Anhang A. Etwas affine Geometrie. A.1 Die affine Hülle

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1 Anhang A Etwas affine Geometrie In diesem Anhang stellen wir die wichtigsten Grundbegriffe aus der affinen Geometrie zusammen, soweit sie eben für uns von Nutzen sind. Für weiterführende Ergebnisse sei auf einschlägige Lehrbücher der Geometrie verwiesen, beispielsweise auf [1]. A.1 Die affine Hülle Zunächst betrachten wir einige Begriffe, die aus der Linearen Algebra bekannt sein sollten und weitgehend analog zu den entsprechenden Begriffen über die lineare Hülle sind; sie dienen dazu, die Ausnahmerolle des Nullvektors zu beseitigen, der ja in jedem linearen Unterraum enthalten ist. Im folgenden bezeichne V stets einen K-Vektorraum. Definition A.1.1. Ist E eine endliche nichtleere Teilmenge von V, nennt man eine Linearkombination e E λ ee V eine affine Kombination über E, falls gilt: λ e = 1. e E Definition A.1.2. Es sei M eine nichtleere Teilmenge von V. Die affine Hülle von M in V, aff M, ist die Menge aller affinen Kombinationen über E M, wobei für E alle endlichen nichtleeren Teilmengen von M zugelassen werden. M heißt affin abgeschlossen oder auch ein affiner Unterraum von V, falls aff M = M gilt. Schließlich setzen wir noch aff :=, womit auch die leere Menge ein affiner Unterraum ist. Das folgende, besonders wichtige Resultat führt den Begriff des affinen Unterraums auf den linearen Fall zurück: 1

2 2 ANHANG A. ETWAS AFFINE GEOMETRIE Satz A.1.3. Die nichtleeren affinen Unterräume von V sind genau die Nebenklassen von linearen Unterräumen von V, also die Mengen der Form A = a + U = U + a, wobei U ein linearer Unterraum ist und a V gilt. Beweis. Wir zeigen zunächst, daß a + U stets affin abgeschlossen ist. Seien dazu E = {a+u 1,...,a+u k } eine endliche Teilmenge von a+u und v := k i=1 λ i(a+u i ) eine beliebige affine Kombination. Wegen k i=1 λ i = 1 ist v = ( k λ i )a + i=1 k λ i u i = a + i=1 k λ i u i ein Element von a+u, da U unter der Bildung von Linearkombinationen abgeschlossen ist. Somit gilt in der Tat aff (a + U) = a + U. Es sei umgekehrt A V ein nichtleerer affiner Unterraum, also aff A = A. Wir wählen ein beliebiges a A und setzen i=1 U a := A a = {w a: w A}. Wir zeigen nun, daß U a ein linearer Unterraum von V ist. Dazu seien x = w a und y = v a Elemente von U a und λ, µ K Skalare. Dann ist λx + µy = λw + µv + (1 λ µ)a a. Wegen w,v,a A und λ+µ+(1 λ µ) = 1 ist λw+µv+(1 λ µ)a in der affinen Hülle von w,v,a enthalten, also ein Element von A. Daher gilt λx+µy U a, womit U a ein linearer Unterraum von V ist. Wegen A = a + U a folgt die Behauptung. Man nennt den im Beweis erklärten Unterraum U a auch den zu A gehörenden linearen Unterraum. Diese Terminologie ist aufgrund des folgenden Lemmas gerechtfertigt, welches zeigt, daß U a in der Tat nicht von der Wahl von a A abhängt. Lemma A.1.4. Seien U und U zwei Unterräume von V sowie x und x zwei Vektoren. Dann gilt x + U = x + U U = U und x x U. Beweis. Es gelte also x + U = x + U (die andere Richtung ist trivial). Somit gibt es für jedes u U ein u U mit x + u = x + u. Für u = 0 ergibt sich daraus x x U, womit allgemein u = u (x x ) U folgt, also U U. Die umgekehrte Inklusion folgt entsprechend. Aus diesem Lemma ergibt sich zusammen mit dem Beweis von Satz A.1.3 eine Aussage, die wir wegen ihrer Wichtigkeit nochmals explizit festhalten wollen:

