Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag

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1 Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus I: Zentralkraft Ein Faden der Länge l läuft durch ein Loch in einer reibungsfreien horizontalen Platte. An seinen beiden Enden sind Massen m und m 2 befestigt. Die Masse m bewegt sich frei auf der horizontalen Platte, während m 2 immer senkrecht im Schwerefeld hängt. Der Abstand von m vom Loch sei r mit r < l s. Abbildung ). Zur Zeit t = 0 bewegt sich die Masse m mit einer Geschwindigkeit v 0 senkrecht zum Faden, während der Abstand zum Loch r 0 ist. r m m 2 Abbildung : Verbundene Massen a) Wie lautet in den Polarkoordinaten r, θ die Lagrangefunktion und die Hamilton-Funktion? Geben Sie die Hamilton sche Bewegungsgleichungen für dieses System an. b) Geben Sie zwei unabhängige Erhaltungsgrößen an. Welchen Werte haben diese Erhaltungsgrößen für die angegebenen Anfangsbedingungen? Lösung. a) Die Höhe der Masse m 2 ist l r). Die Geschwindigkeit der Masse m ist v 2 = ṙ 2 + r 2 θ 2. Die Lagrangefunktion ist also Die Konstante l darf weggelassen werden. L = m + m 2 ṙ 2 + m 2 2 r2 θ 2 + m 2 g l r). Die Hamilton-Funktion bestimmen wir wie folgt. Die kanonische Impulse sind p r = L ṙ = m + m 2 ) ṙ, p θ = L θ = m r 2 θ. Wir müssen nun die Geschwindigkeiten durch die Impulse ausdrücken: ṙ = p r m + m 2, θ = p θ m r 2

2 und die Hamilton-Funktion berechnen, Die Hamiltonsche Gleichungen sind: Hp r, r, p θ, θ) = [ p r ṙ + p θ θ L ] ṙ=..., θ=... = p 2 r 2 m + m 2 ) + p2 θ 2m r 2 + m 2gr. dr dt = H p r =, p r m + m 2 dθ dt = H = p θ p θ m r 2, dp r dt dp θ dt = H r = = H θ = 0. p2 θ m r 3 m 2g; b) Erhaltungsgrößen sind offensichtlich p θ und die Gesamtenergie E = H: p θ = m r 2 θ = const, H = p 2 r 2 m + m 2 ) + p2 θ 2m r 2 + m 2g r l) = const. Die Interpretation von p θ ist die z-komponente des Drehimpulses, p θ = L z. Am Anfang ist r = r 0, und die Komponente der Geschwindigkeit orthogonal zum Faden r θ ) t=0 = v 0, die Komponente der Geschwindigkeit parallel zum Faden ṙ t = 0) = 0. Dann sind die Anfangsbedingungen für die Hamilton schen Variablen r0) = r 0, θ0) = 0, p r 0) = 0, p θ 0) = [ m r 2 θ ] t=0 = m r 0 v 0. Deshalb sind die Werte der Erhaltungsgrössen p θ = L z = m r 0 v 0, E = H = m v Die Konstante l darf auch weggelassen werden.) + m 2 g r 0 l). Aufgabe 0.2. Hamilton-Formalismus II Ein Teilchen der Masse m ist durch einen masselosen und undehnbaren Stab der Länge l an einem Ring der Masse M verbunden. Der Ring kann sich entlang eines festen und unendlich langen Drahtes bewegen siehe Abbildung 2). Die Schwerkraft ist zu vernachlässigen. Die Bewegung der Masse m ist dreidimensional. a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion, die Hamilton-Funktion, und die Hamilton schen Bewegungsgleichungen. b) Bestimmen Sie die Erhaltungsgrößen. 2

3 3 m Draht l M Abbildung 2: Zwei Massen an einem Stab gebunden. Lösung. a) Wählen wir die Kartesischen Koordinaten so, dass der Draht entlang der z Achse ist. Dann seien die verallgemeinerten Koordinaten z, θ, φ so, dass die Masse M an der Stelle 0, 0, z) ist, und die Winkel θ, φ die Kugelwinkel fúr den Stab sind. Dann ist die Masse m an der Stelle Die Lagrangefunktion ist deshalb Die Berechnung ergibt Die verallgemeinerte Impulse sind: x m, y m, z m ) l sin θ cos φ, l sin θ sin φ, z + l cos θ). L = 2 Mż2 + 2 m ẋ 2 m + ẏ 2 m + ż 2 m). L = M + m ż 2 mż θl sin θ + θ 2 2 ml2 2 + φ 2 sin 2 θ ). ) p z = M + m) ż m θl sin θ, p φ = ml 2 φ sin 2 θ, p θ = ml 2 θ mżl sin θ. Wir können die Zeitableitungen durch die Impulse ausdrücken: ż = M + m cos 2 p z + p ) θ sin θ, θ l Somit ist der Hamiltonian l θ = M + m cos 2 θ zu berechnen. Ein Vergleich mit ) liefert pθ l M + m m ) + p z sin θ. Hp z, z, p θ, θ, p φ, φ) = p z ż + p θ θ + p φ φ L p z ż + p θ θ + p φ φ = 2L, damit folgt H = L. Setzen wir dann ż, φ, θ in L ein: H = p2 z M + m cos 2 θ 2 + p p θ z sin θ + p2 θ M + m p 2 φ l 2l 2 + m 2ml 2 sin 2 θ. 3

