Primitiv? Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen. Dr. Heinrich Schneider, Wien. M 1 Grundlegende Zahlenmengen wiederhole dein Wissen!

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1 S 1 Primitiv? Primzahlen und Primfaktoren schätzen lernen Dr. Heinrich Schneider, Wien M 1 Grundlegende Zahlenmengen wiederhole dein Wissen! Die natürlichen Zahlen n 1, 2, 3, 4, 5, heißen natürliche Zahlen. 1, 3, 5, 7, 9, heißen ungerade Zahlen. 2, 4, 6, 8, 10, heißen gerade Zahlen. Regeln für Summen = 14; = 20 Die Summe zweier gerader Zahlen ist stets eine gerade Zahl = 8; = 28 Die Summe zweier ungerader Zahlen ist stets eine gerade Zahl = 5; = 19 Ist ein Summand gerade und der andere ungerade, so ist die Summe eine ungerade Zahl. Teiler 15 = 3 5 Die Zahl 15 besitzt die Teiler 3 und 5. Man kann das Produkt in die Faktoren 3 und 5 zerlegen. Primzahlen und Primfaktoren Wir zerlegen natürliche Zahlen in möglichst kleine Faktoren. Lisa überlegt. Beispiele 4 = 2 2; 6 = 2 3; 20 = 2 2 5; 49 = 7 7 Diese kleinsten Faktoren nennt man Primfaktoren. Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur 2 Teiler besitzt, nämlich die Zahl 1 und sich selbst. Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Auch die Zahl 0 ist keine Primzahl, weil sie jedes Produkt 0 werden lässt: 0 2 = = = 0 2 ist die einzige gerade Primzahl. Zusammengesetzte Zahlen Die Zahlen 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, nennt man zusammengesetzte Zahlen. Man kann jede von ihnen als Produkt von Primzahlen schreiben.

2 S 2 Primzahlzwillinge Man nennt zwei Primzahlen, deren Differenz 2 ist, Primzahlzwillinge. Beispiele (3, 5); 5 3 = 2 (11, 13); = 2 Primzahlzifferlinge Die Ziffern mancher Primzahlen sind selbst wieder Primzahlen, z. B. 23 und 37. Wir nennen solche Zahlen Primzahlzifferlinge. Primzahlen inden das Sieb des Eratosthenes Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus (= Kochrezept ) zur Bestimmung einer Liste aller Primzahlen, die kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl sind. So geht s 1. Du schreibst alle Zahlen 2, 3, 4, 5, bis zu einem frei wählbaren Maximalwert (hier 100) auf. Diese Zahlen sind mögliche Primzahlen. 2. Du streichst alle Vielfachen von 2, alle Vielfachen von 3, alle Vielfachen von 5, alle Vielfachen von 7 usw. Eratosthenes Die kleinste nicht gestrichene Zahl ist immer eine Primzahl. Du streichst alle Vielfachen dieser Zahl. 3. Ist die letzte gefundene Primzahl mit sich selbst multipliziert schon größer als die größte Zahl in der Tabelle? Wenn ja, dann bist du fertig. Alle nicht gestrichenen Zahlen sind Primzahlen. Wenn nicht, machst du mit Schritt 2 weiter. Hier: = 121 > 100 Graik: Wikimedia

3 S 3 Die Spielkarten Addiere geschickt: =? Multipliziere geschickt: (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 11 = 55 Umordnung! Das Produkt welcher drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist 990? = = = 1400 Umordnung! Zerlege in Primfaktoren: 30, 50, 64, = 2 3 5; 50 = 2 5 5; 64 = = 2 6 ; 81 = = 3 4 Aufgabe 6 Felder Suche alle Primzahlen < , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Methode: Sieb des Eratosthenes Aufgabe 5 Felder Ist 2 + Primzahl eine Primzahl? Finde 3 Beispiele für die Antwort ja und 3 Beispiele für die Antwort nein. Manchmal ja: = 5; = 7; = 13 Manchmal nein: = 9 = 3 3; = 21 = 3 7; = 33 = 3 11