3 A.1. DIE AFFINE HÜLLE 3 Korollar A.1.5. Sei A ein affiner Unterraum von V. Ferner sei a ein beliebiger Vektor in A. Dann kann der eindeutig bestimmte zu A gehörige lineare Unterraum U in der Form U = A a geschrieben werden. Wir erwähnen eine weitere interessante Konsequenz von Satz A.1.3: Satz A.1.6. Die affinen Unterräume des Vektorraums V = K n sind genau die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen in n Variablen über K. Beweis. Es sei A eine m n-matrix über K. Aus der Linearen Algebra wissen wir, daß das Gleichungssystem Ax = b entweder unlösbar ist oder aber als Lösungsmenge L eine Nebenklasse des Lösungsraumes U des zugehörigen homogenen Gleichungssystems Ax = 0 hat. Dabei ist U als Kern der linearen Abbildung x Ax ein linearer Unterraum, womit L in der Tat ein affiner Unterraum ist. Umgekehrt sieht man (unter Verwendung des Basisergänzungssatzes) leicht ein, daß jeder lineare Unterraum U des K n als Kern einer linearen Abbildung und somit als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 auftritt. Dann ist aber der affine Unterraum U + a die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = Aa. Neben der oben gegebenen inneren Beschreibung der affinen Hülle über affine Kombinationen gibt es auch eine alternative äußere Beschreibung, die auf dem folgendem Hilfssatz beruht: Lemma A.1.7. Sei (A i ) i I eine Familie von Teilmengen von V. Wenn alle A i affin abgeschlossen sind, ist auch A := i I A i affin abgeschlossen. Beweis. Die Behauptung ist klar, falls A leer ist. Anderenfalls seien E = {a 1,...,a k } eine endliche Teilmenge von A und v := λ 1 a λ k a k eine beliebige affine Kombination über E. Nun ist E in jedem der affinen Unterräume A i enthalten, womit stets v A i folgt. Also gilt auch v A. Satz A.1.8. Die affine Hülle einer Teilmenge M von V ist der Durchschnitt über alle affinen Unterräume, die M enthalten. Beweis. Offenbar ist aff M in jedem M umfassenden affinen Unterraum enthalten. Damit folgt die Behauptung unmittelbar aus Lemma A.1.7. Mit Satz A.1.3 ergibt sich schließlich noch die folgende äußere Beschreibung der affinen Hülle, die manchmal auch zur Definition dieses Begriffs verwendet wird: Korollar A.1.9. Es sei M eine nichtleere Teilmenge von V. Dann gilt aff M = U + a. U V, a V M U+a