4 Die Bewegungsgleichungen sind ṗ z = H z = 0, ṗ φ = H φ = 0 ṗ θ = H θ = M + m cos 2 θ ż = H = p z + pθ l sin θ p z φ = H p φ = θ = H p θ = l M + m cos 2 θ, p φ ml 2 sin 2 θ, p θ M+m l m + p z sin θ M + m cos 2 θ. p ) θ p z cos φ + 2mH cos θ sin θ + p2 φ cos θ l ml 2 sin 3 θ M + m M + m cos 2 θ, b) Die Erhaltungsgrößen sind H, p z Gesamtimpuls in z Richtung) und p φ Drehimpuls um den Draht). Dies ist einfach zu sehen, weil diese Impulse infolge der Hamilton schen Gleichungen konstant bleiben. Aufgabe 0.3. Poisson-Klammern a) In einem System treten L x und L y als Erhaltungsgrößen auf. Bestimmen Sie weitere Erhaltungsgrößen durch Anwendung der Poisson-Klammern. b) Nehmen Sie zusätzlich an, dass auch p z in dem System erhalten ist. Welche weitere Erhaltungsgrößen folgen daraus? Lösung. a) Wenn L x und L y erhalten sind, dann ist auch { } L x, L y = Lz erhalten. Weitere Grössen bestehen nicht, weil die Poisson schen Klammern zurück zu L x und L y führen. b) Wir berechnen {L x, p z } = p y und { L y, p z } = px. Deshalb sind auch alle Komponenten des Impulses erhalten. Aufgabe 0.4. Kanonische Transformationen I Eine kanonische Transformation kann durch eine erzeugende Funktion Fp, Q) angegeben werden, wobei p der alte Impuls und Q die neue Koordinate ist. Finden Sie die kanonische Transformationen p, ) P, Q) die aus den unten angegebenen erzeugenden Funktionen folgen. a) Fp, Q) = p 2 + Q 2 b) Fp, Q) = e Q ) 2 tan p 4

5 Lösung. Die kanonischen Koordinaten genügen P = F Q, = F p. a) F = p 2 + Q 2 ergibt P = 2Q, = 2p. Diese Gleichungen bestimmen keine kanonische Transformation. b) F = e Q ) 2 tan p ergibt P = 2e Q e Q ) tan p, = e Q ) 2 cos 2 p. Wir lösen diese Gleichungen, um P, Q) durch p, ) auszudrücken: ) ) Q = ln + cos 2 p, P = 2 + cos 2 cos p p sin p cos p. Aufgabe 0.5. Kanonische Transformationen II Bestimmen Sie, ob eine der folgenden Transformationen p, ) P, Q) kanonisch ist: a) P = cot p, Q = ln sin p) ) b) P = 2 α2 + p2, Q = arctan α α 2 2 p Lösung. Die Bedingung ist {P, Q} = P,p Q, P, Q,p = const. Wir müssen nun dieses überprüfen. a) Q = ln sin p ), P = cot p. Dann ) {P, Q} = sin 2 p sin p ) sin p 2 cot p) sin p ) cos p =. Deshalb ist diese Transformation kanonisch. Diese Transformation folgt aus der erzeugenden Funktion F = arcsin e Q) + e 2Q 2. b) Q = arctan α p, P = 2 α2 + 2α p2. Dann p ) {P, Q} = α + α2 2 p 2 α p + α2 2 p 2 α ) p 2 α =. Deshalb ist diese Transformation auch kanonisch. Diese Transformation folgt aus der erzeugenden Function F, Q) = α2 2 tan Q. 5

6 Um diese Funktion zu bekommen, müssen wir zunächst p = F als Funktion von, Q umrechnen: dann über integrieren. p = α tan Q, 6