Kapitel 2: Mathematische Grundlagen
|
|
- Valentin Klemens Schäfer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 [ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.1/67
2 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.2/67
3 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.3/67
4 Mathematische Grundlagen Wichtig für Darstellung von 3D-Objekten auf dem Bildschirm Kamera-Modell Einstellung der Aufnahmebedingungen Parallel- und perspektivische Projektion Translation, Skalierung, Rotation von Objekten Komposition komplexer Szenen aus einfachen Teilen Darstellung dynamischer Vorgänge Animation, Bewegung von Objekten 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.4/67
5 Beschreibung geometrischer Objekte Geometrische Objekte können durch Punktkoordinaten beschrieben werden. Punkte werden dabei in einem Koordinatensystem definiert. Dreieck: Durch Angabe der drei Eckpunkte Würfel: Durch Angabe der Koordinaten seiner 8 Eckpunkte Kugel: Durch Angabe des Mittelpunkts und des Radius Vorteil dieser Darstellung: Objekte bestehen aus unendliche vielen Punkten. Objekt verschieben = unendlich viele Punkte verschieben? Aufwand? Statt dessen: Verschiebe nur (wenige) endlich viele Punkte die das Objekt genau definieren. Alle anderen Punkte die zu einem Objekt gehören lassen sich daraus rekonstruieren. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.5/67
6 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.6/67
7 Vektorräume Menge V von Vektoren mit zwei Operatoren: Addition von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Notation: Vektoren: Kleine lateinische Buchstaben u, w, w,... Skalare: Kleine griechische Buchstaben α, β, γ, Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.7/67
8 Vektorraum Definition: Ein reeller Vektorraum (V, +, ) besteht aus einer Menge V einer Verknüpfung (Addition) + : V V V (v, w) v + w einer Verknüpfung (Multiplikation mit Skalaren) so dass folgendes gilt: : R V V (α, w) α w 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.8/67
9 Eigenschaften der Operatoren Addition Kommutativ: v + w = w + v Assoziativ: (u + v) + w = u + (v + w) Neutrales Element (Identität): 0 + v = v Inverses: Für alle v V gibt es w V mit v+w=0. Wird als v bezeichnet. Skalare Multiplikation (αβ)v = α(βv) 1v = v (α + β)v = αv + βv α(v + w) = αv + βw für alle u, v, w V, α, β, γ R 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.9/67
10 Geometrische Interpretation Vektorraum abstrahiert grundlegende geometrische Eigenschaften der Ebene Ebene? Vektorraum Wähle Punkt auf Ebene: Ursprung Addition von zwei Vektoren: Parallelogrammregel Skalare Multiplikation 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.10/67
11 Frage Ist die Konstruktion eines Vektorraums in der Ebene abhängig von einem Koordinatensystem? Oder ist es eine rein geometrische Konstruktion? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.11/67
12 Klassische Beispiel: R n R n : Menge aller geordneten n-tupel reeller Zahlen. Addition und skalare Multiplikation: Komponentenweise definiert Beispiele = = Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.12/67
13 Linearkombination Seien v 1,...,v n V. Eine Linearkombination von v 1,...,v n hat die Form α 1 v α n v n mit α 1,...,α n R 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.13/67
14 Anwendungen von Linearkombinationen Linie durch den Ursprung 0 {αv : α R} für ein v V, v 0. Strahl durch den Ursprung in Richtung v {αv : α R, α 0} für ein v V, v Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.14/67
15 Span Seien v 1,...,v n V. Der Span von v 1,...,v n ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. span(v 1,...,v n ) = {α 1 v α n v n : α i R für i = 1,...n} Beispiel: Sind v, w nicht parallel so ist span(v, w) eine Ebene. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.15/67
16 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.16/67
17 Affiner Raum Ist eine Menge in der geometrische Operationen Sinn machen. es aber keinen besonders ausgezeichneten Punkt gibt. Frage: Welcher Vektor eines Vektorraums ist besonders ausgezeichnet? Affine Räume - wozu? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.17/67
18 Affine Räume - wozu? Ist eine Menge in der geometrische Operationen Sinn machen. es aber keinen besonders ausgezeichneten Punkt gibt. Frage: Welcher Vektor eines Vektorraums ist besonders ausgezeichnet? Affine Räume - wozu? Objekte, Räume haben kein eingebautes Koordinatensystem (auch eine Ebene nicht). Alle Punkte sind gleichberechtigt. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.18/67
