Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten kannst du mithilfe der Ortsvektoren und Verbindungsvektoren berechnen.

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1 Wahlteil B2 Mathe > Abitur (GTR) > 2016 > Wahlteil B2 Aufgaben PLUS Tipps PLUS Lösungen TI PLUS Lösungen Casio PLUS Aufgabe 2.1. a) Darstellung der Pyramide der Schnittfläche im Koordinatensystem Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass das Dreieck die Grfläche der Pyramide mit Spitze ist. Weiterhin weißt du, dass die Ebene durch die Punkte, verläuft. Dabei ist der Mittelpunkt der Kante der Mittelpunkt der Kante. Du sollst die Pyramide zusammen mit der Schnittfläche von Pyramide Ebene darstellen. Dazu musst du zuerst die Koordinaten von bestimmen. 1. Schritt: Bestimmen der Mittelpunkte Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten kannst du mithilfe der Ortsvektoren Verbindungsvektoren berechnen. Um auf die Ortsvektoren der Mittelpunkte zu kommen, benötigst du also zunächst den Ortvektor zu einem der Punkte dann die Hälfte des Verbindungsvektors zwischen dem Anfangs- dem Endpunkt. Damit findest du. 2. Schritt: Darstellung im Koordinatensystem Zuerst musst du das Koordinatensystem zeichnen. Achte darauf, dass die Achsen weit genug in den positiven den negativen Bereich gehen, sodass du alle Punkte einzeichnen kannst. Nachdem du das Koordinatensystem angelegt hast, zeichnest du die Punkte,, ein. Verbinde diese daraufhin zu einer Pyramide. Anschließend zeichnest du die Mittelpunkte. Diese verbindest du erst miteinander dann jeweils mit dem Punkt. So erhältst du die gesuchte Schnittfläche. Seite 1 von 9

2 Abb. 1: Pyramide Schnittfläche im Koordinatensystem Berechnung des Umfangs der Schnittfläche Die Schnittfläche wird von den Kanten, begrenzt. Den Umfang berechnest du, indem du die Länge dieser Kanten, also die Abstände zwischen den Eckpunkten der Fläche berechnest diese Abstände addierst. Um die Abstände zwischen den Eckpunkten zu berechnen benötigst du im ersten Schritt die Verbindungsvektoren. Im zweiten Schritt musst du die Länge dieser Vektoren berechnen. 1. Schritt: Berechnung der Verbindungsvektoren 2. Schritt: Berechnung der Länge der Verbindungsvektoren Die Länge eines Vektors ist sein Betrag. 3. Schritt: Umfang der Schnittfläche berechnen Der Umfang kannst du jetzt mit den drei Beträgen berechnen: Seite 2 von 9

3 Bestimmen der Koordinatengleichung von Du sollst nun eine Koordinatengleichung der Ebene aufstellen, die durch die Punkte, verläuft. Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht im allgemeinen folgendermaßen aus: Dabei ist ein Normalenvektor zur Ebene, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Ein solcher Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Der Parameter kann über eine Punktprobe bestimmt werden. Gehe also wie folgt vor: 1. Berechne einen Normalenvektor von mit Hilfe des Kreuzproduktes zweier Verbindungsvektoren der Punkte, 2. Führe eine Punktprobe durch um zu bestimmen 3. Stelle die Ebenengleichung auf 1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors Zwei Vektoren, die in liegen erhältst du zum Beispiel mit den Verbindungsvektoren. Diese Vektoren hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet: Berechne nun mit Hilfe des Kreuzproduktes: 2. Schritt: Punktprobe Nun lautet die bisherige Ebenengleichung Seite 3 von 9

4 Setze hier nun die Koordinaten eines Punktes der Ebene ein berechne so. Wähle dazu beispielsweise : 3. Schritt: Ebenengleichung aufstellen Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet nun : Da du bei Gleichungen Äquivalenzumformungen durchführen darfst, kannst du auf beiden Seiten der Gleichung durch teilen erhältst, Was als Teilergebins angegeben ist. b) Bestimmung der Koordinaten von Q Die Punkte, sollen ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Das bedeutet, dass zwischen genau zwei der Verbindungsvektoren, ein rechter Winkel liegt. Du weißt, dass das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren null ist, wenn zwischen diesen ein rechter Winkel liegt. Achtung: An dieser Stelle kannst du noch nicht sagen zwischen welchen der Verbindungsvektoren der rechte Winkel liegt! Das wird erst in Schritt 2 deutlich. Gehe wie folgt vor: 1. Bestimme die allgemeine Form des Punktes, der auf der Kante liegt. 2. Berechne die Verbindungsvektoren. 3. Berechne das Skalarprodukt setzte es mit Null gleich um zu bestimmen. 1. Schritt: Bestimmen des Punktes allgemein Du weißt, dass auf der Kante liegt. Also auf einer Geraden durch die Punkte. Die Gerade dur c h u n d kannst du aufstellen, indem du als Stützvektor den Ortsvekter als Spannvektor den Verbindungsvektor wählst. Also folgt: Damit findest du die Geradengleichung Jeder Punkt auf dieser Gerade hat die Form Seite 4 von 9

5 2. Schritt: Berechnung der Verbindungsvektoren Die Verbindungsvektoren berechnest du über die Differenz der Ortsvektoren: Den Verbindungsvektor hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet. Im nächsten Schritt sollst du das Skalsrprodukt berechnen dieses mit Null gleichsetzen. Du kannst bereits an dieser Stelle erkennen, dass die Skalarprodukte für kein t null werden können. Der rechte Winkel muss also zwischen liegen. Schritt 3: Berechnung des Skalarprodukts Bestimmung von Das Skalarprodukt zwischen den Verbindungsvektoren lautet Jetzt sollst du so wählen, dass das Skalarprodukt null ist. Dazu kannst du den Taschenrechner verwenden. Gebe den oberen Term als Funktion in den GTR ein berechne die Nullstellen mit folgendem Befehl: 2ND TRACE (CALC) 2: zero Seite 5 von 9

