Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion

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1 Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion

2 Äquivalenzrelation Nehmen wir die Menge A = {,,,,,,,,}, z.b. nummerierte Personen. Unter Berücksichtigung der Verwandtschaftsbeziehung zerfällt A in disjunkte Teilmengen (Familien), z.b. {,}, {,,}, {,,}, {}. Die Verwandtschaftsbeziehungen tragen wir in eine Tabelle ein, (a, b) für a verwandt mit b. math. Sprechweise: a äquivalent b, a b. Es gilt hier offensichtlich für a, b, c A: a a Relation ist reflexiv a b = b a symmetrisch a b, b c = a c transitiv (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) (,)... (,) (,) (,) (,) (,) (,) Beginnen wir mit den Teilmengen {,} und {}. Symbole statt (a, b) erhöhen die Anschauung.

3 Äquivalenzrelation Die Beziehungen in der Familie {,, } werden hinzugefügt, sowie die der Familie {,,}. Eine Umordnung der Elemente hebt die Struktur der Relation (Teilmenge von AA ) hervor. Den Teilmengen (Äquivalenzklassen) der Zerlegung von A (Partition) entsprechen in der Tabelle nicht überlappende Quadrate, die die Diagonale überdecken. Die Transitivität der Relation garantiert die quadratischen Anordnungen, z.b., = Eine Partition einer Menge kann dadurch erzeugt werden, dass die Elemente der Menge nach einer Eigenschaft (gehört zur Familie F k ) zusammengefasst werden, oder es wird eine Relation (a ist verwandt mit b) herangezogen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

4 Äquivalenzrelation Etwas allgemeiner ergibt sich folgendes Bild: Teilen wir die Zahlen der Menge M = {,,,,,,,,} durch und fassen die Zahlen nach den möglichen Teilerresten 0,, zusammen: M = {,,} {,,} {,,} Die Partition kann auch durch eine Äquivalenzrelation erzeugt werden. Betrachten wir hierzu die Teilmenge {,, }. Es gilt: = 0 +, = +, = +. Die Differenz zweier Zahlen ist durch teilbar (der Rest fällt raus). b a ist genau dann durch teilbar, wenn a und b denselben Teilerrest haben. a b teilt b a andere Bezeichnung a b mod, a kongruent b modulo Das Vorzeichen von b a spielt keine Rolle, möglich wäreauch a b teilt b a.

5 Restklassen Wir fassen die Zahlen aus N 0 zu Restklassen zusammen, deren Elemente bei Division mit jeweils denselben Rest ergeben. 0 = {0,,,,...} = {,,,...} = {,,0,...} = {,,,...} Durch eine Betrachtung der Reste wird Folgendes klar: a b, c d = a+c b+d (mod ) a = n +r c = m +r Wenn a und b den Rest r ergeben und c und d den Rest r, so ist der Rest für a+c und b+d jeweils (r +r ) mod (eventuell muss subtrahiert werden). a b, c d = ac bd (mod ) ac = (...)+r r bd = (...)+r r Es entsteht derselbe Rest r r mod. Mit Kongruentem kann ausgetauscht werden: a bc, c d = a bd (mod ) Begründung: Aus c d folgt bc bd und mit der Voraussetzung erhalten wir a bd Nun sollte verständlich sein, dass z.b. bei Division mit den Rest ergibt: (mod ) Damit eine Rechnung wie ( ) (mod ) möglich wird, müssen die Restklassen auf Z erweitert werden. Für die Division mit erhalten wir 0 = {...,,,,0,,,,...} = Z = {...,,,,,,,...} = +Z = {..., 0,,,,,0,...} = +Z = {...,,,,,,,...} = +Z

6 Teilbarkeit in Z Die Rechnungen zur Restklasse = + = + = + = 0 + = ( ) + = ( ) + = ( ) + = ( ) + verdeutlichen den Sachverhalt: Für alle a Z und b N gibt es q Z (eindeutig) mit a = q b+r, 0 r < b Die Kongruenz-Rechenregeln bleiben erhalten. ( ) (mod ) Teilbarkeit durch Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch teilbar ist. alternierende Quersumme: + + = ( = ) = durch teilbar:,, 00,, 0000,,... 0 mod ( )+ + ( )+ (mod )

7 Kleiner Satz von Fermat Für alle Primzahlen p und alle natürlichen Zahlen a, die kein Vielfaches von p sind gilt: a p mod p z.b. (mod ) Wir betrachten die Zahlen:,,,,,, multiplizieren sie mit (z. B.) und schreiben die Teilerreste mod auf. Dies ergibt:,,,,, Allgemein: Werden die Teilerreste mod p:,,,..., (p ) mit a multipliziert, so ergeben sich mod p dieselben Teilerreste. Die Reihenfolge ist unerheblich. Zur Begründung: b c p (b c) p a(b c) p nicht in a enthalten Damit erhalten wir: ab ac p (ab ac)... (p ) a a a... (p )a... (p ) a p (... (p )) (p )! a p (p )! p (p )!(a p ) p (a p ) Behauptung

8 Satz von Euler Der kleine Satz von Fermat lässt sich verallgemeinern. Statt p nehmen wir eine natürliche Zahl n. Für eine Primzahl p sind die (p ) Zahlen,,,..., (p ) teilerfremd. Für n treten an ihre Stelle die zu n teilerfremden Zahlen r, r,..., r ϕ(n) die kleiner als n sind (Teilerreste, r = ), für sie gilt also ggt(r i,n) =. Die Anzahl sei ϕ(n), z.b. ϕ() = {,,,} = Der Satz von Euler besagt nun: a ϕ(n) mod n unter der Bedingung ggt(a,n) = Begründung: b c n (b c) n a(b c) ggt(a,n) = n (ab ac) ab ac Damit erhalten wir: r r r... r ϕ(n) ar ar ar... ar ϕ(n) a ϕ(n) r r r... r ϕ(n) n (a ϕ(n) ) r r r... r ϕ(n) n (a ϕ(n) ) Behauptung

9 Eulersche ϕ-funktion Beispiele: ϕ() = {,,,} = Diese Zahlen haben mit den ggt. ϕ() = {,,,,,} = Für Primzahlen p gilt offensichtlich ϕ(p) = p. ϕ( ) = {,,,,,,,,} \{,,} = ϕ( ) = {,,,...,,}\{,0,,0,} = 0 ϕ( ) = {,,,..., }\{,,,..., } = Wir erkennen, dass für Primzahlpotenzen gilt ϕ(p n ) = p n p n = p n ( p ). Die Funktion ist auch multiplikativ: ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n) für teilerfremde Zahlen m, n. Diese Eigenschaft ermöglicht uns, ϕ(a) für beliebiges a zu ermittelt. Anhand des Zahlenbeispiels m =, n = wird die Beweisidee deutlich. ϕ() =, ϕ() =, z.z. ϕ( ) =. In der obersten Zeile sind die zu teilerfremden Zahlen grau unterlegt Nur die Zahlen in den grau unterlegten Spalten ergeben als ggt mit. Unter ihnen sind diejenigen Zahlen, die mit den ggt bilden. Es sind gerade die Zahlen, die auch zu teilerfremd sind. mod Die Spalten haben alle die Stuktur: k +0 k + k + k + In jeder Spalte sind alle Teilerreste mod vorhanden, i j = k +i k +j, beachte ggt(,) =, darunter jeweils ϕ() = Teilerfremde zu. Nun sollte ϕ( ) = einleuchten.