19 Affiner Raum - Idee Ein affiner Raum besteht aus einer Menge P, den Punkten des affinen Raums, einem Vektorraum V, und zwei Operatoren Die Operatoren haben die Eigenschaften Sind P und Q Punkte, so liegt der Differenz in V Ist P ein Punkt, v V, so ist P + v ein Punkt 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.19/67
20 Affiner Raum - Definition Sei P eine Menge und V ein Vektorraum. Das Paar (P, V ) heißt affiner Raum, wenn eine Operation + : P V P gegeben ist, so dass für P,Q P und v, w V gilt: (i) P + 0 = P (ii) (P + v) + w = P + (v + w) (iii) Für alle P,Q P gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor v, so dass Q = P + v 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.20/67
21 Verbindungsvektor Für alle P,Q P gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor v, so dass Q = P + v v heißt auch Verbindungsvektor oder Differenz von P und Q. Bezeichnung: PQ Differenz von P und Q 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.21/67
22 Beispiel Jeder Vektorraum V kann zu einem affinen Raum gemacht werden. Menge der Punkte P := V Zugehöriger Vektorraum: V Differenz von Punkten ˆ= Differenz von Vektoren Summe von Punkt und Vektor ˆ= Addition von Vektoren Dann ist (V, V ) ein affiner Raum. Ist P,Q P = V und v V so definiere PQ := Q P }{{} aufgefasst als Vektoren und P + v }{{} Operation des affinen Raums := P + v }{{} Vektoraddition 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.22/67
23 Beispiel: Reeller affiner Raum Reeller affiner Raum (R 2, R 2 ), d.h. V = R 2 und P = R 2. Seien P = 2 1,Q = 4 5 P und v = 3 2 V. Berechnen Sie PQ und P + v. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.23/67
24 Affine Kombination Wiederholung: Linearkombination von Vektoren mit v 1,...,v n V, α 1,...,α n R. α 1 v α n v n Frage: Geht das auch mit Punkten eines affinen Raums (P, V )? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.24/67
25 Affinkombination Affinkombination zweier Punkte P,Q P ist für α R definiert als Es gilt: P + 0 PQ = P und P + 1 PQ = Q P + α PQ P Allgemein: Ist α 1,...,α n R mit und P 1,...,P n P dann ist P 1 + α 2 P 1 P α n P n 1 P n eine Affinkombination der Punkte P 1,...,P n P. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.25/67
26 Konvexkombination Schreibweise: Ist α, β R mit α + β = 1, dann definiere αp + βq }{{} nur Schreibweise! := P + β PQ Allgemein: Ist α 1,...,α n R mit n i=1 α i = 1, und P 1,...,P n P. Dann ist α 1 P α n P n := P 1 + α 2 P 1 P α n P n 1 P n eine Konvexkombination der Punkte P 1,...,P n P. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.26/67
27 Gerade im affinen Raum Seien P und Q Punkte eines affinen Raums. Eine Gerade durch P und Q ist definiert durch { P + t } PQ : t R parametrische Form einer Geraden Beispiel: Affiner Raum (R 2, R 2 ), P = a b,q = c d Dann ist { P + t } PQ : t R = 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.27/67
28 Gerade im affinen Raum Seien P und Q Punkte eines affinen Raums. Eine Gerade durch P und Q ist definiert durch { P + t } PQ : t R parametrische Form einer Geraden Beispiel Affiner Raum (R 2, R 2 ), P = a b,q = c d Dann ist = = { P + t } PQ : t R a + t c a : t R b d b (1 t)a + tc : t R (1 t)b + td 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.28/67
29 Beispiel Durch (P, R 2 ) mit P = a b 1 : a, b R ist ein affiner Raum gegeben, wenn man definiert: PQ := c a d b und P + v = a + v 1 b + v 2 1 für P,Q P,P = a b 1, Q = c d 1 und v = v 1 v 2 R 2 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.29/67
30 Ebene im affinen Raum Sei (P, V ) ein affiner Raum. Sei P,Q,R P so, dass R nicht auf der Geraden zwischen P und Q liegt. Dann ist eine parametrische Beschreibung einer Ebene gegeben durch {(1 s) ((1 t)p + tq) + sr : t R} 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.30/67
31 Beispiel Sei (R 3, R 3 ) der reelle affine Raum. Welche Punkte gehören zu der Ebene, die durch die Punkte 1 0 4, 2 3 6, definiert ist? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.31/67
32 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.32/67
33 Unterräume Wir führen ein Lineare Unterräume bei Vektorräumen Affine Unterräume bei Vektorräumen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.33/67
34 Lineare Unterräume Sei V ein Vektorraum und U V eine Teilmenge von V. U heißt linearer Unterraum oder Untervektorraum von V falls gilt: v + w U αv U für alle v, w U und α R. Beispiel: {αv : v R} für ein v V. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.34/67
35 Beispiel Untervektorräume in R 3 Der 0-Vektor (Ursprung) Alle Geraden durch den Ursprung Ebenen die den Ursprung enthalten R 3 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.35/67
