A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

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1 5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: x x (i) P x (x) = x für x =... 0 sonst e 2y für y =... (ii) P y (y) = y! 0 sonst a) Wie heißen die Verteilungen der beiden Zufallsvariablen? Bestimmen Sie die Werte ihrer Parameter und geben Sie an, welche Werte X und Y mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen. Handelt es sich um stetige oder um diskrete Verteilungen? b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen graphisch dar. c) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz der Verteilungen an. d) Berechnen sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: (i) P(X 1), (ii) P(X < 2), (iii) P(2 Y 3), (iv) P(Y > 2) Lösungen: a) (i) Binomialverteilung (diskret) n π x (1 π) n x b(x;n,π) = x für x = 0,1,...,n 0 sonst mit n = 5 ; π = 0.6 (ii) Poissonverteilung (diskret) e λ λ y für y = 0,1,2,... P(y) = y! 0 sonst mit λ = 2

2 5 Diskrete Verteilungen 2 b) (i) x P(x) P(x) x (ii) y P(y) P(y) y c) Binomialverteilung: EX = nπ = = 3, Var X = nπ(1 π) = = 1.2 Poissonverteilung: EX = λ = 2, Var X = λ = 2

3 5 Diskrete Verteilungen 3 d) (i) P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 = = (ii) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) 5 = = = (iii) P(2 Y 3) = P(Y = 2) + P(Y = 3) = e e 2 2! 3! = = (iv) P(Y > 2) = 1 P(Y 2) = 1 e e 2 0! 1! = = e ! B: Übungsaufgaben [ 1 ] Sei X b(n,π) mit 0 < π < 1. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) E X > Var X b) Var X = π (1 π) c) b(1,π) = Be(π) d) E (X/n) > 1 e) P(0 X n) = 1 [ 2 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Die Poissonverteilung hat die Dichte λe λx für x 0. b) Man benutzt poissonverteilte Zufallsvariablen als Modell für die Wartezeiten zwischen dem Eintreten zweier Ereignisse. c) Die möglichen Werte einer poissonverteilten Zufallsvariablen sind 0, 1, 2,... d) Der Parameter λ einer Poissonverteilung ist immer kleiner als eins. e) Eine Zufallsvariable mit Poissonverteilung ist diskret.

4 5 Diskrete Verteilungen 4 [ 3 ] Ist X poissonverteilt mit Parameter λ. Welche Aussagen sind WAHR? a) P(0) = 0 b) P(0) = e λ c) P(0) = e λ X=1 d) P(0) = 1 P(X 1) e) E X = Var X λ x x! e λ [ 4 ] Die Anzahl der Unfälle in einem Monat in einer besonders gefährdeten Kurve einer Bundesstraße sei poissonverteilt mit dem Erwartungswert λ = 2.3. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einem bestimmten Monat genau drei Unfälle ereignen? Wahrscheinlichkeit = b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in jedem Monat eines halben Jahres höchstens drei Unfälle ereignen? Wahrscheinlichkeit = [ 5 ] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine poissonverteilte Zufallsvariable, mit Parameter λ = 2, einen Wert annimmt, der größer oder gleich eins ist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist:

5 5 Diskrete Verteilungen 5 [ 6 ] Eine Urne enthält N = 5 Kugeln, von denen N e = 3 rot sind. Es werden a) 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. b) 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel zu ziehen? Fall a: P a (X = 1) = Fall b: P b (X = 1) = [ 7 ] Eine Statistik - Vorlesung des Hauptstudiums mit nur 5 anwesenden Hörern sei gerade beendet. Als die Studenten den Raum in zufälliger Reihenfolge verlassen, fällt dem Professor auf, dass die ersten zwei ausländische Gasthörer sind und er berechnet sich für dieses Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von 3/5. Wieviele ausländische Gasthörer befanden sich unter den 5 anwesenden Hörern? Anzahl = [ 8 ] Von 6 Männern und 4 Frauen sollen 5 Personen an einer Tagung teilnehmen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden 3 Männer und 2 Frauen bei einem Losverfahren ausgewählt? Wahrscheinlichkeit =

