1] r t =v 0 t 1 2 g t2 e z Bahngleichung z(x): Aus der Gleichung für x(t) folgt: t x = x v 0 cos Einsetzen in z(t) ergibt: z x =z t x =v 0 sin x v 0 cos 1 2 g x 2 v 0 cos Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

24 2.5 Schiefer Wurf Daraus folgt die Gleichung für die Wurfparabel: z x =tan x g 2 v 0 2 cos 2 x2 Alle Bahnen mit konstantem Beschleunigungsvektor sind Parabeln. Wenn der Beschleunigungsvektor parallel zum Vektor der Anfangsgeschwindigkeit ist, degeneriert die Parabel zu einer Geraden. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

25 2.5 Schiefer Wurf Bahnparameter: H: Wurfhöhe, x W : Wurfweite, φ: Bahnwinkel Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

26 2.5 Schiefer Wurf Bahnwinkel: tan = dz dx = v z dt v x dt = v z = v 0sin gt v x v 0 cos tan =tan Steigzeit und Wurfhöhe: gt v 0 cos Im Scheitelpunkt ist der Bahnwinkel null: 0=tan g t H v 0 cos t H =tan cos v 0 g Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

27 2.5 Schiefer Wurf Damit gilt für die Steigzeit: Für die Wurfhöhe folgt: t H = v 0 g sin H=z t H =v 0 sin v 0 g sin 1 2 g v 2 0 g sin = 1 2 g v 0 sin 2 Die zugehörige x-koordinate ist: x H =x t H =v 0 cos v 0 g sin = v 2 0 g sin cos = v 2 0 sin 2 2 g Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

28 Wurfweite und Wurfzeit: 2.5 Schiefer Wurf In der Ebene gilt für die Wurfweite x W : g 0=z x W =tan x W 2 v 2 0 cos 2 x 2 W =x w tan g 2 v 0 2 cos 2 x W Diese Gleichung hat die Lösungen x W = 0 und x W =tan 2 v 2 0 cos 2 g =2 v 2 0 g sin cos = v 0 g sin 2 =2 x H 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

29 2.5 Schiefer Wurf Die Wurfzeit t W berechnet sich aus 0=z t W =v 0 sin t W 1 2 g t 2 W=t v W 0sin 1 2 gt W zu t W =2 v 0 g sin =2t H. Größtmögliche Wurfweite: x Wmax = v 2 0 g für =45 Wegen sin 2 =sin =sin 2 90 ergeben sich für α 1 und α 2 = 90 - α 1 die gleichen Wurfweiten. Der Wurf mit dem kleineren Winkel wird als Flachwurf und der mit dem größeren Winkel als Steilwurf bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

30 2.5 Schiefer Wurf Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

31 2.5 Schiefer Wurf Zusammenstellung der Formeln: Höhe Weite t x z t H = v 0 g sin x H = v g sin 2 H= 1 2 g v 0 sin 2 t W =2 v 0 g sin x W = v 2 0 g sin 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

32 Wurf mit Luftwiderstand: 2.5 Schiefer Wurf Der Wurf mit Luftwiderstand wird als ballistischer Wurf bezeichnet. Der ballistische Wurf wird durch nichtlineare Differenzialgleichungen beschrieben, die nur numerisch gelöst werden können. Die Wurfweite ist beim Flachwurf größer als beim Steilwurf. Die größte Wurfweite wird bei einem Winkel erreicht, der etwas kleiner als 45 ist. Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

33 2.5 Schiefer Wurf Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik

34 2.5 Schiefer Wurf Wurfweite beim ballistischen Wurf: Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Massenpunkts Dynamik