36 Affine Unterräume Affine Unterräume sind Verschiebungen eines linearen Unterraums. Sei V ein Vektorraum. Eine Teilmenge A V ist ein affiner Unterraum von V falls gilt: Die Menge A = {u v : u, v A} ist ein linearer Unterraum von V. Achtung: A ist kein Vektorraum! 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.36/67
37 Affine Unterräume Ein affiner Unterraum A eines Vektorraums V kann zu einem affinen Raum gemacht werden: A := P Menge der Punkte A zugehöriger Vektorraum Addition und Differenz mit Vektoroperationen. Dann gilt: PQ A Def = {u v : u, v A} P + v A 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.37/67
38 Affiner Standard-Raum in R 4 Reeller affiner Raum (R 4, R 4 ) Die Menge A = x y z 1 : x, y, z R ist ein affiner Unterraum von R 4 und heißt affiner Standard-Raum in R Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.38/67
39 Affiner Standard-Raum in R 4 Zugehöriger Vektorraum A = {u b : u, v A} = x y z 0 : x, y, z R Differenz von P,Q A : PQ = x y z 0 Analog definiert man die affine Standard-Ebene in R Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.39/67
40 Punkte und Vektoren Wichtige Unterscheidung: Punkte im Raum: Elemente mit denen Positionen von Objekten in der Grafikwelt spezifiziert werden Vektoren: Spezifikation von Richtungen / Verschiebungen von Punkt zu Punkt Häufiger Fehler: Punkte werden bei affinem Raum mit Vektoren verwechselt. Punkte: Elemente in R 4 mit 1 als letzte Koordinate. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.40/67
41 Homogenisierung Homogenisierung ist eine wichtige Operation im affinen Standard-Raum (bzw. Ebene). x Gegeben ein Punkt y. Verbinde Punkt mit Gerade durch Ursprung. h Wo schneidet die Gerade die affine Ebene? x tx Linie durch y ist L = ty : t R h th Also ist x/h y/h 1 L, die Homogenisierung von x y h 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.41/67
42 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.42/67
43 Lineare Abhängigkeit und Span Erinnerung: Span = Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren in R n. Beispiel: R 3 span(v): Linie, falls v 0 span(v 1, v 2 ): Ebene, falls v 1 αv 2 für alle α R und v 1, v 2 0. span(v 1, v 2, v 3 ) = R 3, falls v 1, v 2, v 3 linear unabhängig sind. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.43/67
44 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.44/67
45 Lineare Abhängigkeit Eine Menge von Vektoren v 1,...,v n ist linear abhängig, wenn einer von ihnen im Span der anderen liegt. Sprechweise: Die Vektoren v 1,...,v n sind linear abhängig. Genauer: Seien v 1,...,v n V Vektoren. v 1,...,v n heißen linear abhängig, falls es einen Vektor v i gibt, der sich als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben lässt, d.h. es gibt α 1,...,α i 1, α i+1,...,α n R mit v i = α 1 v α i i v i 1 + α i+1 v i α n v n 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.45/67
46 Lineare Abhängigkeit - alternative Definition Eine Menge von Vektoren v 1,...,v n V sind linear abhängig, falls es α 1,...,α n R gibt die nicht alle Null sind, so dass α 1 v α n v n = 0 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.46/67
47 Lineare Unabhängigkeit Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig ist. Beispiel: Sind v 1, v 2, v 3 R 3 linear unabhängig, dann ist span(v 1, v 2, v 3 ) = R 3. Problem: Überprüfung einer negativen Aussage 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.47/67
48 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.48/67
49 Span im affinen Raum Sei (P, V ) ein affiner Raum und seien P 1,...,P n Punkte des affinen Raums. Dann ist der Span der Punkte span(p 1,...,P n ) wir folgt definiert: Mit v i := P 1 P i ist span(p 1,...,P n ) := {P 1 + v : v span(v 1,...,v n )} Bemerkung: Die Definition is unabhängig von dem ausgewählten Punkt P i. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.49/67
50 Abhängigkeit von Punkten im affinen Raum Sei (P, V ) ein affiner Raum und seien P 1,...,P n Punkte des affinen Raums. Die Punkte sind abhängig falls einer von ihnen im Span der anderen liegt. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.50/67
51 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.51/67
52 Basen im Vektorraum Basis eines Vektorraums: Minimale Menge von Vektoren, die einen linearen Unterraum aufspannt. Minimal: Jede Teilmenge dieser Menge hat kleineren Span Eigenschaften: Eine Basis eines linearen Unterraums ist linear unabhängig. Ist v 1,...,v n Basis eines linearen Unterraums U und v V. Dann gibt es eindeutig bestimmte α 1,...,α n mit v = α 1 v α n v n 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.52/67
