Mögliche Lösung. Ebenen im Haus

Transkript

1 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Ebenen im Haus Ermitteln Sie die Koordinaten aller bezeichneten Punkte. Erstellen Sie für die Dachflächen E und E jeweils eine Ebenengleichung in Parameterform und in Koordinatenform. Hinweise: Der Koordinatenursprung befindet sich vorne links unten. Das Hauptgebäude ist hinter dem Anbau noch weitere Meter lang. Die Maße in der Zeichnung sind in Meter angegeben. (Nicht alle Punkte sind in der Zeichnung sichtbar.)

2 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Parameterform von Ebenen Ebenen in Worten Beschreiben Sie die Lage der folgenden Ebenen möglichst genau in Worten. E : stellt die -z-ebene dar, da stets y gilt E : ist parallel zur -y-ebene im Abstand, da stets z gilt E : verläuft durch die Winkelhalbierende der -y-ebene, da y, und ist parallel zur z-achse bzw. senkrecht auf der -y-ebene : µ λ E : µ λ E : µ λ E

3 Lineare Algebra und Analytische Geometrie X Ebenen im Raum Haus I (aus Abi 9)

4 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Haus II (aus Abi 9)

5 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Haus III (aus Abi 9)

6 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XXX Ebenen im Raum Haus VI (aus Abi 9)

7 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Kletterturm a) Das Dach soll gedeckt werden. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Daches. b) Bestimmen Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Rutschfläche liegt. a) Nach Pythagoras gilt für die Höhe eines Seitendreiecks h s : h s (,5s) h (s: Kantenlänge, h: Höhe der Pyramide) h s,5, 5 Damit ergibt sich die Dachfläche: A s hs m,5m 5m. b) Punkte der Ebene: (//) (//) (/7/) [Wählen Sie möglichst einfache Punkte!] Parametergleichung: r r s [Auch viele andere Gleichungen möglich.] Koordinatenform: r y s z s r s y Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Setze (r und) s in die dritte Gleichung: z ( y ) 5 y y z y z 7 (Alternativ kann auch mit dem Vektorprodukt gearbeitet werden.)

8 Lineare Algebra und Analytische Geometrie X Ebenen im Raum Koordinatengleichung Die Ebene E kann mit der Parametergleichung beschrieben werden. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Mit Hilfe des Vektorproduktes der Richtungsvektoren kann ein Normalenvektor bestimmt werden. Dieser liefert die Vorfaktoren einer Koordinatengleichung. E: - -y -z d Durch Einsetzen des Stützvektors erhält man d- und damit als Koordinatenform E: - -y -z - bzw. E: y z

9 Analytische Geometrie XX Lage von Gerade und Ebene Lage von Gerade und Ebene I Geben Sie die verschiedenen Möglichkeiten an, wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen können. Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Gerade g und der Ebene E. Durch Gleichsetzen und Umsortieren erhält man jeweils ein LGS, welches hier mit Gauss gelöst wird. a) g und E schneiden sich im Punkt (5//8)

10 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Lage von Gerade und Ebene Lage von Gerade und Ebene II Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Gerade g und der Ebene E. Bestimmen Sie ggf. auch den Schnittpunkt. a) : r g 5 : t s E b) : r g 7 : s r E Durch Gleichsetzen und Umsortieren erhält man jeweils ein LGS, welche hier mit Gauss gelöst werden.

11 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XXX Lage von Gerade und Ebene Laserbohrung a) Berechnen Sie die Koordinaten des Ein- und des Austreffpunktes. b) Bestimmen Sie die Länge des Bohrkanals. 8 Mit B(//), C(-//) und F(//8) erhält man E ACF : r r s 8 6,5 Für die Gerade des Laserstrahl ergibt sich g: r 6 t 6,5 8 Gleichsetzen und sortieren ergibt das LGS 8r s,5t s 6,5t 8 8s t Mit IIIII erhält man t und durch Einsetzen s,5 und r,5. Daraus ergibt sich der Eintreffpunkt (-//). Analog erhält man für den Austreffpunkt (,5/,5/) [t, s,5, r,5]. Für die Länge des Bohrkanals ergibt sich,5,5, cm.

12 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Louvre-Pyramide Der Eingang des berühmten Pariser Kunst-Museums "Louvre" wird durch eine Glas-Pyramide mit quadratischer Grundfläche gebildet: Die Breite beträgt ungefähr 5 m und die Höhe m. Diese Pyramide wird jetzt in einem dreidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem (Längeneinheit: Meter) betrachtet. Die Bodenfläche sei die - -Ebene, und die -Achse sei lotrecht nach oben gerichtet. Das Koordinatensystem sei weiterhin so gewählt, dass die vier Eckpunkte auf dem Boden die folgenden Koordinaten haben: A( ) B(5 ) C( 5 5 ) D( 5 ) Bestimmen Sie die Koordinaten der Dachspitze S. Bestimmen Sie eine Parameterund eine Koordinatenform der Ebene E, in der die Pyramidenseitenfläche ABS liegt. S (7,5/7,5/) (Die Koordinatenform kann auch über das Vektorprodukt der Richtungsvektoren gefunden werden. )

13 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XXX Lage von Gerade und Ebene Orthogonal Gegeben ist die Ebene E und die Gerade g. Untersuchen Sie, ob es einen Wert für k gibt, für den gilt E g. (Alternativ kann man auch das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene bilden.) k s g : 6 : µ λ E