4 4 ANHANG A. ETWAS AFFINE GEOMETRIE A.2 Der affine Rang Häufig benötigen wir auch für affine Unterräume einen Dimensionsbegriff, beispielsweise für den Satz von Carathéodory. Man kann dies wieder auf die lineare Algebra zurückführen. Trotzdem sollte man auch die folgende direkte Definition kennen. Definition A.2.1. Eine Teilmenge E von V heißt affin unabhängig, falls für alle a E gilt, daß a nicht in aff (E\{a}) enthalten ist; anderenfalls heißt E affin abhängig. Die affine Dimension (oder auch der affine Rang) affdime von E ist die maximale Mächtigkeit einer affin unabhängigen Teilmenge von E, falls diese Zahl existiert. 1 Wir vereinbaren noch die Konvention affdim = 1. Bevor wir diesen Dimensionsbegriff untersuchen, wollen wir erst noch die affine Abhängigkeit charakterisieren: Satz A.2.2. Es sei E = {a 1,...,a k } eine endliche Teilmenge von V. Dann sind die folgenden drei Aussagen äquivalent: (a). E ist affin abhängig. (b). Es gibt Skalare λ 1,..., λ k, die nicht sämtlich gleich 0 sind, und erfüllen. λ 1 a λ k a k = 0 sowie λ λ k = 0 (c). Die Vektoren a 2 a 1,...,a k a 1 sind linear abhängig. Beweis. Zunächst seien a 1,...,a k affin abhängig. Dann ist einer dieser Vektoren, etwa a k, eine affine Kombination der übrigen Vektoren in E. Somit gibt es Skalare λ 1,..., λ k 1 mit λ 1 a λ k 1 a k 1 = a k und λ λ k 1 = 1. Mit λ k := 1 ergibt sich die gewünschte Darstellung des Nullvektors in (b). Sei nun eine Darstellung des Nullvektors wie in (b) gegeben. Dann erhalten wir mit λ 1 = (λ λ k ) sofort die in (c) verlangte lineare Abhängigkeit: λ 2 (a 2 a 1 ) λ k (a k a 1 ) = 0. 1 Wir werden nur endlichdimensionale Vektorräume betrachten, weswegen diese Annahme immer gegeben sein wird.

5 A.2. DER AFFINE RANG 5 Schließlich gelte (c), etwa λ 2 (a 2 a 1 )+...+λ k (a k a 1 ) = 0, wobei mindestens eines der λ i von 0 verschieden ist. Somit gilt (λ λ k )a 1 = λ 2 a λ k a k. Sollte dabei λ λ k = 0 gelten, sind bereits a 2,...,a k affin abhängig. Sei nun λ := λ λ k 0. Nach Division durch λ erhalten wir dann a 1 = µ 2 a µ k a k mit µ i = λ i /λ. Dabei gilt µ µ k = 1, womit a 1,...,a k affin abhängig sind. Korollar A.2.3. Die Vektoren a 1,...,a k V sind genau dann affin unabhängig, wenn ihre Differenzvektoren a 2 a 1,...,a k a 1 linear unabhängig sind. Insbesondere ist nach Korollar A.2.3 die Maximalzahl affin unabhängiger Vektoren in einem affinen Unterraum A = U+a gerade um 1 kleiner als die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren in U. Damit erhalten wir das folgende wichtige Ergebnis: Satz A.2.4. Sei E eine Teilmenge von V. Ferner seien A = aff E die affine Hülle von E und U der zu A gehörende lineare Unterraum von V. Dann gilt: affdime = affdima = dimu + 1. Bemerkung A.2.5. Es ist üblich, anstelle des affinen Rangs affdim E die Dimension dim E := dimu zu verwenden, wobei also U der zu A = aff E gehörende lineare Unterraum ist. Damit können wir die Formel in Satz A.2.4 dann auch wie folgt schreiben: dime = dima = dimu. Satz A.2.4 kann durch die folgende Aussage präzisiert werden, deren Beweis wir dem Leser als einfache Übung überlassen: Korollar A.2.6. Es sei A = U + a ein affiner Unterraum von V mit zugehörigem linearem Unterraum U. Wenn B = {b 1,...,b k } eine Basis von U ist, gilt A = aff {a,b 1 + a,...,b k + a}.