53 Koordinaten B = {v 1,...,v n } Basis von V. Vektor v V hat Darstellung mit eindeutig bestimmten α 1,...,α n R. v = α 1 v α n v n Der Vektor B: α 1. α n Rn wird als Koordinatenvektor von v bzgl. der Basis bezeichnet. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.53/67
54 Beispiel: Standardbasis in R 3 Vektorraum R 3. Standardbasis E = {e 1, e 2, e 3 } mit e 1 = 1 0 0, e 2 = 0 1 0, e 3 = Aufgabe: Was sind die Koordinaten des Vektors bezüglich E? 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.54/67
55 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.55/67
56 Koordinatensystem im affinen Raum Sei (P, V ) ein affiner Raum und seien P 1,...,P n Punkte des affinen Raums. Ist span(p 1,...,P n ) = {P}, so heißt P 1,...,P n Koordinatensystem. Eigenschaften: Jeder Punkt von P kann als affine Kombination von P 1,...,P n geschrieben werden. Koeffizienten: Affine Koordinaten eines Punktes bzgl. des Koordinatensystem, abhängig vom Koordinatenursprung. Ist P 1,...,P n ein Koordinatensystem für (P, V ), dann ist P 1 P 2,..., P 1 P n eine Basis für den assoziierten Vektorraum V. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.56/67
57 Beispiel Affine Standardebene in R 3 P 1 = 1 0 1,P 2 = 1 1 1,P 3 = span(p 1,P 2,P 3 ) = = Welche Koordinaten hat Q = Koordinatenursprung ist? P 1 + v : v span 1, P 2 + v : v span 0, bzgl. P 1,P 2,P 3, wenn P 1 bzw. wenn P 2 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.57/67
58 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.58/67
59 Lineare Abbildung Sei V und W Vektorräume. Eine Funktion F : V W heißt lineare Abbildung, falls für alle α, β R, v, w V gilt: F(αv + βw) = αf(v) + βf(w) In Worten: Ein lineare Abbildung ist eine Funktion die einen Vektorraum auf einen anderen abbildet und dabei Linearkombinationen erhält Lineare Abbildungen werden auch als lineare Transformationen bezeichnet. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.59/67
60 Eigenschaften linearer Abbildungen Für eine lineare Abbildung F : V W gilt: F(0) = 0 v 1,...,v n linear abhängig in V F(v 1 ),...,F(v n ) linear abhängig in W. F(v 1 ),...,F(v n ) linear unabhängig in W v 1,...,v n linear unabhängig in V. Achtung: Aus v 1,...,v n linear unabhängig folgt nicht F(v 1 ),...,F(v n )! 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.60/67
61 Matrix für lineare Abbildungen Aufgabenstellung: Gegeben eine Basis b 1,...,b n R n beliebige Vektoren a 1...,a n R n Finde eine lineare Abbildung F : R n R n mit für alle i = 1,...,n. F(b i ) = a i Idee: Drücke lineare Abbildung mit Matrix aus Finde n n-matrix Q, so dass F(v) = Qv für alle v R n. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.61/67
62 Vereinfachtes Problem Finde Matrix Q für lineare Abbildung F, die e 1,...,e n auf beliebige Vektoren v 1,...,v n abbildet. Lösung Q = [v 1...v n ] Dann gilt: Qe i = v i 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.62/67
63 Lösung Hauptproblem Finde Matrix B mit Be i = b i Finde Matrix A mit Ae i = a i Dann ist Q = AB 1 eine Matrix mit Qb i = a i 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.63/67
64 Beispiel Finde Matrix, die 1 2, 2 5 auf 1 1, 3 2 abbildet. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.64/67
65 Inhalt 2.1 Vektorräume und affine Räume Vektorräume Affine Räume Lineare und affine Unterräume 2.2 Lineare Abhängigkeit und Span bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.3 Koordinaten, Koordinatensystem und Basen bei Vektorräumen bei affinen Räumen 2.4 Lineare und affine Abbildungen Lineare Abbildungen Affine Abbildungen 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.65/67
66 Affine Transformation Sei (P 1, V ), (P 2, W) zwei affine Räume. Eine Funktion F : P 1 P 2 mit F(P + α PQ) = F(P) + α F(P)F(Q) für alle P,Q P 1, α R heißt affine Transformation. Beispiele: Translationen, Rotationen, Skalierungen, Scherungen Bemerkung: Affine Transformationen können auf die assoziierten Vektorräume erweitert werden durch F( PQ) = F(P)F(Q) 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.66/67
67 Beispiel Matrixdarstellung einer affiner Abbildung zwischen (R 4, R 4 ) und sich selbst: a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3, a 4,4 Matrixdarstellung einer affinen Abbildung auf dem affinen Standard-Raum in R 4. a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3, Die Matrizen nennt man auch homogene Matrizen. 2. Mathematische Grundlagen [Computeranimation] p.67/67
Vorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
Mehr5.1 Affine Räume und affine Abbildungen