6 5 Diskrete Verteilungen 6 [ 9 ] Ein Zufallsexperiment bestehe aus dem dreimaligen Werfen einer fairen Münze. Die Zufallsvariable X sei definiert als die Anzahl der dabei aufgetretenen Seite Kopf. Geben Sie die Formel der dazu gehörenden Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x) an. P(x) = für Bestimmen Sie P(X 2). P(X 2) = Bestimmen Sie außerdem E X und Var X. E X = Var X = [ 10 ] Eine Bäckerei hat kurz vor Ladenschluß nur noch 5 Brote zum Verkauf übrig. 3 dieser Brote stammen vom vergangenen Wochenende und sind damit äußerst trocken. Zwei Kunden betreten gleichzeitig das Geschäft und verlangen jeweils ein Brot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird höchstens einem dieser beiden Kunden ein altes verkauft, falls der Verkäufer die Brote zufällig auswählt? Wahrscheinlichkeit =

7 5 Diskrete Verteilungen 7 [ 11 ] Welchen Wert hat der Parameter n einer binomialverteilten Zufallsvariablen X, die den Erwartungswert EX = 5 und die Varianz Var X = 2.5 hat? n = [ 12 ] Aus einer Urne mit 50 Kugeln wird eine Stichprobe von 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Stichprobe eine rote Kugel befindet, beträgt 3/8 und sei gleich der Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln in der Stichprobe vorzufinden. Wieviele rote Kugeln befinden sich in der Urne? Anzahl der roten Kugeln in der Urne : [ 13 ] Bei der Durchsicht eines Buches stellt man fest, dass von den insgesamt 800 Seiten 160 Seiten nicht fehlerfrei sind. 10 Seiten des Buches wurden zufällig ausgewählt. Die Zufallsvariable X sei definiert als die Anzahl fehlerfreier Seiten. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X: E X = Var X = [ 14 ] In einer Urne befinden sich 2 rote, 2 schwarze und 4 blaue Kugeln. Es werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln an. Es gilt: Berechnen Sie die Varianz von X. (Hinweis: Berechnen Sie zunächst n.) P(X = n) = 1 8 Var X =

8 5 Diskrete Verteilungen 8 [ 15 ] Eine poissonverteilte Zufallsvariable X nimmt die Werte 5 und 6 mit derselben Wahrscheinlichkeit an. Wie groß sind E X und Var X? E X = Var X = [ 16 ] Ein fairer Würfel wird viermal ausgespielt. Die Zufallsvariable X zähle, wie oft eine gerade Augenzahl geworfen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau dreimal eine gerade Augenzahl geworfen wird? [ 17 ] In einer Lostrommel befinden sich 1000 Lose: 900 Nieten und 100 Gewinnlose. Der erste Käufer ersteht drei Lose. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der Gewinnlose, die der erste Käufer erhält. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X an, ohne eventuelle Approximationsmöglichkeiten zu berücksichtigen. P(x) = für Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Käufer beim Kauf von drei Losen mindestens ein Gewinnlos zieht. Greifen Sie dabei gegebenenfalls auf Approximationsmöglichkeiten zurück. P(X 1) = [ 18 ] Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 10 und π = Bestimmen Sie den Modalwert der Variablen. Modalwert =

9 5 Diskrete Verteilungen 9 [ 19 ] In einer Brauerei werden fehlerhaft abgefüllte Flaschen computergesteuert aussortiert. Aus Erfahrung sei bekannt, dass im Durchschnitt drei Flaschen pro Minute auf diese Art und Weise ausgesondert werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute zwei oder mehr Flaschen aus der Produktion genommen werden müssen P(X 2) [ 20 ] Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 45 und π = 0.5. round(dbinom(0:23,45,0.5),digits=3) [1] [13] Bestimmen Sie P(X < 23) und P(X < 22) exakt (ohne Verwendung von eventuellen Approximationsmöglichkeiten). (Hinweis: Da π = 0.5 ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion symmetrisch und die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind relativ einfach zu bestimmen; ansonsten können Sie die obige R Ausgabe zur Hilfe nehmen.) P(X < 23) = P(X < 22) = [ 21 ] Die Zufallsvariable X sei hypergeometrisch verteilt mit n = 20, N e = 12 und N = 120. Bestimmen Sie EX. E X =

