Potenzreihen. Potenzreihen sind Funktionenreihen mit einer besonderen Gestalt.

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1 Potenzreihen Potenzreihen sind Funtionenreihen mit einer besonderen Gestalt. Definition. Ist (a ) eine Folge reeller (bzw. omplexer) Zahlen und x 0 R (bzw. z 0 C), dann heißt die Reihe a (x x 0 ) (bzw. a (z z 0 ) ) eine Potenzreihe mit Entwiclungspunt x 0 z 0 ). (bzw. (Im folgenden verwenden wir die reelle Notation. Die Ergebnisse gelten aber auch sinngemäß im Komplexen. Statt Konvergenzintervalle treten dort dann Konvergenzreisscheiben auf.) Sei nun a (x x 0 ) eine Potenzreihe. Es ist evident, dass die Potenzreihe an der Stelle x = x 0 onvergiert. Nun betrachten wir die Folge ( a ). Ist lim sup a = +, dann hat ( a ) eine unbeschränte Teilfolge und für jedes feste x x 0 hat die Folge ( a x x 0 ) ebenfalls eine unbeschränte Teilfolge, und somit ann die Reihe a (x x 0 ) nach dem Wurzelriterium nicht onvergent sein. Wir setzen in diesem Fall R = 0. Ist lim sup a = 0 und x x 0, dann gilt a 2 bzw. a x x 0 2 für fast alle. Nach dem Wurzelriterium folgt damit die absolute Konvergenz der Reihe a (x x 0 ). Wir setzen in diesem Fall R =. Schließlich sei 0 < lim sup a <. Wir setzen Für ein festes x mit x x 0 < R gilt dann lim sup R = lim sup a < a..

2 Wähle nun ein ξ R mit lim sup a < ξ <. Dann gilt a ξ bzw. a x x 0 ξ x x 0 = q < für fast alle N. Nach dem Wurzelriterium liegt damit die absolute Konvergenz der Reihe a (x x 0 ) vor. Ist x x 0 > R, dann ist lim sup a > und a bzw. a x x 0 für unendlich viele. Nach dem Wurzelriterium liegt somit Divergenz vor. Zusammenfassung. Setzen wir R Reihe a (x x 0 ) : = lim sup absolute Konvergenz, falls x x 0 < R Divergenz, falls x x 0 > R a, dann gilt für die falls x x 0 = R, dann ist vorderhand eine Aussage möglich. Dieser Fall muß gesondert untersucht werden. Falls R = 0, dann onvergiert die Reihe nur in x = x 0. Falls R =, dann onvergiert die Reihe für alle x R. Definition. R heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe a (x x 0 ). Bemerungen. (i) Im allgemeinen ist also der Konvergenzbereich einer reellen Potenzreihe ein Intervall um den Entwiclungspunt x 0. Für omplexe Potenzreihen wird entsprechend der Konvergenzbereich im allgemeinen eine Kreisscheibe um den Entwiclungspunt z 0 sein. 2

3 (ii) Ist die Folge ( a ) onvergent, dann gilt offenbar R = lim a. (iii) Durch analoge Überlegungen (mittels des Quotientenriteriums) ann gezeigt werden : ( ) a Ist die Folge + a onvergent, dann gilt R = lim a. a + Beispiele. ) Betrachte (x 2). = Wegen lim sup a = lim = ist R = 0. 2) Betrachte = 3 (x + ). ( Wegen lim sup a = 3 lim ) = 3 ist R = 3. Die Potenzreihe onvergiert also (absolut) für alle x mit x + < 3, i.e. für alle x mit 4 3 < x < ) Betrachte lim a + a = lim x!. (+)!! = lim + = 0. Also ist R =. Wie zuvor erwähnt, onvergieren Potenzreihen in symmetrischen Intervallen (bzw. Kreisscheiben) um einen Punt x 0 R (bzw. z 0 C). Im Hinblic auf gliedweise Integration bzw. Differentiation von Potenzreihen ist die Frage von Interesse, auf welchen Teilmengen der Konvergenzmenge gleichmäßige Konvergenz vorliegt. 3