402 LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau 5.1 Affine Räume und affine Abbildungen Ein affiner Raum besteht aus zwei Mengen P und G zusammen mit einer Relation der Inzidenz zwischen ihnen.
MehrIn diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa. Unterraum,
2 Vektorräume In diesem Kapitel wird der Vektorraumbegriff axiomatisch eingeführt und einige grundlegende Begriffe erläutert, etwa Unterraum, Linearkombination, lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem.
MehrMathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 1 Affine Räume um Zeichenebene bzw. Raum zu beschreiben, muß vorher ein Koordinatensystem festgelegt werden durch geometrische Fragestellungen
MehrHM II Tutorium 1. Lucas Kunz. 24. April 2018
HM II Tutorium 1 Lucas Kunz 24. April 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Körper...................................... 2 1.2 Gruppen..................................... 2 1.3 Vektorraum...................................
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 2: Vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 19. Oktober 2011) Vektoren in R n Definition 2.1
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
MehrÜbersicht Kapitel 9. Vektorräume
Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2008/09 4 Einführung Vektoren und Translationen
MehrLineare Gleichungssysteme
Kapitel 6 Lineare Gleichungssysteme 6. Gaußalgorithmus Aufgabe 6. : Untersuchen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit dem Gaußalgorithmus auf Lösbarkeit und bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge.
MehrKapitel II. Vektorräume. Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume
Kapitel II. Vektorräume Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume Die fundamentale Struktur in den meisten Untersuchungen der Linearen Algebra bildet der Vektorraum.
MehrKapitel 15 Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 27 Kapitel 15 Lineare Gleichungssysteme Definition 15.1 (Lineares Gleichungssystem
MehrL2. Vektorräume. Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer. Beispiele:
L2. Vektorräume Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer Beispiele: 2) Vektoren: vollständig bestimmt durch Angabe einer und einer Beispiele: Übliche
MehrLineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.
18. November 2011 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen
MehrKapitel 3: Geometrische Transformationen
[ Computeranimation ] Kapitel 3: Geometrische Transformationen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 3. Geometrische Transformationen
MehrKapitel 3. Vektorräume. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41. : x i R, 1 i n x n
Kapitel Vektorräume Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Vektorräume / 4 Reeller Vektorraum Die Menge aller Vektoren x mit n Komponenten bezeichnen wir mit x R n =. : x i R, i n x n und wird als n-dimensionaler
MehrKapitel 3. Vektorräume. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41
Kapitel 3 Vektorräume Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41 Reeller Vektorraum Die Menge aller Vektoren x mit n Komponenten bezeichnen wir mit R n = x 1. x n : x i R, 1 i n und
MehrVektoren. Elemente des 2 und 3 mit nur genau einer Spalte oder einer Zeile werden Vektoren genannt: Spaltenvektoren: Zeilenvektoren: u M(1
Vektoren Elemente des 2 und 3 mit nur genau einer Spalte oder einer Zeile werden Vektoren genannt: Spaltenektoren: M ( n ) n Zeilenektoren: u M( m ) u u u m Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 11. Übung: Woche vom
Übungsaufgaben 11. Übung: Woche vom 9. 1.-13. 1. 2017 (Numerik): Heft Ü 1: 12.28.a,b; 12.29.b,c (jeweils mit Fehlerabschätzung); 6.26; 6.27.a (auch mit Lagrange-Interpolationspolynom); 6.25; 6.28 (auch
MehrEinführung in die Mathematik für Informatiker
Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 21.11.2016 6. Vorlesung aufgespannter Untervektorraum Span(T ), Linearkombinationen von Vektoren Lineare Unabhängigkeit
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
MehrUnterlagen zur Vorlesung Algebra und Geometrie in der Schule: Grundwissen über Affine Geometrie. Sommersemester Franz Pauer
Unterlagen zur Vorlesung Algebra und Geometrie in der Schule: Grundwissen über Affine Geometrie Sommersemester 2009 Franz Pauer INSTITUT FÜR MATHEMATIK, UNIVERSITÄT INNSBRUCK, TECHNIKERSTRASSE 13, 6020
MehrVektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April 2016 1 / 20 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume Erinnerung:
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
Mehr4 Vektorräume. 4.1 Definition. 4 Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 48. Sei K ein Körper.