14 Lineare Algebra und Analytische Geometrie X Vektoren im Koordinatensystem Orthogonalität a) b) a) b)

15 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Parameterform von Ebenen Punktprobe mit Parameter Gegeben ist die Ebene E: 5 7 t r r. Bestimmen Sie für a eine Zahl so, dass der Punkt P in der Ebene E liegt. a) P (//a) b) P (a//-) c) P (/a/a) a) 5 7 t r a t r a t r t r 5 7 I II: t t eingesetzt in II ergibt r Damit erhält man 5 ) ( 7 a. P(//) b) 5, a t r P(5//-) (Rechenweg analog zu a) c) Tipp: Setzen Sie Gleichung II und III gleich. 6, a t r P(/ / )

16 Lineare Algebra und Analytische Geometrie X Parameterform von Ebenen Punktprobe Gegeben ist die Ebene E: 5 s r r. Überprüfen Sie, ob a) der Punkt A(7/5/-) b) der Punkt B(7//8) in dieser Ebene liegt.

17 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Pyramide I (aus Abi 5) a) Zeigen Sie, dass das Viereck OABC ein Quadrat ist. b) Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Pyramide OABCS. a) Zu zeigen ist, dass alle vier Seiten gleich lang sind und alle Winkel (einer genügt) rechtwinklig sind. b)

18 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Pyramide II (aus Abi 5) a) Zeigen Sie, dass der Punkt R(5/5/) auf der Strecke AB liegt. b) Zeigen Sie, dass die Strecke OR die Grundfläche der Pyramide im Verhältnis 5: bzw. :5 teilt.

19 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Ebenen im Raum Pyramide III (aus Abi 5) a) Leiten Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene E her, die durch die Punkte O(//), Q(//) und R(5/5/) festgelegt ist. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P der Geraden g durch S(-,5/,5/5) und A(9//) mit der Ebene aus Teil a). c) Weisen Sie nach, dass die Strecken OP und BP senkrecht zur Geraden g verlaufen. a) (Über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren erhält man den Normalenvektor und damit die Koordinatengleichung.) b) c)

20 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XXX Lage von Gerade und Ebene Pyramide Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und Kantenlänge m hat eine Höhe von 6m. Der Punkt D liegt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit der Längeneinheit m. a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C und S an. b) Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Ebene E, die die Punkte B, C und S enthält. c) Senkrecht zu dieser Dreiecksfläche wird durch U(/,/,7) ein Loch gebohrt. Berechnen Sie die Koordinaten des Endpunktes P der Bohrung und begründen Sie, ob P innerhalb oder außerhalb der Pyramidengrundfläche ABCD liegt. c) Der Richtungsvektor der Bohrung steht senkrecht zur Ebene. Gesucht ist demnach ein Vektor, dessen Skalarprodukt zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene ergibt. Dies erfüllt z.b. v (Kann man auch über das Vektorprodukt bestimmen.)

21 Lineare Algebra und Analytische Geometrie X Lage von Gerade und Ebene Schnittpunkt bestimmen Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g und der Ebenen E. Tipp: Setzen Sie die beiden Parametergleichungen gleich und lösen Sie das LGS. Kurzlösung: : s g 5 : m k E

22 Lineare Algebra und Analytische Geometrie X Skalarprodukt Skalarprodukt a) Ermitteln Sie, welche der folgenden Vektoren zueinander orthogonal liegen. b) Untersuchen Sie, ob die beiden Raumdiagonalen und orthogonal sind. a) Die Vektoren a und c liegen orthogonal zueinander. (Das Skalarprodukt ergibt.) b)

23 Lineare Algebra und Analytische Geometrie X Skalarprodukt Vektorprodukt Bestimmen Sie das Vektorprodukt a) per Hand und b) mit Taschenrechner.

24 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XXX Parameterform von Ebenen Verschiedene Lagebeziehungen Gegeben ist die Ebene a) Geben Sie die Gleichung der Geraden g an, die senkrecht auf E steht und durch geht. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S von g mit E. c) Gegeben sei ferner die Gerade Welche besondere Lage hat h? d) Welche Beziehung besteht zwischen h und E? a) Der Richtungsvektor der Geraden g muss zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene senk recht stehen. Die folgende Rechnung kann auch durch das Vektorprodukt ersetzt werden. Dann erhält man ggf. ein Vielfaches des hier angegebenen Normalenvektors. b) c) h liegt in der y-z-ebene, da stets. d) h liegt in E, denn die Richtungsvektoren sind linear abhängig und der Stützvektor von g liegt in E (Punktprobe). 6 6 : µ λ E : r h

25 Lineare Algebra und Analytische Geometrie XX Lage von Gerade und Ebene Wolkenfront In einem Koordinatensystem beschreibt die -y-ebene eine ebene Landschaft. Die Flugbewegung eines Flugzeugs kann vereinfacht durch die geradlinige Flugbahn g beschrieben werden. g : 6 s Die Unterseite einer Wolkenformation verläuft annähernd längs der Ebene E, wobei für die Parameter E : k m wegen der räumlichen Ausdehnung der Wolkenfront gilt: k ; m. Prüfen Sie, ob die Unterseite der Wolkenfront von dem Flugzeug durchflogen wird.