Affine Geometrie 11. Jahrgang

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1 Affine Geomeie. Jhgng Gliedeung. Vekoen. Dellung von Vekoen. Rechnen mi Vekoen. Linee Ahängigkei. Geden- und Eenengleichungen. Gedengleichungen. Eenengleichungen in Pmeefom. Inzidenzpoleme. Punk und Gede ode Eene. Lge zweie Geden. Lge Gede Eene. Vechiedene. Mielpunk eine Secke. Schwepunk de Deieck. Gleichungen pezielle Geden und Eenen

2 . Vekoen. Dellung von Vekoen Veko: Menge lle Pfeile, die in üeeinimmen. Länge, Richung und Oienieung Nullveko: Veko de Länge Gegenveko: Ein Veko, de mi einem Veko in Länge und Richung üeeinimm, e engegengeez oienie i. Beipiel: 7 7 Dellung im keichen Koodinenyem: De Veko h den Anfngpunk O(;;) und den Endpunk A(; ;7). 7

3 . Rechnen mi Vekoen Vekoddiion Bilden de Summenveko - zeichneich: De Anfng de Veko wid n d Ende de Veko gehäng. De Summenveko veläuf vom Anfng von zum Ende von. - echneich: Beipiel: und : 7 ) ( Vekoukion Bilden de Diffeenzveko - zeichneich: Die Vekoen und weden n ihen Anfngpunken zummengefüg. De Veko veläuf von dem Ende de Veko zu dem Ende de Veko.

4 Zum gleichen Egeni kommen Sie, wenn Sie die Sukion uf eine Addiion zuückfühen, lo: S von zu uhieen, ddieen Sie den Gegenveko zu : - echneich: Beipiel: und : ) ( Muliplikion mi einem Skl Die Muliplikion mi einem Skl knn die Länge und die Oienieung eine Veko änden, nich e die Richung. R, Beipiele: 9 Die Vekoen und ind kolline (. u.).

5 . Linee Ahängigkei Wi echen die linee Ahängigkei im deidimenionlen Rum. - Zwei Vekoen und heißen line hängig, wenn e eelle Zhlen und gi, o d zw. gil. Beipiel: Gegeen eien und. Dnn gil. und ind lo line hängig, d. h. ihe Pfeile velufen pllel. Mn g uch, die Vekoen und ind kolline. - Dei Vekoen, und c heißen line hängig, wenn ich eine, z. B. c, l Linekominion de Vekoen und dellen lä. E mu dnn zwei eelle Zhlen und geen, o d c gil. Beipiel : Gegeen eien die Vekoen, und c. Die Vekogleichung c liefe ein Syem von dei Koodinengleichungen zu Beimmung de eellen Zhlen und : I. = + II. = III. = Au zwei de Gleichungen, ew I. und II., eechne mn und. I. II.: III. =, lo = Einezen von = z. B. in Gleichung II. liefe =, lo =. Dnn i zu püfen, o die eiden eechneen Wee fü und uch die die Gleichung efüllen: III. = w. A. = und = efüllen omi die Vekogleichung, d. h. die dei Vekoen, und c ind line hängig. E gi omi von jedem Veko einen Pfeil, d diee dei Pfeile in eine Eene liegen. Mn g uch, die dei Vekoen, und c ind kolline.

6 Beipiel : Gegeen eien die Vekoen, und c. I. = + II. = III. = Au den een eiden Gleichungen eechne mn wie oen = und =. Einezen diee Wee fü und in die Gleichung III. liefe III. = f. A. Die in dieem Beipiel gegeenen Vekoen, und c ind omi line unhängig, d e keine eellen Zhlen gi, die d Syem de Koodinengleichungen efüllen. Die Vekoen, und c hen omi keine Pfeile, die in eine gemeinmen Eene liegen. - Vie Vekoen im deidimenionlen Rum können - line hängig ein: Sie hen dnn lle vie Pfeile, die in eine Eene liegen, die og zum Teil ode uch lle pllel ein können, - line unhängig ein: Dnn pnnen dei von ihnen den Rum uf und de viee lä ich l Linekominion de dei ndeen dellen. Die llgemeine Definiion de lineen Ahängigkei owie ndee Beechnungmöglichkeien finden ich im Buch uf S..