6 6 ANHANG A. ETWAS AFFINE GEOMETRIE A.3 Die affine Geometrie AG(V ) In diesem Abschnitt wollen wir aus Gründen der Allgemeinbildung noch einiges über die affine Geometrie eines Vektorraums V sagen, die man für V = K n wegen Satz A.1.6 auch als die Geometrie linearer Gleichungssysteme deuten könnte. (In ähnlicher Weise kann man die Konvexgeometrie im Spezialfall V = R n nach als die Geometrie linearer Ungleichungssysteme auffassen, wobei gegebenenfalls auch unendlich viele Ungleichungen zugelassen sind.) Definition A.3.1. Es sei V ein K-Vektorraum. Die affine Geometrie AG(V ) besteht aus allen affinen Unterräumen von V ; für V = K n schreibt man statt AG(V ) auch AG(n, K). Zwei affine Unterräume A und A heißen inzident (A I A ), wenn einer von beiden im anderen echt enthalten ist, also etwa A A ; sie werden parallel genannt (A A ), wenn einer der beiden zugehörigen linearen Unterräume im anderen enthalten ist, also etwa A = a + U und A = a + U mit U U. Üblicherweise identifiziert man 0-dimensionale und damit einelementige affine Unterräume (also Nebenklassen des trivialen linearen Unterraums {0}) mit dem jeweils entsprechenden Vektor und nennt sie die Punkte von AG(V ). Affine Unterräume der Dimension 1 heißen Geraden, solche der Dimension 2 Ebenen, und solche der Codimension 1 (also der Dimension n 1 für dimv = n) Hyperebenen. Beispiel A.3.2. Man beachte, daß sich die Gerade ab durch zwei Punkte a und b aufgrund der zuvor erzielten Ergebnisse explizit als die Menge {λa+(1 λ)b: λ K} schreiben läßt. Ebenso bestimmen drei affin unabhängige Punkte a, b und c die Ebene E = {αa + βb + γc: α, β, γ K, α + β + γ = 1}; dabei sind die drei Vektoren a, b und c linear abhängig, wenn (und nur wenn) E den Ursprung 0 enthält, womit man dann E genauso gut auch als affine Hülle von zwei dieser Punkte und 0 schreiben könnte. Algebraisch gesprochen bilden die affinen Unterräume bezüglich der Operationen Schnitt ( ) und Erzeugnis ( ) einen sogenannten Verband, was wir jedoch nicht benötigen und auch nicht näher ausführen werden. Für unsere Zwecke reicht es völlig aus, einige Eigenschaften dieser beiden Operationen zu untersuchen. Dabei wird das Erzeugnis A B zweier affiner Unterräume A und B als die affine Hülle aff (A B) erklärt; man beachte, daß sich für den Spezialfall linearer Unterräume einfach die aus der Linearen Algebra wohlbekannte Summe A + B ergibt. Unter Verwendung von Satz A.1.3 kann man die Operation auch im allgemeinen Fall leicht beschreiben: Lemma A.3.3. Es seien A = U A +x und B = U B +y zwei affine Unterräume des K-Vektorraums V. Dann gilt: A B = x + U A + U B + K(y x).

7 A.3. DIE AFFINE GEOMETRIE AG(V ) 7 Beweis. Da das Erzeugnis A B den Vektor x enthält, ist es nach Korollar A.1.5 ein affiner Unterraum der Form T +x. Weil A B die affinen Unterräume A, B und xy enthält, muß dabei T jedenfalls die linearen Unterräume U A, U B und K(y x) und somit auch deren Erzeugnis U A +U B +K(y x) enthalten. Daraus folgt bereits die Behauptung. Als nächstes stellen wir einige interessante geometrische Eigenschaften von AG(V ) zusammen: Satz A.3.4. Es seien A und B zwei nichtleere affine Unterräume eines endlichdimensionalen K-Vektorraums V mit zugehörigen linearen Unterräumen U A und U B. Dann gelten die folgenden Aussagen: (i). Aus A B folgt dim A dim B mit Gleichheit genau für A = B. (ii). Wenn A und B nicht disjunkt sind, gilt dim A + dimb = dim (A B) + dim (A B). (iii). Wenn A und B disjunkt sind, gilt dim A + dimb = dim (A B) + dim (U A U B ) 1. (iv). Wenn A und B nicht disjunkt sind, gilt A B A B oder B A. (v). Wenn A und B disjunkt sind, gilt A B dim (A B) = max{dim A, dim B} + 1. (vi). Wenn B eine Hyperebene ist, gilt A B oder dim (A B) = dima 1. Beweis. Wir nehmen zunächst an, daß A und B nicht disjunkt sind. Es sei etwa x A B, also nach Korollar A.1.5 A = U A + x sowie B = U B + x. Wenn sogar A B gilt, folgt U A U B, woraus man unmittelbar (i) erhält. Für (ii) wenden wir Lemma A.3.3 an, aus dem sich in unserem Spezialfall x = y die einfachere Formel A B = x + U A + U B ergibt. Ferner gilt hier offenbar A B = (U A U B ) + x, womit die Behauptung sich (gemäß Bemerkung A.2.5) auf die aus