10 5 Diskrete Verteilungen 10 [ 22 ] Die Anzahl der Fahrraddiebstähle im Stadtgebiet von Göttingen pro Stunde sei ein Poissonprozeß mit dem Erwartungwert von λ = 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer bestimmten Stunde mehr als 2 Fahrräder in Göttingen gestohlen werden? Wahrscheinlichkeit = Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in zwei bestimmten Stunden weniger als 2 Fahrräder in Göttingen gestohlen werden? Wahrscheinlichkeit = [ 23 ] Eine Telephonistin bei der Telephonauskunft möchte gerne 5 Minuten Pause machen. Aus Erfahrung weiß sie, dass die Anzahl der auf ihrer Leitung in einer Stunde eingehenden Anrufe einem Poissonprozess folgt mit einem Erwartungswert von 36. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit WS dafür, dass innerhalb der 5 Minuten mehr als ein Anruf eingeht? Wahrscheinlichkeit = C: Klausuraufgaben [ 24 ] IV07S Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n = 180 und π = Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(2 < X 4). Geben Sie entweder einen R-Befehl für die Berechnung der exakten Wahrscheinlichkeit an oder berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Approximation durch die Poissonverteilung. P(2 < X 4) =

11 5 Diskrete Verteilungen 11 [ 25 ] II07S Sei X poissonverteilt mit dem Paramter λ = 4.5. Der R-Befehl round(dpois(0:13,4.5),digits =3) ergab den folgenden Ausdruck, wobei round(..., digits =3) die Rundung auf drei Stellen nach dem Dezimalpunkt bewirkt. [1] [10] a) Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Ausgabe: P(X > 3) = b) Wie lautet der R-Befehl, der das Ergebnis aus a) berechnet? R-Befehl =

12 5 Diskrete Verteilungen 12 [ 26 ] IV07S Eine Lieferung von N = 80 Kisten, die mit Früchten gefüllt sind, enthalte N e = 40 Kisten mit verdorbenen Früchten. Da eine vollständige Prüfung der Lieferung zu aufwendig ist, haben Abnehmer und Lieferant vereinbart, dass eine Zufallsstichprobe von n = 10 Kisten der Lieferung entnommen und geprüft wird, um die Anzahl der Kisten mit verdorbenen Früchten zu bestimmen. Falls sich in dieser Stichprobe höchstens c schlechte Kisten befinden, wird die Lieferung vom Abnehmer angenommen, andernfalls wird die gesamte Lieferung abgelehnt. Sei X definiert als die Anzahl der Kisten mit verdorbenen Früchten in der Stichprobe. Laut Vorlesung ist X hypergeometrisch verteilt. Zur Beantwortung der Frage a) steht Ihnen folgende R Ausgabe zur Verfügung, wobei die Zahlen mit dem Befehl round(..., digits = 4) auf vier Stellen nach dem Dezimalpunkt gerundet wurden. > round(dhyper(0:5,40,40,10),digits = 4) [1] a) Wie viele Kisten mit verdorbenen Früchten dürfen sich höchstens in der Stichprobe befinden, damit der Abnehmer diese Lieferung nur mit höchstens 5%iger Wahrscheinlichkeit annehmen muss? Gesucht ist also das größte c mit P(X c) c = b) Geben Sie die Formel (nicht das Ergebnis) zur Berechnung von P(X = 2) an. Hinweis: Die Formel müsste mehrere Binomialkoeffizienten enthalten. Setzen Sie die numerischen Werte für die Parameter ein, rechnen Sie jedoch keinen Binomialkoeffizienten aus. P(X = 2) =

13 5 Diskrete Verteilungen 13 D: Lösungen 1) a, c, e 2) c, e 3) b, d, e 4) ; ) ) 0.48 ; 0.6 7) 4 8) ) P(x) = { (3 )1 x für x = 0,1,2,3 8 0 sonst ; 0.5 ; 1.5 ; ) ) 10 12) 25 13) 8 ; ) ) 6 ; 6 16) 1 4 ( 100 ) ( x 900 ) 3 x ( 17) P(x) = 1000 ) für x = 0,1,2,3 3 0 sonst ; ) 0 19) ) bzw. 0.5 ; bzw (0.499 und damit resultieren aus Rundungsungenauigkeiten und erhält man unter Verwendung der R Ausgabe) 21) 2 22) ; ) 0.8

14 5 Diskrete Verteilungen 14 24) pbinom(25,60,0.45) oder ) ; 1-ppois(3,4.5) ) ( 40 ) 8 26) 2 ; P(X = 2) = ( 40 2 ( 80 ) 10