4 Satz. Eine Potenzreihe a (x x 0 ) mit Konvergenzradius R, 0 < R onvergiert auf jeder ompaten Teilmenge der Konvergenzmenge gleichmäßig. Beweis. Zu jeder ompaten Menge X U R (x 0 ) = {x : x x 0 < R} gibt es ein r mit 0 < r < R mit X U r (x 0 ) U R (x 0 ). Dann ist aber die Reihe a r gemäß früher absolut onvergent und wegen der auf X gültigen Abschätzung a (x x 0 ) a r X gleichmäßig onvergent. nach dem Weierstrass Kriterium auf Satz. Sei a (x x 0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, 0 < R. Dann gilt für die von der Reihe erzeugte Funtion A(x) = a (x x 0 ) : ) A(x) ist stetig auf U R (x 0 ), 2) A(x) ist auf U R (x 0 ) beliebig oft differenzierbar, und es gilt dort für die n-te Ableitung A (n) (x) = a ( ) ( n+)(x x 0 ) n = n! ( ) n a (x x 0 ) n =n wobei diese Potenzreihe ebenfalls den Konvergenzradius R besitzt, 3) A(x) ist auf jedem Intervall [a, b] U R (x 0 ) Riemann-integrierbar und die Potenzreihe darf gliedweise integriert werden, i.e. ( b b ) ( ) A(x)dx = a (x x 0 ) dx = b a (x x 0 ) dx. a Beweis. a zu ) : Sei x U R (x 0 ). Dann gibt es eine ompate Umgebung U(x) von x mit U(x) U R (x 0 ). Auf U(x) liegt gleichmäßige Konvergenz a =n 4

5 vor und nach einer früheren Aussage ist A(x) damit stetig in x. zu 2) : Wir zeigen zuerst, dass die Reihe der Ableitungen den gleichen Konvergenzradius R besitzt. a (x x 0 ) = x x 0 a (x x 0 ) = x x 0 b (x x 0 ) = wobei b = a. R = lim sup b = lim = lim sup = a = R, weil lim =. Die Reihe der Ableitungen onvergiert dann auf jeder ompaten Teilmenge X (insbesondere auf ompaten Umgebungen) von U R (x 0 ) gleichmäßig. Da die Potenzreihe selbst z.b. für x 0 onvergiert, ist nach einem früheren Satz die Summenfuntion in jedem x U R (x 0 ) differenzierbar und die Potenzreihe darf gliedweise differenziert werden. Mittels vollständiger Indution ergibt sich der Beweis für die höheren Ableitungen. zu 3) : A(x) ist stetig auf [a, b] und a (x x 0 ) ist Riemann-integrierbar auf [a, b]. Gemäß früher ist dann auch A(x) Riemann-integrierbar auf [a, b] und die Potenzreihe darf gliedweise integriert werden. Der Konvergenzradius der gliedweise integrierten Potenzreihe ist (analog zur gliedweise differenzierten Potenzreihe) wiederum R. Eine weitere wichtige Aussage ist durch folgendes Ergebnis gegeben. Satz. Sei a (x x 0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, 0 < R, und bezeichne A(x) die Summenfuntion. Dann gilt für alle n 0, dass a n = A(n) (x 0 ) n!, d.h. es ist A(x) = A () (x 0 )! (x x 0 ). Beweis. A (n) (x 0 ) = n!a n. A (n) (x) = n! =n ( ) n a (x x 0 ) n. Für x = x 0 folgt dann 5

6 Bemerungen. (i) A(x) ist auf U R (x 0 ) bereits durch die Werte auf einer beliebig leinen Umgebung von x 0 vollständig bestimmt. (ii) Potenzreihen erscheinen formal als Polynome unendlich hohen Grades. Bei Polynomen wissen wir, dass zwei Polynome vom Grad n identisch sind, wenn sie an mindestens n + Stellen übereinstimmen. Für zwei Potenzreihen ist es allerdings nicht ausreichend, dass sie nur an unendlich vielen Punten übereinstimmen, wie das Beispiel der beiden Funtionen f(x) = sin(πx) und g(x) 0 zeigt, die an allen ganzzahligen x übereinstimmen, aber nicht identisch sind. Satz. (Identitätssatz für Potenzreihen) Besitzen A(x) = a (x x 0 ) und B(x) = b (x x 0 ) an unendlich vielen von x 0 verschiedenen Stellen x, x 2,..., die sich an x 0 häufen, denselben Wert, i.e. A(x i ) = B(x i ), dann gilt a = b, d.h. A(x) = B(x) auf X = U R (x 0 ) U R2 (x 0 ). Bemerung. Dieser Identitätssatz wird in der Funtionentheorie verallgemeinert und ist dort ein mächtiges Werzeug zum Beweis vieler Sätze (z.b. die Eindeutigeit der Fortsetzung von holomorphen Funtionen). 6