Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
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- Artur Franke
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1 Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander: Definition: "Kronecker- Symbol": Kanonische Basis ist "orthonormal" (= orthogonal und normiert): Beispiel: Berechnung des Skalarprodukts durch Darstellung in Standardbasis: (nur (kommutativität und Assoziativität der Vektoraddition und Skalarmultiplikation) trägt bei) [konsistent mit (29.3) ] Kurzversion mit ES-Konvention:
2 Speziell: Projektion auf Einheitsvektor j liefert Komponente j: Skalarprodukt ist unabhängig von Koordinatensystem: sei 2. Vektorprodukt (Kreuzprodukt): - Zusammenfassung v. Schulwissen - Geometrische Anschauung - Komponentendarstellung, Levi-Civita-Symbol (nur in 3 Dimensionen definiert) Aus Schule bekannt: (?) zyklisch: Verknüpfung: Eigenschaften: (i) (ii) Nur senkrechte Anteile tragen bei: (iii) Distributiv: (iv) Nicht assoziativ: (Beweise: aus geometrischer Anschauung, siehe unten.)
3 Geometrische Definition: (i) Betrag: (ii) Richtung: ist ein Vektor mit folgenden Eigenschaften: Fläche von Parallelogram steht senkrecht auf der von und aufgespannten Ebene, sodass in dieser Folge ein Rechtssystem bilden. Anmerkungen: Beispiel v. physikalischen Anwendung: "Vektorprodukt beschreibt Drehsinn." Drehmoment = Hebelarm x Kraft ist eine "orientierte Fläche" Eigenschaften: (i) Antikommutativ: (folgt aus Schraubenregel) (ii) Nur senkrechter Anteil trägt bei: und/oder oder (Zwei kollineare Vektoren spannen keine Ebene auf.) Sei Zerlegung v. bezgl. Dann gilt: Beweis: Betrag: Richtung: denn und spannen diesselbe Ebene auf (per Konstruktion von ). Merkregel: liegt in Ebene zu, um 90 Grad gedreht zu
4 (iii) Distributivität: ist ausgezeichnet, zerlege anderen Vektoren bzgl. : In dieser Ebene liegt: liegen in Ebene senkrecht zu um 90 Grad gedreht relativ zu Offensichtlich gilt: Also auch: (iv) Nicht-Assoziativität: Ein Gegenbeispiel genügt: Nehme: nicht gleich
5 Vektorprodukt in kartesischen Komponenten: Vektorprodukte der orthonormale Einheitsvektoren: Gleiche Indizes: Zyklische Reihenfolge: Antizyklische Reihenfolge: Kurznotation: Definition: "Levi-Civita-Tensor" (total antisymmetrisch) zwei oder drei Indizes gleich sind Explizit: Noch expliziter: Beispiel für (37.4): Vektorprodukte v. zwei allgemeinen Vektoren: Assoziativität der Vektoraddition Definition der Koeff. von c Folglich: Explizit:
6 (38.4) ganz explizit: Herleitung mittels Levi-Civita & Einstein-Summation ist offenbar viel effizienter und (38.5) ganz explizit: Defintion: Spatprodukt: zyklisch: antizyklisch: Betrag: Spatprodukt ist zyklisch invariant, denn Volumen des Parallelipeds Betrag ist eine geometrische Größe (Volumen des Parallelipeds), unabhängig v. Reihenfolge der Vektoren Vorzeichen: die Richtung v. ist invariant unter zyklischen Permutationen (Vertauschungen) Paralleliped
7 Identität: Spatprodukt nach Komponenten ausgedrückt:: Identität: (ES: implizite Summe über k, mit i,j,m,n vorgegeben) ansonsten Expliziter Beweis durch Aufzählung aller Kombinationen, die nicht 0 liefern: Ergebnis ist nur dann verschieden von Null, freien Indizes vom erstem und zweiten Faktor paarweise gleich sind. Vorzeichen bestimmt durch Zyklitizät.
8 Entwicklungssatz: Beweis: k-komponente: JvD Kurzversion: Analog: (Hausaufgaben) Lagrange-Identität 3. Polare und Axiale Vektoren, Pseudoskalare Definition: Unter der Spiegelung gilt: - für "polare" Vektoren: definierende Eigenschaft: Beispiel: - für "axiale" Vektoren: - für "Skalare": - für "Pseudoskalare": Bemerkung: Vektorprodukt kann nur in als Axial-Vektor dargestellt werden, nicht in anderen Dimensionen
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