7 . Geden- und Eenengleichungen. Gedengleichungen Um die Lge eine Geden im Rum fezulegen, enöig mn zwei Vekoen, einen Süzveko und einen Richungveko. De Süzveko p füh vom Koodinenupung zu einem (elieigen) Punk uf de Geden. De Richungveko leg die Lge de Geden im Rum fe. D edeue zeichneich: An den Pfeil de Süzveko häng mn lle möglichen Vekleineungen und Vegößeungen de Richungveko und ehäl o l Reulieende die Pfeile vom Koodinenupung zu den einzelnen Punken de Geden. Gleichung: R u p, Aufellen eine Gedengleichung Beipiel : Die Gede g veläuf duch die Punke A und B. De Oveko zu einem de eiden Punke wid l Süzveko gewähl. Die Diffeenz de Ovekoen zu den eiden Punken liefe einen Richungveko. Gleichung de Geden duch die Punke A(;8;-) und B(;-;-9) : g Beipiel : Die Gede g veläuf duch den Punk A und pllel zu eine Geden h. De Oveko zum Punk A wid Süzveko. D die Gede h pllel zu Geden g veläuf, müen ihe Richungvekoen kolline ein, lo knn mn den Richungveko de Geden h üenehmen. Die Gede g veläuf duch den Punk A(;;-) und pllel zu Geden : h. : g

8 . Eenengleichungen Um die Lge eine Eene im deidimenionlen Rum fezulegen, enöig mn dei Vekoen, einen Süzveko und zwei nich kollinee Richungvekoen. De Süzveko p füh vom Koodinenupung in die Eene. Die Richungvekoen u und v pnnen die Eene uf, weden dhe uch Spnnvekoen gennn. Gleichung: v u p E,, : R (Eenengleichung in Pmeefom) Aufellen eine Eenengleichung Beipiel : E ind dei Punke A, B und C de Eene eknn, die e nich lle uf eine Geden liegen düfen. De Oveko zu einem de dei Punke wid l Süzveko gewähl. Die Diffeenz de Ovekoen z. B. zu den Punken A und B zw. A und C liefe zwei (nich kollinee) Spnnvekoen. Sellen Sie die Gleichung de Eene uf, in de die dei Punke A(;-;), B(;;) und C (;-;-) liegen. 9 ) ( ) ( : E Beipiel : Wie lue die Gleichung de Eene E, die duch den Punk A(;;) geh und pllel zu de Eene : E veläuf? : E De Oveko zum Punk A wid l Süzveko de Eene E gewähl. D die Eene E pllel zu Eene E velufen oll, pnnen deen Richungvekoen uch die Eene E uf.

9 . Inzidenzpoleme. Punk uf Gede ode Eene Ein Punk A lieg uf eine Geden g : u v, R, wenn ich de Oveko zum Punk A l Linekominion u dem Süzveko u und dem Richungveko v de Geden g dellen lä. Beipiel: A(;-,;,) g : E mu lo eine eelle Zhl geen, die die Gleichung u v efüll., zw.,,, Die Vekogleichung liefe ein Syem von dei Koodinengleichungen. I. = II., = III., = Au eine diee Gleichungen, hie iee ich III. n, wid eechne und nchließend diee We in die eiden ndeen Gleichungen eingeez. I. =, w. A. II., =, w. A. =, efüll uch die ndeen Gleichungen; omi lieg de Punk A uf de Geden g. Ein Punk B lieg in de Eene E : p u v,, R, wenn e eelle Zhlen k und l gi, die die Eenengleichung efüllen.

10 Beipiel: B(;;) und E : Wenn B uf E lieg, mu die folgende Vekogleichung eine Löung hen. l k zw. l k Diee Vekogleichung egi ein Syem von dei Koodinengleichungen. I. = k II. = k + l III. = k l Au zwei diee Gleichungen, ew I. und III., eechne mn k und l. Au I. egi ich k =. Au III. egi ich mi = l de We l =. Diee Wee weden in die Gleichung II. eingeez. = + ( ) f. A. D Weep k = und l = efüll die Gleichung II. nich und omi uch nich die Vekogleichung. De Punk B lieg lo nich in de Eene E.

11 . Lge zweie Geden Gegeen ind in einem deidimenionlen Rum die eiden Geden u p g : und v q h : mi R,. Die vie vechiedenen Fälle de Lgeeziehungen von Geden finden Sie in de Telle im Buch uf S.. Um die Lgeeziehung zweie Geden zu emieln, löen Sie enwede gundäzlich die Gleichung v q u p und encheiden nch dem Sz und den Beipielen im Buch uf S., ode Sie gehen folgendemßen vo. Püfungchem: u und v ind kolline? j nein h P ode g Q? v q u p liefe einen Schnipunk? j nein j nein h g h g g chneide h g und h ind windchief Beipiel : Gegeen ind die Geden 8 : g und, : h. Offenichlich ind die Richungvekoen kolline, denn,. Al näche wid gepüf, o de Punk Q(;;) uf de Geden g lieg. (Vgl..) Die Gleichung 8 wid von keine eellen Zhl efüll. Die Geden g und h ind omi pllel, e nich idenich.

