Übungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
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- Marta Kaufman
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1 Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge Siusfuktio si( Cosiusfuktio cos( Hyperbelfuktioe sih( ud cosh( Epoetialfuktio e Negative Potez / Poteze, 3, 4...5
2 Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets Dieses Applet stellt wahlweise si(, cos(, sih(, cosh(, e, /,, 3 oder 4 zusamme mit de erste Terme der Taylor-Reihe um eie Etwicklugspukt i eier Grafik dar. Eie zweite Grafik zeigt die Koeffiziete der berücksichtigte Poteze. Der Etwicklugspukt ud die höchste berücksichtigte Potez sid eistellbar. Das Applet soll zeige, dass die Taylor-Etwicklug bis zur erste Potez die Tagete im Etwicklugspukt ergibt die Taylor-Etwicklug eie umso bessere Näherug ergibt, je kleier ist ud je mehr Poteze berücksichtigt werde die Taylor-Reihe für si(, cos(, sih(, cosh( ud e für beliebige -Werte kovergiert, währed sie für / ur i eiem bestimmte Bereich kovergiert; für, 3 ud 4 edet die Taylor-Reihe ach der., 3. bzw. 4. Potez. Mathematischer Hitergrud We die Fuktio f( a der Stelle beliebig oft differezierbar ist, ka ma sie i ihrem Kovergezbereich als Taylor-Reihe etwickel f ( f ( = f ( + (! ( f ( = (! = + f ( =! = ( a ( + f ( 3! mit ( a = f 3 ( +... = (! Bricht ma diese Reihe ach eier edliche Azahl vo Terme ab, so erhält ma ei Taylor-Polyom, das eie Näherug für f( darstellt. Für si(, cos(, sih(, cosh( ud e kovergiert die Taylor-Reihe für beliebige - Werte (bestädig koverget, währed sie für / ur im Bereich < < kovergiert (für >, asoste Relatioe vertauscht.
3 Taylor-Etwickug vo Fuktioe 3 Für edet die Taylor-Reihe ach der. Potez ud stellt da eakt dar, da das Taylor-Polyom ur eie Umsortierug der Fuktio darstellt. Für = erhält ma z.b. = + ( + ( d.h. a =, a=, a =, a3=, usw. Das Applet zeigt im obere Fester als rote Kurve die ausgewählte Fuktio, als blaue Liie de Etwicklugspukt (Startwert ist ormalerweise =, er ka mit dem obere Schieber oder direkt mit der Maus verschobe werde ud als grüe Liie das Taylor- Polyom bis zur. Potez (Startwert ist immer =, er ka mit dem utere Schieber verädert werde. Im utere Fester zeigt das Applet die Koeffiziete a bis zur. Potez, daebe die Zahlewerte als Liste. 3 Vorschläge für Übuge Die folgede Vorschläge solle dabei helfe, die Eigeschafte vo Taylor-Polyome zu "begreife". Viele weitere Übuge sid möglich. 3. Siusfuktio si( Etwicklugspukt =: si(=, daher begit die Taylor-Etwicklug mit. Erhöhe Sie die Potez auf im obere Bild erscheit die Tagete im Ursprug, im utere Bild der Koeffiziet a = (da y = +. Bei Potez ädert sich ichts, da si( ugerade ist ud gerade Poteze daher verschwide ( y = + +. Bei Potez 3 erscheit die beste kubische Näherug, a 3 = -/6 ( y = / 6. Bei Potez 5 erscheit die ächste Verbesserug, usw. Beachte Sie, dass die Koeffiziete sehr schell sehr klei werde. Mit 3 Poteze ist im dargestellte - Bereich keie Abweichug mehr erkebar.
