Integration über allgemeine Integrationsbereiche.

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1 Integration über allgemeine Integrationsbereiche. efinition: Sei R n eine kompakte und messbare Menge. Man nennt Z = { 1,..., m } eine allgemeine Zerlegung von, falls die Mengen k kompakt, messbar und zusammenhängend sind und falls gilt m k=1 k = und i j = für alle i j. Weiterhin heißt diam( k ) := sup{ x y :x,y k } der urchmesser der Menge k und Z := max{diam( k ) 1 k m} die Feinheit der allgemeinen Zerlegung Z. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 146

2 Riemannsche Summen für allgemeine Zerlegungen. Für eine stetige Funktion f : R definiert man die Riemannschen Summen R f (Z) = m f(x j )vol( j ) j=1 mit beliebigen x j j, j = 1,..., m. Satz: Für jede Folge (Z k ) k N allgemeiner Zerlegungen von mit Z k (für k ) und für jede Folge zugehöriger Riemannscher Summen R f (Z k ) gilt lim R f(z k ) = f(x) dx k Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 147

3 Schwerpunkte von Flächen und Körpern. efinition: Sei R 2 (bzw. R 3 ) eine messbare Menge und ρ(x), für x, eine vorgegebene Massendichte. ann ist der Schwerpunkt der Fläche (bzw. des Körpers) gegeben durch ρ(x)x dx x s := ρ(x)dx. Zählerintegral (über vektorwertige Funktion) koordinatenweise zu berechnen. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 148

4 Beispiel. Zu berechnen ist der Schwerpunkt der Pyramide { P := (x, y, z) T max( y, z ) ax }, x h Berechne das Volumen von P unter Annahme konstanter ichte wie folgt. vol(p) = h ax ax ax ax dzdydx = h ax ax ax h dydx = h ( ax ) 2 1 dx = h 3 a2 h. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 149

5 Fortsetzung des Beispiels. Weiterhin gilt h ax ax ax ax x y z dzdydx = h = = h ax ax a 2 x 3 h a2 h 2 ax 2 h axy h dx dydx er Schwerpunkt von P liegt daher im Punkt x s = ( 3 4 h,, )T. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 15

6 Trägheitsmomente von Flächen und Körpern. efinition (Trägheitsmoment bezüglich einer Achse): Sei R 2 (bzw. R 3 ) eine messbare Menge, ρ(x) bezeichne für x eine Massendichte und r(x) den Abstand des Punktes x von einer vorgegebenen rehachse. ann besitzt bezüglich dieser Achse das Trägheitsmoment Θ := ρ(x)r 2 (x)dx Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 151

7 Beispiel. Berechnen das Trägheitsmoment des homogenen Zylinders Z := { (x, y, z) T : x 2 + y 2 r 2, l/2 z l/2 } bezüglich der x-achse bei konstanter ichte ρ wie folgt. Θ = ρ(y 2 + z 2 )d(x, y, z) Z = ρ (y 2 + z 2 )d(x, y, z) = ρ = ρ Z r r 2 x 2 r r 2 x 2 r r 2 x 2 r = ρ πlr2 12 (3r2 + l 2 ) l/2 l/2 (y 2 + z 2 )dzdydx r 2 x 2 (ly 2 + l3 12 )dydx Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 152

8 er Transformationssatz. Ziel: Verallgemeinerung der (eindimensionalen) Substitutionsregel ϕ(b) ϕ(a) f(x)dx = b a f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Satz (Transformationssatz): Sei Φ : U R n, U R n offen, eine C 1 -Abbildung. U sei eine kompakte messbare Menge, so dass Φ auf einen C 1 -iffeomorphismus bildet. ann ist auch Φ() kompakt und messbar und für jede stetige Funktion f : Φ() R gilt die Transformationsformel f(x)dx = f(φ(u)) det JΦ(u) du. Φ() Bemerkung: Man beachte, dass im Transformationssatz die Bijektivität von Φ nur auf im Inneren von gefordert wird nicht jedoch auf dem Rand! Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 153

9 Beispiel. Berechne den Schwerpunkt eines homogenen Kugeloktanten V = {(x, y, z,) T x 2 + y 2 + z 2 1 und x, y, z } Es ist einfacher, den Schwerpunkt in Kugelkoordinaten zu berechnen: x r cos ϕ cos ψ y = r sin ϕ cos ψ = Φ(r, ϕ, ψ) z r sin ψ ie Transformation Φ ist auf ganz R 3 definiert und mit [ = [, 1], π ] [, π ] 2 2 gilt Φ() = V. Weiterhin ist Φ auf ein C 1 -iffeomorphismus mit detjφ(r, ϕ, ψ) = r 2 cos ψ. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 154

10 Fortsetzung des Beispiels. Mit dem Transformationssatz gilt 1 π/2 π/2 vol(v) = dx = r 2 cos ψ dψdϕdr = π 6 V und 1 π/2 π/2 vol(v) x s = x dx = (r cos ϕ cos ψ)r 2 cos ψ dψdϕdr V 1 π/2 π/2 = r 3 dr cos ϕ dϕ cos 2 ψ dψ = π 16 araus folgt x s = 3 8. Analog berechnet man y s = z s = 3 8. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 155

11 er Steinersche Satz. Satz (Steinerscher Satz): Für das Trägheitsmoment eines homogenen Körpers K mit Gesamtmasse m gilt bezüglich einer vorgegebenen rehachse A Θ A = md 2 + Θ S. Hierbei ist S die zu A parallele Achse durch den Schwerpunkt x s des Körpers K und d der Abstand des Schwerpunktes x s von der Achse A. Beweis: Wende die Verschiebung x = Φ(u) = x s + u an. ann hat die verschobene Menge = {x x s x K} den Schwerpunkt Null, d.h. es gilt u du =. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 156

12 Fortsetzung des Beweises. Nun bezeichne a den Einheitsvektor in Richtung der Achse A. ann gilt ( Θ A = ρ < x,x > < x,a > 2 ) dx K ( = ρ < xs + u,x s + u > < x s + u,a > 2) = ρ (< x s,x s > +2 < x s,u > + < u,u > < x s,a > 2 2 < x s,a >< u,a > < u,a > 2) du { ( = ρ < xs,x s > < x s,a > 2) du ( + < u,u > < u,a > 2 ) du } + 2 < x s < x s,a > a,u > du = md 2 + Θ S Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 157

13 Beispiel. Berechnen das Integral I = e x2 dx durch Berechnung eines Flächenintegrals wie folgt. Es gilt ( ( 2 R ) ( R ) I 2 = e dx) x2 = lim e x2 dx e y2 dy R = lim R I R für I R = [,R] [,R] e (x2 +y 2) d(x, y). Bezeichnet K ρ den Viertelkreis im 1. Quadrant mit Radius ρ, so gilt 2 +y 2) d(x, y) I R e (x2 +y 2) d(x, y). K R e (x K 2R Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 158

14 Fortsetzung des Beispiels. ie Integrale über K ρ berechnet man nun über Polarkoordinaten: K ρ e (x 2 +y 2) d(x, y) = und somit gelten die Abschätzungen π 4 und hiermit gilt schließlich d.h. ρ π/2 ( 1 e R2) I R π 4 lim I R = π R 4, e x2 dx = e r2 r dϕdr = π 4 (1 e 2R2) π (1 e ρ2) 2. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 159