4 S 4 Ist die Summe zweier Primzahlzifferlinge stets eine Primzahl? Aufgabe 2 Felder Bilde die Summe aller einstelligen Primzahlen. Ist sie eine Primzahl? Nein. Gegenbeispiel: = 60 = Ist die Summe zweier Primzahlen eine Primzahl? Und das Produkt? Manchmal ja: = = 17 ist eine Primzahl. Manchmal nein: = 20 = Das Produkt zweier Primzahlen ist niemals eine Primzahl. 1 ist keine Primzahl, also sind beide Faktoren 1 und man hat eine Zerlegung in Primfaktoren. Bilde die Summe aller zweistelligen Primzahlen. Ist sie eine Primzahl? Teile durch = 1043 = 7 149, also keine Primzahl. Aufgabe 5 Felder Gibt es drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, deren Summe eine Primzahl ist? Nein! Die Summe ist stets gleich dem Dreifachen der mittleren Zahl, also durch 3 teilbar. (a 1) + a + (a + 1) = 3a Aufgabe 5 Felder Für welche zweistelligen Primzahlen ist die Differenz ihrer beiden Ziffern eine Primzahl? durch Probieren 13, 29, 31, 41, 47, 53, 61, 79, 83, 97

5 S 5 Bilde 2 + 1; ; ; Erhältst du jedes Mal eine Primzahl? Gibt es zweistellige Primzahlen, deren Spiegelzahlen Primzahlen sind? Ja! 3, 7, 31, 211; aber: = = , also keine Primzahl! Gibt es 2 Primzahlen mit der Differenz 3? durch Probieren 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97 Nur 2 und 5. Andere Differenzen sind entweder 1, 2 oder geradzahlig und > 3. Beweis: Jede Primzahl 2 ist ungerade. Die Differenz zweier ungerader Zahlen ist stets gerade, also 3. Zeichne ein Dreieck und trage die Zahlen 1, 2, 3 an den Ecken ein. Ergibt die Summe längs jeder Seite eine Primzahl? Multipliziere eine natürliche Zahl mit sich selbst, addiere die natürliche Zahl und addiere 1. Ist die Summe eine Primzahl? = 3 ja = 7 ja = 13 ja = 21 = 3 7 nein = 31 ja = 43 ja = 57 = 3 19 nein = 73 ja = 91 = 7 13 nein = 111 = 3 37 nein Aufgabe 2 Felder Die Summe zweier ungerader Zahlen ist stets eine Zahl. : Nein. : gerade Beispiele: = 8; = 32 Beweis: (2a + 1) + (2b + 1) = 2 (a + b + 1), also gerade

6 S 10 Rund um das Einzelmaterial Klasse: 6/7 Dauer: 2 Stunden Inhalt: Natürliche Zahlen, Teiler, Primzahlen, Primzahlzwillinge, Primzahlzifferlinge Ihr Plus: geeignet für Vertretungsstunden Didaktisch-methodische Hinweise Primzahlen spielen in der Zahlenlehre eine grundlegende Rolle und ermöglichen viele schöne Aufgaben. Diese Aufgaben kann man auf unterschiedlichen Wegen lösen: durch Raten, Probieren, (geschicktes) Rechnen, Durchspielen von Möglichkeiten, Verallgemeinern und durch Gegenbeispiele. Dass die gefundene tatsächlich richtig und vollständig ist, muss man allerdings beweisen, z. B. durch vollständige Induktion. Zunächst beschäftigen wir uns mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 etc. Wir addieren und multiplizieren sie. Dabei ist das Ergebnis immer eine natürliche Zahl. Es gilt das Kommutativ- und das Assoziativgesetz. Führen Sie anhand der Division zweier natürlicher Zahlen den Begriff Teiler ein: 32 : 4 = 8, d. h. 32 ist durch 4 teilbar. 4 ist ein Teiler von 32. Primzahlen sind natürliche Zahlen > 1, die nur die Zahl 1 und sich selbst als Teiler besitzen. Das Spiel enthält kniflige Knobelaufgaben und eignet sich für Vertretungsstunden. Man spielt es zu zweit. Abwechselnd nehmen die Spieler eine Karte vom Stapel und lesen dem anderen die Frage vor. Ist die Antwort richtig, so darf man die angegebene Anzahl an Felder vorrücken, sonst nicht. In jedem Fall kommt die Karte wieder unter den Stapel. Grüne Felder bedeuten: Rücke 2 Felder vor. Laminieren Sie die Karten, dann halten sie länger. Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz Leitidee Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schüler... K 1, K 2, K 5 L 1 üben das Rechnen mit natürlichen Zahlen und insbesondere mit Primzahlen, K 1, K 2 L 1 lernen Primzahlzwillinge und Primzahlzifferlinge kennen und lösen Knobelaufgaben. Allg. mathematische Kompetenz Anforderungsbereich II, III II, III Abkürzungen Kompetenzen K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathematisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommunizieren) Leitideen L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funktionaler Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall) Anforderungsbereiche I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Relektieren

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