Kapitel 16 : Differentialrechnung

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1 Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

2 Höhere Ableitungen (Bem ) I R ein Intervall, f : I C differenzierbare Funktion mit (erster) Ableitungsfunktion f (x). Ist f seinerseits in x 0 I differenzierbar, so nennt man (f ) (x 0 ) die zweite Ableitung von f an der Stelle x 0. Weitere Bezeichnungen für die zweite Ableitung sind: f (x 0 ) oder D 2 f(x 0 ) oder d2 f dx 2(x 0). Ist f auf ganz I differenzierbar, so nennt man f (x) die zweite Ableitungsfunktion von f. Entsprechend definiert man (induktiv) Ableitungen höherer Ordnung. Ist g := f (n 1) die (n 1)-ste Ableitung von f und ist g in x 0 I differenzierbar, so setzt man f (n) (x 0 ) = g (x 0 ) und nennt dies die n-te Ableitung von f an der Stelle x 0. Schreibweisen dafür sind f (n) (x 0 ) oder D n f(x 0 ) oder dn f dx n(x 0), sowie f (x) falls n = 3. Häufig sind Funktionen beliebig oft differenzierbar, das heißt, dass Ableitungen beliebig hoher Ordnung existieren.

3 Extrema: Maxima und Minima (Def ) f : D R; x 0 D heißt 1. ein globales Maximum von f, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D gilt; dieses heißt strikt, wenn f(x) < f(x 0 ) für alle x D \ {x 0 } gilt; 2. ein lokales Maximum von f, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass f(x) f(x 0 ) ist für alle x B ε (x 0 ) D; bei < heißt das lokale Maximum strikt; 3. ein globales Minimum von f, wenn f(x) f(x 0 ) für alle x D gilt; dieses heißt strikt, wenn f(x) > f(x 0 ) für alle x D \ {x 0 } gilt; 4. ein lokales Minimum von f, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass f(x) f(x 0 ) ist für alle x B ε (x 0 ) D; bei > heißt das lokale Minimum strikt. Ein Extremum von f ist ein Maximum oder ein Minimum. Ein globales Extremum ist insbesondere auch ein lokales Extremum.

4 Mittelwertsätze der Differentialrechnung [a, b] abgeschlossenes und beschränktes Intervall; f : [a, b] R stetig und diffbar auf (a, b). Satz von Rolle (siehe (2)): falls f(a) = f(b), so gibt es ζ (a, b) mit f (ζ) = 0. erster Mittelwertsatz (siehe (1)): es gibt ein ζ (a, b) mit f(b) f(a) b a = f (ζ). zweiter Mittelwertsatz (siehe ) sei auch g : [a, b] R stetig und diffbar auf (a, b); weiter sei g (x) 0 für alle x (a, b). Dann gibt es ein ζ (a, b) mit f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ζ) g (ζ).

5 Monotoniekriterien (Korollar ) f : (α, β) R differenzierbar. Dann gilt, bezogen auf das Intervall (α, β): 1. f > 0 f ist streng monoton wachsend; 2. f < 0 f ist streng monoton fallend; 3. f 0 f ist monoton wachsend; 4. f 0 f ist monoton fallend; 5. f = 0 f ist konstant.

6 Hinreichende Kriterien für Extrema Korollar f : (α, β) R differenzierbar und f (x 0 ) = 0; weiter sei α a < x 0 < b β. 1. f 0 auf (a, x 0 ) und f 0 auf (x 0, b) f hat in x 0 lokales Minimum (strikt, wenn beide Ungleichungen strikt); 2. f 0 auf (a, x 0 ) und f 0 auf (x 0, b) f in x 0 lokales Maximum (strikt, wenn beide Ungleichungen strikt). Satz f : (a, b) R differenzierbar und zweimal differenzierbar in x Falls f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0 x 0 striktes lokales Minimum; 2. Falls f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0 x 0 striktes lokales Maximum.