8 8 ANHANG A. ETWAS AFFINE GEOMETRIE der Linearen Algebra bekannte Dimensionsformel für lineare Unterräume reduziert. Schließlich folgt (iv) direkt aus der Definition der Parallelität. Ab jetzt seien also A und B disjunkt. Dann gelten A = U A + x und B = U B + y mit y x / U A + U B, da aus y x = u A + u B der Widerspruch u A + y = u B + x A B folgen würde. Mit dieser Beobachtung erhält man nun (iii) wieder aus Lemma A.3.3 und der Dimensionsformel für lineare Unterräume: dim A + dimb = dimu A + dimu B = dim (U A + U B ) + dim (U A U B ) = dim (U A + U B + K(y x)) 1 + dim (U A U B ) = dim (A B) + dim (U A U B ) 1. Für (v) beachte man, daß A B genau dann gilt, wenn einer der beiden linearen Unterräume U A und U B im anderen enthalten ist, was gerade bedeutet; dies wiederum ist zu dim (U A U B ) = min{dim A, dim B} dim A + dimb dim (U A U B ) = max{dim A, dim B} äquivalent, womit (v) sich aus (iv) ergibt. Schließlich beweisen wir noch (vi) mit derselben Fallunterscheidung wie eben. Wenn A und B disjunkt sind, muß A B die Hyperebene B echt umfassen, also bereits ganz V sein. Somit gilt dann dim (A B) = dimv = max{dim A, dim B} + 1, was nach (v) A B bedeutet. Wenn A und B nicht disjunkt sind, gilt nach (ii) dim (A B) = dima + (dimv 1) dim (A B). Wir können dabei A B annehmen, also nach (iv) A B und B A. Dann muß aber A B wieder ganz V sein, womit sich die Behauptung ergibt. Mit Satz A.3.4 kann man nun einige anschaulich klare (bzw. aus der euklidischen Geometrie bekannte) geometrische Aussagen beweisen. Am einfachsten geht das im ebenen Fall, den wir dem Leser überlassen wollen: Übung A.3.5. Wir betrachten die affine Ebene Σ = AG(2, K). Man zeige, daß Σ die folgenden Axiome erfüllt:

