Reguläre Sprachen Endliche Automaten

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1 Endliche Automaten (Folie 54, Seite 16 im Skript) Einige Vorteile endlicher deterministischer Automaten: durch Computer schnell simulierbar wenig Speicher benötigt: Tabelle für δ (read-only), aktueller Zustand Eingabe kann vergessen werden, nur von links nach rechts lesen Sie können schön visualisiert werden Sie können automatisch generiert werden (z.b. lex, egrep)

2 Nichtdeterministische endliche Automaten Nichtdeterministische endliche Automaten (NFAs) (Folie 55, Seite 17 im Skript) 0; 1 q 1 0 q 1 1 q 2 M Dies ist kein DFA! 1 Zwei Transitionen mit 1 aus q 0 2 Keine Transition mit 0 aus q 1 Welche Sprache soll M erkennen?

3 Nichtdeterministische endliche Automaten Nichtdeterministische endliche Automaten (NFAs) (Folie 56, Seite 17 im Skript) Definition Ein NFA ist ein 5-Tupel M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit Q Menge der Zustände Σ Eingabealphabet δ : Q Σ 2 Q Übergangsfunktion q 0 Q Startzustand F Q Endzustände

4 Nichtdeterministische endliche Automaten (Folie 57, Seite 17 im Skript) Definition Sei M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein NFA. ˆδ : Q Σ 2 Q definiert durch ˆδ(q, ɛ) = {q} ˆδ(q, wa) = {p es gibt r ˆδ(q, w) und p δ(r, a)} L(M) := {w Σ ˆδ(q 0, w) F }

5 Nichtdeterministische endliche Automaten Beispiel (Folie 58, Seite 17 im Skript) 0; 1 q 1 0 q 1 1 q 2 M δ(q 0, 0) = {q 0 } δ(q 0, 1) = {q 0, q 1 } ˆδ(q 0, ) = {q 0, q 1 } ˆδ(q 0, 11111) = {q 0, q 1, q 2 } L(M) = (0 + 1) 11

6 Die Potenzmengenkonstruktion Der Potenzautomat (Folie 59, Seite 18 im Skript) Definition Sei M ein NFA, M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) Der zugehörige Potenzautomat M ist so aufgebaut: M = (2 Q, Σ, δ, {q 0 }, F ) mit δ : 2 Q Σ 2 Q, (S, a) q S δ(q, a) F = {S Q S F } Der Potenzautomat ist ein DFA!

7 Die Potenzmengenkonstruktion Beispiel (Folie 60, Seite 18 im Skript) 0; 1 q 1 0 q 1 1 q 2 M Der Potenzautomat hat die Zustände, {q 0 }, {q 1 }, {q 2 }, {q 0, q 1 }, {q 0, q 2 }, {q 1, q 2 } und {q 0, q 1, q 2 } und sieht so aus: 0 1 fq 0 g fq 0 ; q 1 1 g fq 0 ; q 1 ; q 2 g 0 1 M 0 Nichterreichbare Zustände weggelassen! 0

8 Die Potenzmengenkonstruktion (Folie 61, Seite 18 im Skript) Theorem Zu jedem NFA M gibt es einen DFA M mit L(M) = L(M ) Beweis. L(M) = L(M ) für den Potenzautomaten M : M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) M = (2 Q, Σ, δ, {q 0 }, F ) mit δ : 2 Q Σ 2 Q, (S, a) q S δ(q, a) F = {S Q S F } Induktion über w : ˆδ ({q 0 }, w) = ˆδ(q 0, w) Daher: ˆδ ({q 0 }, w) F ˆδ(q 0, w) F

9 Die Potenzmengenkonstruktion Vergleich: DFA und NFA (Folie 62, Seite 19 im Skript) Vorteile eines DFA: Effizient simulierbar Vorteile eines NFA: Oft kleiner als DFA Einfacher zu entwerfen Halbwegs effizient simulierbar

10 NFAs mit ɛ-übergängen NFAs mit ɛ-übergängen (Folie 63, Seite 19 im Skript) a b c q 0 q 1 q 2 M Dies ist kein NFA! Ziel: Erkenne die Sprache a b c. a b c q a; b 0 q b; c 1 q 2 M 0 a; b; c NFA ist komplizierter!

11 ɛ-hülle(s) := q S Formale Systeme, Automaten, Prozesse NFAs mit ɛ-übergängen (Folie 64, Seite 19 im Skript) Definition Ein NFA mit ɛ-übergängen ist ein 5-Tupel M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit 1 δ : Q (Σ {ɛ}) 2 Q, 2 Q, Σ, q 0, F wie bei NFAs. Für q Q: ɛ-hülle(q) := { p Q es gibt q 1,..., q n mit q i+1 δ(q i, ɛ) für 1 i < n und q = q 1, p = q n } Für S Q: ɛ-hülle(q)

12 NFAs mit ɛ-übergängen Beispiel (Folie 65, Seite 19 im Skript) a b c q 0 q 1 q 2 M ɛ-hülle(q 0 ) = {q 0, q 1, q 2 } ɛ-hülle(q 1 ) = {q 1, q 2 } ɛ-hülle(q 2 ) = {q 2 } ɛ-hülle({q 1, q 2 }) = {q 1, q 2 }

13 NFAs mit ɛ-übergängen a b c (Folie 66, Seite 20 im Skript) q 0 q 1 q 2 M Definition Sei M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein NFA mit ɛ-übergängen. Es sei q Q, w Σ und a Σ. ˆδ(q, ɛ) = ɛ-hülle(q) ˆδ(q, wa) = ɛ-hülle(δ(p, a)) p ˆδ(q,w) Informell: ˆδ(q, a) sind Zustände, die von q erreichbar sind: 1 Zunächst über ɛ-transitionen 2 Dann über eine a-transistion 3 Dann über ɛ-transitionen

14 NFAs mit ɛ-übergängen Beispiel (Folie 67, Seite 20 im Skript) a b c q 0 q 1 q 2 M δ(q 0, a) = {q 0 } ˆδ(q 0, a) = {q 0, q 1, q 2 } δ(q 0, b) = ˆδ(q 0, b) = {q 1, q 2 } δ(q 0, ɛ) = {q 1 } ˆδ(q 0, ɛ) = {q 0, q 1, q 2 }

15 NFAs mit ɛ-übergängen (Folie 68, Seite 20 im Skript) Theorem Sei M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein NFA mit ɛ-übergängen. Dann gibt es einen NFA M mit L(M ) = L(M). Beweis. M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit δ (q, a) = ˆδ(q, a), F = { q Q ɛ-hülle(q) F }. Informell: p δ (q, a) gdw. in M gibt es Pfad von q nach p, der 1 zunächst mit ɛ beschriftet ist, 2 dann einen a-übergang hat, 3 dann wieder mit ɛ beschriftet ist.

16 NFAs mit ɛ-übergängen Beispiel (Folie 69, Seite 20 im Skript) a b c q 0 q 1 q 2 M a b c q a; b 0 q b; c 1 q 2 M 0 a; b; c