6 Abb. 2 Bestimmen der Nullstellen Du hast jetzt zwei Lösungen für gefen. Setzt du in den allgemeinen Punkt ein, so erhältst du einen Punkt, der nicht zwischen liegt somit nicht auf der Kante. Setzt du ein, erhältst du den gesuchten Punkt also. c) Bestimmung der Koordinaten von Du kannst aus der Aufgabenstellung entnehmen, dass in der -Ebene im Inneren der Pyramide liegt. Außerdem soll zu der Grfläche, der Seitenfläche zu der Ebene den gleichen Abstand haben. Da der Punkt in der Ebene liegt, ist die zweite Komponente null, hat also die allgemeine Form: Gehe wie Folgt vor: 1. Bestimme die Ebenengleichungen der drei Ebenen in Koordinatenform. 2. Berechne mithilfe der Hesseschen Normalform die Abstände zwischen den drei Ebenen Punkt in allgemeiner Form. 3. Bestimme die Koordinaten des Punktes, indem du die Abstände aus Schritt 2 gleichsetzt. Schritt 1: Bestimmen der Ebenengleichungen Die Ebenengleichung von hast du bereits in Aufgabenteil a) bestimmt. Betrachtest du die Koordinaten der Punkte, kannst du sehen, dass auf der Achse auf der -Achse liegen. Die Ebene liegt also in der -Ebene besitzt damit die gleiche Koordinatengleichung, wie die -Ebene. Es fehlt also nur noch die Koordinatengleichung der Ebene. Die Punkte liegen, wie bereits erwähnt auf der Achse. liegt auf der Achse. Die Ebene liegt also in der Ebene hat damit die gleiche Koordinatengleichung, wie die Ebene. Dass die Ebenen in den Koordinatenebenen liegen kannst du auch aus deiner Zeichung im Aufgabenteil a) entnehmen. Seite 6 von 9

7 Schritt 2: Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalform Mit der Hesseschen Normalform kannst du den Abstand zwischen einem Punkt einer Ebene in Koordinatenform (siehe Aufgabenteil a)) berechnen. Im Nenner steht der Betrag des Normalenvektors. Du musst nun für alle drei Ebenen den Abstand zwischen dem Punkt bestimmen. Dazu brauchst du die Beträge der Normalenvektoren. Die Normalenvektoren kannst du aus der Koordinatenform der Ebenen ablesen. Jetzt kannst du alle bekannten Werte in die Hessesche Normalform einsetzten. Im Folgenden ist Abstand von zur Ebene usw. der Die Koordinaten müssen jetzt so gewählt werden, dass alle drei Abstände gleich groß sind. Also:, woraus direkt folgt. Du kannst also in dem Bruch durch ersetzten erhältst: Durch den Betrag erhält man für zwei Lösungen zum Einen: Seite 7 von 9

8 zum Anderen: Da für nicht in der Pyramide liegt, ist die richtige Lösung die Koordinaten sind Aufgabe 2.2. Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Fortgeschrittenenpaare anwesend sind. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen kannst du die Zufallsvariable betrachten, welche die Anzahl der Fortgeschrittenenpaare beschreibt, die anwesend sind. Diese Zufallsvariable kann als binomialverteilt mit den Parametern angenommen werden.da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass die Anzahl der Fortgeschrittenenpaare gleich vier ist dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 an der Tanzgruppe teilnehmen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von sind also alle Fortgeschrittenenpaare anwesend. Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 6 Anfängerpaare höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind. Du musst in diesem Aufgabenteil noch eine weitere Zufallsvariable, für die Anzahl der anwesenden Anfängerpaare betrachten. Diese Zufallsvariable kann ebenfalls als binomialverteilt angenommen werden hat die Parameter. Betrachte zuerst die beiden Wahrscheinlichkeiten. Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du wie folgt berechnen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, sowohl mindestens 6 Anfängerpaare als auch höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind kannst du durch das Produkt der Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ca.. Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 11 Paare anwesend sind. Seite 8 von 9

9 Es gibt zwei Möglichkeiten dafür, dass 11 Paare anwesend sind. Entweder es sind 7 Anfängerpaare 4 Fortgeschrittenenpaare oder alle 8 Anfängerpaare 3 Fortgeschrittenenpaare anwesend. Außerdem gibt es genau eine Möglichkeit, dass alle 12 Paare anwesend sind. Betrachte die Zufallsvariable, welche die Anzahl der anwesenden Paare beschreibt. Dann lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie Folgt darstellen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 11 Paare anwesend sind, beträgt somit. Du kannst die Wahrscheinlichkeiten auch mit dem GTR berechnen. Dafür verwendest du den binompdf Befehl, welchen du wie folgt findest: 2ND VARS(DISTR) A: binompdf Die Wahrscheinlichkeit kannst du beispielsweise bestimmen, indem du die Parameter, der Reihe nach eingibst. Abb. 3 Eingetragene Daten Abb. 4 Lösung mit dem GTR Die mit dem GTR berechnete Lösung entspricht deiner Lösung aus Aufgabenteil a). Bildnachweise [nach oben] [1] 2016 SchulLV. [2] 2016 SchulLV. [3] 2016 SchulLV. [4] 2016 SchulLV. Seite 9 von 9

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