Zusammenfassung Verallgemeinerungen VD Segmente/Pledge Algorithmus

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1 Zusammenfassung Verallgemeinerungen VD Segmente/Pledge Algorithmus Elmar Langetepe University of Bonn Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 1

2 Voronoi Diagramm von Liniensegmenten Jetzt alle Objekte Punkte oder Liniensegmente Bisektor zwischen Punkt und Segment Abstand eines Punktes x zu Segment l, Streifen Bisektor zwischen zwei Segmenten l 1 und l 2 B(l 1, l 2 ) = {x IR 2 ; xl 1 = xl 2 } Voronoi Region VR(l, S) = {x IR 2 ; xl < xl l S \ {l}} y x y x l l x (i) x (ii) Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 2

3 Voronoi Diagramm von Liniensegmenten Jetzt alle Objekte Punkte oder Liniensegmente Bisektor zwischen Punkt und Segment Abstand eines Punktes x zu Segment l, Streifen Bisektor zwischen zwei Segmenten l 1 und l 2 B(l 1, l 2 ) = {x IR 2 ; xl 1 = xl 2 } Voronoi Region VR(l, S) = {x IR 2 ; xl < xl l S \ {l}} y x y x l l x (i) x (ii) Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 2

4 Bisektor von Segmenten Lemma 5.24 Der Bisektor von zwei disjunkten Liniensegmenten l 1 und l 2 ist eine Kurve aus Parabelstücken, Liniensegmenten und zwei Halbgeraden. Verantwortungsbereiche der Streifen, Lage zueinander 1. l 1 Punkt, l 2 Punkt: Bisektorstück Gerade 2. l 1 Segment, l 2 Punkt: Bisektorstück Parabel 3. l 1 Segment, l 2 Segment: Bisektorstück Gerade d l 2 c l 2 b c b c l 1 c a d b b l1 a Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 3

5 Regionen sind sternförmig Menge von Liniensegmenten S, Voronoi-Region von einem Liniensegment VR(l, S)! Lemma 5.25 Sei S eine Menge von Liniensegmenten und l S. Für jeden Punkt x in der Voronoi-Region VR(l, S) gilt: Das Liniensegment xy x zwischen x und dem Punkt y x l der am nächsten zu x liegt, liegt in VR(l, S). Beweis: Widerspruch! Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 4

6 Regionen zusammenhängend Korollar 5.26 Die Voronoi-Regionen von Liniensegmenten sind zusammenhängend. Beweis: Alle Punkte der Region haben Blickkontakt zu l! Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 5

7 Bisektor: Maximal 7 Stücke! Lemma 5.27 Der Bisektor von zwei disjunkten Liniensegmenten l 1 und l 2 ist eine Kurve aus Parabelstücken, Liniensegmenten und zwei Halbgeraden und besteht aus maximal 7 Stücken. Halbstreifen, insgesamt 8 Einmal betreten, einmal verlassen, monoton Mind. Segment l 1 liegt auf konvex. Hülle Bisektor betritt sukzessive 3 Streifen von l 1 max. 6 Kanten überqueren b d d a d d l 1 l 1 d l 2 l 1 l 2 c l 2 l 1 c l 1 b a l 1 Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 6

8 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

9 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Verwende kleinsten Kreis um Roboter Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse Weg auf Bisektoren: Möglichst großer Abstand Zum Bisektor laufen, dann Breitensuche R Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

10 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Verwende kleinsten Kreis um Roboter Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse Weg auf Bisektoren: Möglichst großer Abstand Zum Bisektor laufen, dann Breitensuche R Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

11 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Verwende kleinsten Kreis um Roboter Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse Weg auf Bisektoren: Möglichst großer Abstand Zum Bisektor laufen, dann Breitensuche R Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

12 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Verwende kleinsten Kreis um Roboter Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse Weg auf Bisektoren: Möglichst großer Abstand Zum Bisektor laufen, dann Breitensuche R Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

13 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Verwende kleinsten Kreis um Roboter Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse Weg auf Bisektoren: Möglichst großer Abstand Zum Bisektor laufen, dann Breitensuche R s t Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

14 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Verwende kleinsten Kreis um Roboter Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse Weg auf Bisektoren: Möglichst großer Abstand Zum Bisektor laufen, dann Breitensuche e s R s t e t Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

15 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Verwende kleinsten Kreis um Roboter Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse Weg auf Bisektoren: Möglichst großer Abstand Zum Bisektor laufen, dann Breitensuche e s e t s t R s t Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

16 Anwendung Bahnplanung: Kreisförmiger Agent Verwende kleinsten Kreis um Roboter Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse Weg auf Bisektoren: Möglichst großer Abstand Zum Bisektor laufen, dann Breitensuche e s e t s t R s t Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 7

17 Start s kann stets angelaufen werden s in Region von e s, Kreis frei Kürzester Weg zu e s, Strahl Richtung Bisektor Trifft Bisektor bei S, Kreis/Weg ist frei!! V D(L) e s S s Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 8

18 Bewegungsplanung von Agenten: Online/Offline Historie: Entkommen aus dem Labyrinth Effizientmaße: Länge des Weges/Rechenzeit Offline: Alle Informationen sind vorhanden Online: Nur lokale Informationen: Sicht/Tastsensor Modell: Karte aufbauen, Umgebung merken, kein Speicher Unvollständige Information: Vorlesung WS 11/12 Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 9

19 Entkommen aus dem Labyrinth: Modell Punktförmiger Agent/kreisförmiger Agent Polygonale Szene Touch Sensor, Folge einer Wand Folge einer Richtung (exakt) Drehwinkel-Zähler (keinen weiteren Speicher) Winkelcounter = Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 10

20 Pledge Algorithmus Winkelcounter = Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 11

21 Pledge Algorithmus 1. Wähle Winkel ϕ und drehe den Roboter in diese Richtung. 2. Gehe in Richtung ϕ, bis der Roboter ein Hindernis erreicht. 3. Drehe nach rechts und halte den Kontakt mit der Wand an der linken Seite des Roboters. 4. Folge der Wand und addiere dabei die Drehwinkel, bis der totale Drehwinkel Null ist, dann GOTO (2). Winkelcounter = Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 11

22 Pledge Algorithmus Winkelzähler mod 2π = 0 reicht nicht Nur Linke Hand reicht nicht s s Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 12

23 Kapitel Buch Kapitel 5 Seite 248 mitte S. 256 mitte Kapitel 7 Seite 315 oben S. 321 oben Algorithmische Geometrie VD Segmente/Pledge c Elmar Langetepe SS 11 13

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