4 Taylor-Etwickug vo Fuktioe 4 Verschiebe Sie u de Etwicklugspukt we die Fuktio keie Symmetrie um de Etwicklugspukt besitzt, trete alle Poteze auf. Verschiebe Sie u de Etwicklugspukt auf π/,5796 (am beste eitippe si( ist zu diesem Pukt achsesymmetrisch, daher trete ur gerade Poteze auf. Im Etwicklugspukt π 3,459 trete wieder ur ugerade Poteze auf si( ist zu diesem Pukt wieder puktsymmetrisch. Außerdem ist bei kleie -Werte auch mit 4 Poteze eie deutliche Abweichug zwische Taylor-Polyom ud Fuktio erkebar, weicht hier zu stark vo ab (für die vorgegebee höchste Potez. 3. Cosiusfuktio cos( Beachte Sie, dass die Koeffiziete für die Etwicklug vo cos( um Etwicklugspukt eakt mit de Koeffiziete für die Etwicklug vo si( um Etwicklugspukt π/ übereistimme (der Kurveverlauf i der Umgebug ist idetisch. Alle weitere Eigeschafte ergebe sich i Aalogie zu si(. 3.3 Hyperbelfuktioe sih( ud cosh( sih( ist ugerade um de Etwicklugspukt, etspreched sid die Koeffiziete mit de gerade Poteze. Mit Potez 5 wird im agezeigte Bereich bereits eie sehr gute Übereistimmug erreicht. cosh( ist gerade um de Etwicklugspukt, etspreched sid die Koeffiziete mit de ugerade Poteze. Mit Potez 6 wird im agezeigte Bereich bereits eie sehr gute Übereistimmug erreicht. Die Zahlewerte der Koeffiziete stimme mit dee bei si( bzw. cos( überei, ur die Vorzeiche sid hier alle positiv. Bei Etwicklugspukte trete gerade ud ugerade Poteze auf, da die Kurve zu diese Pukte icht symmetrisch sid. Bei Etwicklugspukte am Rad des dargestellte Bereichs sid mehr Poteze erforderlich, um eie gute Geauigkeit zu erreiche, da größere Werte für auftrete.
5 Taylor-Etwickug vo Fuktioe Epoetialfuktio e Da e keie Symmetrie besitzt, trete alle Poteze auf. Bei alle bisher betrachtete Fuktioe ehme die Koeffiziete mit zuehmedem sehr schell ab ud die Kovergez ist geerell sehr gut. 3.5 Negative Potez / / ist im Ursprug icht defiiert, daher liegt die Voreistellug für de Etwicklugspukt bei. Für diese Eistellug sid die Koeffiziete abwechseld ±. Die Reihe kovergiert ur für <<. Außerhalb dieses Bereichs ist die Reihe icht berechebar. Mit jedem zusätzliche Term oszilliert das Taylor-Polyom. Auch ierhalb dieses Bereichs ist die Kovergez i der Nähe der Greze etrem lagsam, sehr viele Terme sid erforderlich um eie gute Übereistimmug zwische Fuktio ud Taylor-Polyom zu erhalte. Für Etwicklugspukte > ehme die Koeffiziete wie + ab, dadurch vergrößert sich der Kovergezbereich auf de Bereich <<. Im Vergleich zu de bisher behadelte Fuktioe ehme die Beträge der Koeffiziete lagsam ab, dadurch bleibt der Kovergezbereich edlich. Für Etwicklugspukte < ehme die Beträge der Koeffiziete wie + zu, dadurch verkleiert sich der Kovergezbereich auf de Bereich <<. Für <,4 wird die Grafik uterdrückt, da sie icht mehr sivoll darstellbar ist. Für Etwicklugspukte < gilt etsprechedes, ur dass u alle Koeffiziete egativ sid. Beachte Sie, dass = ie im Kovergezbereich liegt. Dies ist verstädlich, da die Ausgagsfuktio / hier icht defiiert ist. Der Kovergezbereich ist immer symmetrisch um de Etwicklugspukt ("Kovergezradius". 3.6 Poteze, 3, 4 Uabhägig vom Etwicklugspukt sid alle Koeffiziete für Poteze größer als die Potez der zu etwickelde Fuktio eakt, die Taylor-Reihe hat ur edlich viele Terme, das Polyom ist eakt, we die Potez ausreiched groß gewählt wird. Für kleiere Poteze ist das Taylor-Polyom eie Näherug, wie bei de adere Fuktioe.
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20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
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