F u n k t i o n e n Zusammenfassung

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1 F u n k t i o n e n Zusammenfassung Johann Carl Friedrich Gauss (*1777 in Braunschweig, 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker mit einem breit gefächerten Feld an Interessen. Seine überragenden wissenschaftlichen Leistungen waren schon seinen Zeitgenossen bewusst. Bereits 1856 liess der König von Hannover Gedenkmünzen mit dem Bild von Gauss und der Inschrift Mathematicorum Principi (dem Fürsten der Mathematiker) prägen.

2 1. Definition der Funktion Die Funktion f Definition: Eine Funktion f ordnet Element einer D ein Element y einer W zu. Merke: Die Elemente der Definitionsmenge heissen. oder., ihre bilden die Wertemenge. Notation: Für die Funktionsvorschrift werden unterschiedliche Notationen verwendet. Sie erinnern an die verschiedenen Darstellungen: f: y = f( ) = Pfeildiagramm Funktionsgraph Tabelle Die Umkehrfunktion f 1 Definition: Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jeder Funktionswert. auftritt. Zu einer Funktion f eistiert also eine f 1, falls die Zuordnung vom Funktionswert y zurück zum Argument ist. Merke: Um die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion f 1 () zu finden, löst man die Funktionsgleichung f() nach auf. Merke: Hat eine Funktion keine Umkehrfunktion, so kann durch des Definitionsbereichs von Funktion und Umkehrfunktion erreicht werden, dass wenigstens eine Umkehrfunktion zu der eingeschränkten Funktion eistiert. Merke: Der Graf der Umkehrfunktion f 1 entsteht aus dem Grafen der Funktion f, indem der Funktionsgraf Funktionen: Zusammenfassung Seite (November 11)

3 . Eigenschaften von Funktionen Definition: Eine Funktion heisst stetig, falls sie im ganzen Definitionsbereich in einem Strich ohne Absetzen gezeichnet werden kann, sonst heisst sie unstetig. Definition: Eine Funktion heisst streng monoton steigend, wenn für 1 < gilt f( 1 ) < f( ) streng monoton fallend, wenn für 1 < gilt f( 1 ) > f( ) Definition: Eine Funktion heisst symmetrisch (oder achsensymmetrisch), wenn gilt f( ) = f() antisymmetrisch (oder punktsymmetrisch), wenn gilt f( ) = f() Definition: Stellen, an denen der Funktionswert Null ist, heissen Nullstellen. Dort gilt f() = 0 und der Graf schneidet an diesen Stellen die -Achse. Funktionen: Zusammenfassung Seite 3 (November 11)

4 Definition: Ein Punkt auf der Funktion, der der höchste oder der tiefste in seiner Umgebung ist, heisst lokales Maimum bzw. Minimum. Eine solche Stelle heisst Etremalstelle. Definition: Eine Stelle, an der der Funktionswert einen unendlich grossen oder kleinen Wert annimmt, heisst Polstelle. Dort schmiegt sich der Funktionsgraph einer vertikalen Geraden an. Definition: Wenn sich der Funktionsgraf für sehr grosse Werte von immer mehr einer konstanten Zahl nähert, so nennt man diese konstante Funktion (horizontale) Asymptote. Definition: Eine Funktion heisst periodisch, wenn sie sich nach einem gewissen Intervall, einer Periode p, identisch wiederholt, d.h. f( + k p) = f() wobei k eine ganze Zahl ist. Funktionen: Zusammenfassung Seite 4 (November 11)

5 3. Elementare Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen (Polynome) Proportionalität & lineare Funktion Grundfunktion: f( ) = m+ q 1 Beispiele: f( ) = + 7 f( ) = 5 (Proportionalität) f( ) = (konstante Funktion) Die lineare Funktion ist streng monoton, hat die Steigung m = hat eine Nullstelle. Δy, Δ Potenzfunktionen & Polynome Grundfunktion: ( ) n f = a a + a + a n 1 0 n 5 3 Beispiele: f ( ) = f( ) = 4 (Quadratische Funktion) 5 f( ) = (Potenzfunktion) Die Polynomfunktionen können symmetrisch (gerade Potenzen) oder antisymmetrisch (ungerade Potenzen) sein. könne bis zu n Nullstellen haben. Wurzelfunktionen Grundfunktion: ( ) 1 f = = Beispiele: f( ) = 4 f( ) = Die Wurzelfunktion ist definiert für alle Radikanden 0 ist streng monoton. Funktionen: Zusammenfassung Seite 5 (November 11)

6 Gebrochen-rationale Funktionen Umgekehrte Proportionalität Grundfunktion: f( ) 1 = 1 : Beispiele: f( ) 5 = Die umgekehrte Proportionalität ist an der Polstelle bei = 0 nicht definiert, hat eine Asymptote y = 0, ist antisymmetrisch. Gebrochen rationale Funktion Grundfunktion: f 1 : Polynom1 Polynom Beispiele: f( ) = ( ) f = + 4 ( ) ( + 3) Die gebrochen rationale Funktion haben Polstellen bei Nenner = 0, können Asymptoten haben. Eponential- und Logarithmusfunktionen Eponentialfunktion Grundfunktion: f( ) = 10 b Beispiele: f( ) = ( ) = f Die Eponentialfunktion ist streng monoton und hat in eine Richtung eine Asymptote. Funktionen: Zusammenfassung Seite 6 (November 11)

7 Logarithmusfunktion Grundfunktion: f( ) = log ( ) log b ( ) Beispiele: f( ) = log ( + ) ( ) = log( ) f Die Logarithmusfunktion ist definiert für alle Argumente > 0, hat eine Polstelle bei Argument = 0. ist streng monoton, hat keine Asymptote. Trigonometrische Funktionen Sinus- und Cosinusfunktion Grundfunktion: f( ) = sin( ) sin( ), cos( ) Beispiele: f( ) = cos( 3 7) Sinus- und Cosinusfunktion sind periodisch mit der Periode π = 360, können symmetrisch (Cosinus) oder antisymmetrisch (Sinus) sein, hat keine Asymptote. Tangens- und Cotangensfunktion Grundfunktion: f( ) = tan( ) tan( ) Beispiele: f( ) = tan( 7) Tangens- und Cotangensfunktion sind periodisch mit der Periode π = 180, haben alle 180 eine Polstelle, können symmetrisch (Cotangens) oder antisymmetrisch (Tangens) sein. Funktionen: Zusammenfassung Seite 7 (November 11)