4 Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 48 4 Vektorräume 4.1 Definition Sei K ein Körper. Definition: Ein Vektorraum über K, oder kurz ein K-Vektorraum, ist ein Tupel (V,+,, 0 V ) bestehend aus
MehrVorlesung Mathematik 2 für Informatik
Vorlesung Mathematik für Informatik Inhalt: Lineare Algebra Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Literatur
MehrLINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow
LINEARE ALGEBRA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT 1 Grundbegriffe 1 1.1 Aussagen und Quantoren 1 1.2 Mengen 2 1.3 Gruppen 3 1.4 Körper 4 1.5 Vektorräume 5 1.6 Basis und Dimension 7 Aufgaben
MehrVektorräume. Kapitel Definition und Beispiele
Kapitel 3 Vektorräume 3.1 Definition und Beispiele Sei (V,,0) eine abelsche Gruppe, und sei (K, +,, 0, 1) ein Körper. Beachten Sie, dass V und K zunächst nichts miteinander zu tun haben, deshalb sollte
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
MehrKlausur Lineare Algebra 1 für das berufliche Lehramt (WS 2016/17)
Klausur Lineare Algebra für das berufliche Lehramt (WS 06/7) am 0.0.07 von 3:30 - :00 Uhr Dr. Vanessa Krummeck Aufgabe. (Punkte: 3 + 3 + 3 + 3 = ) Themen-Mix. Welche der folgenden Aussagen sind wahr und
MehrL2. Vektorräume. Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer. Beispiele:
L2. Vektorräume Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer Beispiele: Masse, Volumen, Energie, Arbeit, Druck, Temperatur 2) Vektoren: vollständig
MehrComputergrafik Universität Osnabrück, Henning Wenke,
Computergrafik Universität Osnabrück, Henning Wenke, 2012-05-30 Korrektur: Kugelkoordinaten II r und θ konstant: Rand einer Kreisscheibe parallel zur xy Ebene z θ fest y θ konstant, r R : Kegel, ausgehend
Mehr4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen
4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen Mengen von Abbildungen Für beliebige Mengen X und Y bezeichnet Y X die Menge aller Abbildungen von X nach Y (Reihenfolge beachten!) Die Bezeichnungsweise erklärt
MehrComputergrafik 1 Transformationen
Computergrafik 1 Transformationen Kai Köchy Sommersemester 2010 Beuth Hochschule für Technik Berlin Überblick Repräsentationen, Primitiven Transformationen in 2D Skalierung Translation Rotation Scherung
Mehr6.5 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension
6.5. Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 123 6.5 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v 1,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 30.10.2012 Bernhard Hanke 1 / 10 Vektorräume (Wiederholung) Ein reeller Vektorraum besteht aus einer Menge V, einem ausgezeichneten Element
MehrMusterlösung 7 Lineare Algebra für die Naturwissenschaften
Musterlösung 7 Lineare Algebra für die Naturwissenschaften Aufgabe Entscheiden Sie, ob folgende Abbildungen linear sind, und geben sie für die linearen Abbildungen eine Matrixdarstellung (in einer Basis
Mehr4 Affine Koordinatensysteme
4 Affine Koordinatensysteme Sei X φ ein affiner Raum und seien p,, p r X Definition: Nach ( c ist der Durchschnitt aller affinen Unterräume Z X, welche die Menge {p,,p r } umfassen, selbst ein affiner
Mehr2 Vektorräume und Gleichungssysteme
2 Vektorräume und Gleichungssysteme 21 Der n-dimensionale K-Vektorraum 2 Vektorräume und Gleichungssysteme 21 Der n-dimensionale K-Vektorraum Definition 21 Seien K = (K, +, ) ein Körper, V eine Menge und
MehrViele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung
Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden
Mehr1 Linearkombinationen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra Dozentin: Wiebke Petersen 10. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 30 Einleitung Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
MehrFormale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz
Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Vektoren in der Ebene Zwei Punkten P, Q in der Ebene
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrKapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 10.12.2013 Alexander Lytchak 1 / 15 Motivation Für das Verständis affiner Teilräume eines Vektorraums sind Translationen
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
Mehr3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit
3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53
MehrLineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)
Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra 2015/2016: Lösungen
1 Lineare Abhängigkeit 1.1 Für welche t sind die folgenden Vektoren aus 3 linear abhängig? (1, 3, 4), (3, t, 11), ( 1, 4, 0). Das zur Aufgabe gehörige LGS führt auf die Matrix 1 3 4 3 t 11. 1 4 0 Diese
Mehr2.1 Vektorräume. 1. für alle x, y U ist x + y U und. 2. für alle x U und alle λ R ist λx U. O V (= O U) U, und dass ( 1) x U, also x U.