9 A.3. DIE AFFINE GEOMETRIE AG(V ) 9 (AE 1). Zu je zwei Punkten von Σ gibt es eine eindeutig bestimmte Gerade, die beide Punkte enthält. (AE 2). Zu jedem Punkt x und zu jeder Geraden G gibt es genau eine Gerade H mit xi G und G H. (Parallelenaxiom) (AE 3). Es gibt ein Dreieck, also drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Ferner gilt G H genau dann, wenn entweder G = H oder G H = ist. Im Fall dimv 3 erhält man das folgende, etwas kompliziertere Resultat: Satz A.3.6. Sei V ein mindestens 3-dimensionaler K-Vektorraum. Dann erfüllt der affine Raum AG(V ) die folgenden Lenz-Axiome: (AG 1). Zu je zwei Punkten von Σ gibt es eine eindeutig bestimmte Gerade, die beide Punkte enthält. (AG 2). Zu jedem Punkt x und zu jeder Geraden G gibt es genau eine Gerade H mit xi G und G H. (Parallelenaxiom) 2 (AG 3). Es seien G und H zwei parallele Geraden mit G H. Ferner seien L eine Gerade, die G und H schneidet, und x ein weder auf G noch auf H liegender Punkt von L. Dann schneidet jede G schneidende Gerade L durch x auch die Gerade H. (Trapezaxiom) (AG 4). Zu drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkten x, y und z gibt es stets einen Punkt w mit xy zw und xz yw. (Parallelogrammaxiom) (AG 5). Jede Gerade hat mindestens zwei Punkte. (AG 6). Es gibt disjunkte Geraden, die nicht parallel sind. Beweis. Wir beweisen nur die Gültigkeit des Trapezaxioms. (Es wäre sicher hilfreich, sich hierzu eine Figur zu zeichnen. Alle anderen Aussagen sind noch einfacher und können dem Leser überlassen bleiben.) Da G und H zwei verschiedene parallele Geraden und somit nach (AG 2) disjunkt sind, ist E := G H nach (v) in Satz A.3.4 eine Ebene. Nach Voraussetzung schneidet die Gerade L die Geraden G und H, etwa in den Punkten g und h; dann liegt aber ganz L = gh in der Ebene E. Insbesondere ist daher auch x ein Punkt von E. Da L die verschiedenen Punkte x und y := G L enthält, muß L = xy ebenfalls ganz in E liegen. Weil L und H verschieden sind, gilt offenbar auch E = L H. Wäre nun L H =, würde nach (iii) in Satz A.3.4 der Widerspruch dime = 3 folgen; man beachte dabei, daß die zugehörigen 2 Man beachte, daß nun aus G H = keineswegs mehr G H folgen muß; wir werden in (AG 6) sogar die Existenz windschiefer Geraden verlangen.

10 10 ANHANG A. ETWAS AFFINE GEOMETRIE linearen Unterräume U L und U H wegen L H verschieden sind, sich also nur im Nullvektor schneiden. Damit ist das Trapezaxiom nachgewiesen. Die Bedeutung von Satz A.3.6 liegt darin, daß die Lenz-Axiome die affinen Räume charakterisieren: Jeder abstrakt gegebene affine Raum der also aus Punkten und Geraden besteht, die diesen sechs Axiomen genügen kann (bis auf Isomorphie) als ein affiner Raum AG(V ) dargestellt werden, wobei V ein mindestens 3-dimensionaler Vektorraum über einem geeigneten (nicht notwendig kommutativen) Körper K ist. Für den Beweis dieses nicht ganz einfachen Resultats verweisen wir auf die Originalarbeit von Lenz [5] oder auch auf Beutelspacher [2], der allerdings nur den Fall behandelt, in dem jede Gerade mindestens drei Punkte enthält. Wenn man eine axiomatische Charakterisierung der euklidischen Räume (also der affinen Räume über einem reellen Vektorraum) erreichen will, benötigt man weitere (und kompliziertere) Axiome. Der klassische Ansatz dazu stammt von Hilbert in seinen 1899 erstmals erschienenen Grundlagen der Geometrie; siehe [4]. Die hier skizzierten Resultate sind natürlich nur der Beginn der affinen Geometrie. Für ein fortgeschrittenes Studium empfiehlt es sich im übrigen, zur projektiven Geometrie überzugehen; siehe dazu etwa [3] oder [6].

11 Literaturverzeichnis [1] M. Berger: Geometry I. Springer, Berlin Heidelberg (1987). [2] A. Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie II. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim (1983). [3] A. Beutelspacher und U. Rosenbaum: Projektive Geometrie. Vieweg, Braunschweig und Wiesbaden (1992). [4] D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 11. Auflage bei Teubner, Stuttgart (1968). [5] H. Lenz: Ein kurzer Weg zur analytischen Geometrie. Math.-Phys. Semesterber. 6 (1959), [6] H. Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1965). 11