7 die Regeln von de L Hôpital (Satz ) f, g : (a, b) R differenzierbare Funktionen, g (x) 0 für alle x aus (a, b); (es ist erlaubt, dass a = oder b = ist). Sei c (a, b); Annahme, eine der folgenden Situationen liegt vor: (1a) lim x a + f(x) = 0 und lim x a + g(x) = 0; (1b) lim x a + f(x) = und lim x a + g(x) = ; (2a) lim x b f(x) = 0 und lim x b g(x) = 0; (2b) lim x b f(x) = und lim x b g(x) = ; (3a) lim x c f(x) = 0 und lim x c g(x) = 0; (3b) lim x c f(x) = und lim x c g(x) =. Existiert in einem der Fälle (a) oder (b) der Grenzwert f (x) lim x ω g (x), mit ω = a + in (1), mit ω = b in (2) und mit ω = c in (3), f(x) dann existiert auch der Grenzwert lim x ω g(x) und es gilt dann f (x) lim x ω g (x) = lim f(x) x ω g(x).

8 Der Satz von Taylor (Satz ) Betrachten Funktion f an der Entwicklungsstelle ω. Es sei b > ω. f sei auf [ω, b] wenigstens n-mal differenzierbar, f (n) sei auf (ω, b) differenzierbar. Dann gibt es zu jedem y (ω, b] ein ζ (ω, y), so dass gilt: also bzw. f(y) = T f,n (y; ω) + f(n+1) (ζ) (n + 1)! (y ω)n+1, f(y) T f,n (y; ω) = f(n+1) (ζ) (y ω) n+1 (n + 1)! R f,n (y; ω) = f(n+1) (ζ) (n + 1)! (y ω)n+1.

9 Analytische Funktionen Definition f heißt analytisch im Punkt ω, falls eine reelle Zahl r > 0 existiert, so dass f sich auf dem Intervall (ω r, ω + r) als Potenzreihe darstellen lässt: f(x) = a k (x ω) k. k=0 Satz Es sei I = (a, b) R ein Intervall und ω I. f sei in ω analytisch und werde auf (a, b) durch die Potenzreihe n=0 a n(x ω) n dargestellt. Dann gilt a n = f(n) (ω). n! Also ist die Taylor-Reihe T f von f um den Entwicklungspunkt ω gleich obiger Reihe und konvergiert gegen f.

10 Der Fixpunktsatz (Satz ) Es sei I = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall und f : I R sei differenzierbar mit f(i) I. Es gebe eine Konstante γ < 1 mit f (x) γ für alle x I. Dann gelten: 1. Die Gleichung f(y) = y hat genau eine Lösung ζ in I. 2. Ist x 0 I beliebig und definiert man x n := f(x n 1 ) für n 1, so konvergiert die Folge (x n ) gegen die eindeutige Lösung ζ der Gleichung f(y) = y. Ferner gilt die folgende Fehlerabschätzung: ζ x n γn 1 γ x 1 x 0. Pi-Halbe (Beispiel ) x 0 = 1.5 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 =

11 Das Newton-Verfahren (Satz ) Die Funktion f : I R sei auf dem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] zweimal differenzierbar und es gelte f (x) 0 auf I. Ferner sei f stetig auf I. Ausgehend von einem Startpunkt x 0 I sei die Folge (x n ) rekursiv durch x n+1 := x n f(x n) f (x n ) definiert; sie verlaufe in I. Falls eine Konstante γ < 1 existiert mit f(x)f (x) f (x) 2 γ für alle x I, so gelten: 1. Die Gleichung f(y) = 0 hat genau eine Lösung ζ in I. 2. Die Folge (x n ) konvergiert gegen die eindeutige Lösung ζ. Ferner gilt die gleiche Fehlerabschätzung ζ x n γn 1 γ x 1 x 0 wie beim Fixpunktsatz. Wurzel-Zwo (Beispiel ) x 1 = 1.5 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 =