12 Beipiel : Gegeen ind die Geden : g und 8 : h. Die eiden Richungvekoen ind offenichlich nich kolline, die Geden hen omi einen Schnipunk ode ind windchief. Wi nehmen n, e gäe einen Schnipunk S. Dnn mu e zwei eelle Zhlen und m geen, die die folgende Gleichung efüllen. 8 m zw. m Diee Vekogleichung liefe ein Syem von dei Koodinengleichungen zu Beimmung von und m. I. = m II. = m III. = m + Au zwei diee Gleichungen, ew I. und II., eimm mn die Wee von und m. II. m = I. = ( ) + = Duch Einezen püf mn, o diee Weep uch die Gleichung III. efüll. III. = ( ) + ( ) = w. A. D eechnee Weep efüll lle dei Koodinengleichungen und omi uch die oige Vekogleichung. Dehl gi e einen Schnipunk. Sein Oveko lä ich u de Gleichung de Geden g mi = ode u de Gleichung de Geden h mi m = eechnen. Die eiden Geden g und h chneiden ich im Punk S(;;).

13 . Lge Gede - Eene Gegeen ind in einem deidimenionlen Rum die Gede u p g : und die Eene w v q E : mi R,,. Die dei vechiedenen Fälle de gegeneiigen Lge von Gede und Eene finden Sie in de Telle im Buch uf S. 7. Um die Lgeeziehung zwichen de Geden und de Eene zu emieln, löen Sie enwede gundäzlich die Gleichung w v q u p und encheiden nch dem Sz und den Beipielen im Buch uf S. 7, 7, ode Sie gehen folgendemßen vo. Püfungchem: u, v und w ind kompln? j nein P lieg uf E? g chneide E j nein g lieg in E. g veläuf pllel zu E, lieg e nich in E. Beipiel : Gegeen ind die Gede : g und die Eene : E.

14 Uneuchung de Richungvekoen uf Komplniä: I. = m n II. = m III. = n Au Gleichung II. folg m =, u Gleichung III. folg n =. Sez mn diee Wee in die Gleichung I. ein, = ( ), o egi ich eine whe Auge, die Richungvekoen ind lo kompln. Die Gede g veläuf omi pllel zu Eene E. Al näche i zu püfen, o ie og in de Eene lieg. Dzu püf mn, o de Aufpunk P (;;) in de Eene E lieg. I. = j k II. = j j = III. = k k = j und k in Gleichung I. einezen: = = w. A. Die Gede g lieg omi in de Eene E. Beipiel : Gegeen ind die Gede g : und die Eene E :. Uneuchung de Richungvekoen uf Komplniä: I. = m n II. = n n = III. = m + n n = in Gleichung I. einezen: = m + m = n = und m = in Gleichung III. einezen: = = f. A.

15 n = und m = efüllen die die Gleichung nich. Die Richungvekoen ind omi nich kompln, die Gede chneide lo die Eene. Beechnung de Koodinen de Schnipunke: Die echen Seien de Geden- und de Eenengleichung weden gleichgeez. h = k j Diee Vekogleichung liefe ein Syem von dei Koodinengleichungen zu Beimmung de eellen Zhlen h, j und k. I. = j k h II. = k + h III. = j + k + h I. = j k h III. = j + k + h III. I. : IV. 7 = k + h II. : : V. = k + h IV V: VI. = 8h h = Diee We fü h wid in die Gedengleichung eingeez. De Schnipunk de Geden g und de Eene E h lo die Koodinen S(,, ). S den We fü h in die Gedengleichung einzuezen, knn mn eeno gu j und k u dem Gleichungyem eechnen und in die Eenengleichung einezen. Diee füh zum gleichen Egeni, i e ufwändige zu echnen.

16 . Vechiedene. Mielpunk eine Secke De Punk M hlie die Secke AB. A M m B O E gil: AB m ) ( Beipiel: Beechne den Mielpunk de Secke AB mi A(; ;) und B(9;; ). 9 m De Mielpunk de Secke AB h die Koodinen M( ;; ). Hlieungpunk eine Secke m

17 . Schwepunk eine Deieck De Schwepunk eine Deieck i de Schnipunk de Seienhlieenden. Diee weden vom Schwepunk im Vehälni : geeil. B S A M C m c O De Schwepunk S eil die Secke BM im Vehälni :. Somi gil: c c m m BM ) ( ) ( Beipiel: Beechne den Schwepunk de Deieck ABC mi A(; ;), B(;;9), C(;8;) De Schwepunk h die Koodinen S(;;). Schwepunk eine Deieck c

18 . Gleichungen pezielle Geden und Eenen Gleichungen de Koodinenchen Al Aufpunk wähl mn ülicheweie den Koodinenupung. Ache: : Ache: : Ache: : Gleichungen de Koodineneenen: Auch hie leg mn den Aufpunk in den Koodinenupung. Eene: : E Eene: : E Eene: : E