Vektorräume Definition Eine nicht leere Menge V, für die eine Addition (dh eine Rechenvorschrift + derart, dass a + b V für alle a, b V ist und eine skalare Multiplikation (dh λa V für alle λ R (λ ist
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Lineare Algebra Dozentin: Wiebke Petersen 10. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Einleitung Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen
MehrLösung zum 2. Übungsblatt
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SoSe 25 Blatt 2 3.5.25 Lösung zum 2. Übungsblatt. Gegeben seien die Vektoren v = 2, v 2 =, v 3 = in R 3 3 2 und ( ) ( ) w =, w 2 2 =, w
MehrVektorräume und Lineare Abbildungen
Vektorräume und Lineare Abbildungen Patricia Doll, Selmar Binder, Lukas Bischoff, Claude Denier ETHZ D-MATL SS 07 11.04.2007 1 Vektorräume 1.1 Definition des Vektorraumes (VR) 1.1.1 Grundoperationen Um
Mehr5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension
8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n
Mehr0, v 6 = , v 4 = 1
Aufgabe 6. Linearkombinationen von Vektoren Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 : M = v =, v =, v 3 =, v 4 =, v 5 =, v 6 =. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor v i M, i =,,...,
MehrFerienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 2 ( )
Ferienkurs Mathematik für Physiker I WS 206/7 Ferienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 2 (28.03.207) Vektorräume Bevor wir zur Definition eines Vektorraumes kommen erinnern wir noch einmal kurz
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 2: Der Euklidische Raum Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 30. Oktober 2007) Vektoren in R n Definition
MehrGrundlegende Definitionen aus HM I
Grundlegende Definitionen aus HM I Lucas Kunz. März 206 Inhaltsverzeichnis Vektorraum 2 2 Untervektorraum 2 Lineare Abhängigkeit 2 4 Lineare Hülle und Basis 5 Skalarprodukt 6 Norm 7 Lineare Abbildungen
MehrLineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 14: Vektorräume und lineare Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 6. Oktober 2009) Vektorräume
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 4 4. (Frühjahr 27, Thema, Aufgabe ) Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Unterräume des R 3 übereinstimmen:
MehrLineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 25/26 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Schläft ein Lied in allen Dingen, Die da träumen fort und fort, Und die Welt hebt an zu singen, Triffst du nur das Zauberwort
Mehr11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION
11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 1 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu vereinfachen, um die Dimension von Vektorräumen und ihren Unterräumen
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben
MehrMünchner Volkshochschule. Planung. Tag 08
Planung Tag 08 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 181 Vektoren Analytische Darstellung: Jedem Punkt im Raum kann ein Ortsvektor zugeordnet werden. P: (6; 5) R 2 P(6; 5) a = OP = 6 5 a Vektoren
MehrDie lineare Hülle. heißt der Vektor. Linearkombination der Vektoren v i mit Koeffizienten α i. Direkt aus (12.6) folgt
Eine Menge v +U mit einem Untervektorraum U nennt man auch eine Nebenklasse des Untervektorraumes U. Sie entsteht, wenn man die Translation τ v auf die Menge U anwendet. Ausdrücke der Form αu + βv, auch
Mehr1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 208. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrMathematik für Anwender I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 7 Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems in n Variablen über einem Körper K ist ein Untervektorraum
MehrMathematischer Vorkurs
Mathematischer Vorkurs Dr Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 17 Vektoren Kapitel 15 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 17 Vektoren 151 Denition: Vektoren im Zahlenraum
MehrPrüfung Lineare Algebra 2
1. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen: (1) Zwei reelle symmetrische Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Signatur haben. (2) Jede symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix,
Mehr1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit
MehrHans Delfs. Übungen zu Mathematik III für Medieninformatik
Hans Delfs Übungen zu Mathematik III für Medieninformatik 1 RÄUMLICHE DARSTELLUNGEN VON OBJEKTEN 1 1 Räumliche Darstellungen von Objekten Der Einheitswürfel ist der achsenparallele Würfel in A 3, der von
Mehr~ v 2. Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k 1. i=1. v k = w k
v 1 v 1 v 2 v 2 W 2 -v (v, v ) 1 1 2 Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k. Schritt: Subtraktion der Komponenten von ṽ k in Richtung von v 1,v 2,...,v k 1 und Normierung von w k auf
Mehr1 Definitionen: 6 Punkte gesamt
ANTWORTEN zum KOLLOQIUM zur Einführung in die Lineare Algebra Hans G. Feichtinger Sommersemester 2014 Fr., 25. Juli 2014, 10:00, Fakultät f. Mathematik Punktezahl: (1) 6 (2) 9 (3) 5 (4) 10 TOTAL (von 30):
MehrAusgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat. allgemein: ein Vektorraum mit, heisst 'Unterraum' von. ist ein Unterraum von V.
L2.3 Basis und Dimension Ausgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat Formaler: was ist die 'Dimension' von Sei Definition: 'Span' 'lineare Hülle' = alle möglichen Linearkombination der
MehrAffine und projektive Räume
Affine und projektive Räume W. Kühnel Literatur hierzu: G.Fischer, Analytische Geometrie, 7. Aufl., Vieweg 2001 Zur Motivation: Wenn man in einem Vektorraum die Elemente nicht als Vektoren, sondern als
Mehrb) Definieren Sie den Begriff Cauchy-Folge. c) Geben Sie zwei Beispiele für konvergente Folgen und deren jeweilige Grenzwerte an.
Repetitorium zur Ingenieur-Mathematik I, WS 00/ Aufgabe : Bestimmen Sie das quadratische Polynom, auf dessen Graph die Punkte (, 4), (0, ), (, 7) liegen. Aufgabe : a) Wann ist eine Folge konvergent (Definition)?
MehrTeil II: Lineare Algebra
3 Vektorräume 49 Teil II: Lineare Algebra 3 Vektorräume Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln ausführlich die Differential- und Integralrechnung in einer (reellen Variablen untersucht Da die Welt aber
MehrVektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1
Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,
MehrLösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende
Mehr5 Schnitt, Verbindung und Erzeugung affiner Unterräume: Fortsetzung
Kapitel II Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Schnitt, Verbindung und Erzeugung affiner Unterräume: Fortsetzung Wann liegt ein Punkt auf einem affinen Unterraum? Wann haben zwei affine Unterräume
MehrVektorräume und lineare Abbildungen
Kapitel 11. Vektorräume und lineare Abbildungen 1 11.1 Vektorräume Sei K ein Körper. Definition. Ein Vektorraum über K (K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer binären Operation + einem ausgezeichneten
MehrLineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana.
Lineare Algebra 5. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch November, 6 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen +: E E! E, (x, y) 7! x + y (Addition) : E E! E, (x, y) 7! x
MehrVektorräume. Lineare Algebra I. Kapitel Juni 2012
Vektorräume Lineare Algebra I Kapitel 9 12. Juni 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de Assistent: Sadegh
MehrMultilineare Algebra
Multilineare Algebra Handout zur Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Bernd Ammann, Prof. Chr. Bär Literatur Frank Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Kapitel 2 1 Tensoren Motivation.
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
MehrLineare Algebra und Computer Grafik
Lineare Algebra und Computer Grafik Kurze Zusammenfassung (Stand: 3 Juli 2) Prof Dr V Stahl Copyright 28 by Volker Stahl All rights reserved V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung
MehrVektorräume und Lineare Abbildungen
Vektorräume und Lineare Abbildungen Die angesprochene Thematik macht den Kern dieser Veranstaltung aus. Lineare Techniken sind zentral für weite Bereiche mathematischen Argumentierens. Durch in der Analysis
Mehr