Arbeitsblatt A 8-4 Polynom-& Wurzel-& Winkelfunktionen Teil 1/2
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- Cornelius Sachs
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1 Schule Budesgymasiu um ür Berustätige Salzburg Modul Thema Mathematik 8 Arbeitsblatt A 8-4 Polyom-& Wurzel-& Wikeluktioe Teil 1/2 Polyomuktioe Eie wichtige Klasse vo Fuktioe bilde die Polyomuktioe (x = a +b x+c +d x 3. Wir studiere zuerst die Fuktio (x = x 3 ud Verschiebuge derselbe. Tipp: Orietiere Sie sich a der Lage des Symmetriezet- diese Typs rums. Übuge: Schreibe Sie selbst eiige Fuktioe au, versuche sie zu zeiche, kotrolliere Sie i GeoGebra. 1
2 Die allgemeie Fuktio dritte Grades lautet (x= a x 3 +b x 2 +c x +d. Sie ka als Polyomuktio maximal 3 Nullstelle habe aber midestes 1(alle Polyomuktioe mit ugeradem Grad habe midestes 1 Nullstelle. Als besoders praktisch ist die Nullstelle-Form (der Koeiziet vo x 3 ist bei us immer 1 (x= (x-nullstelle1 (x-nullstelle2 (x-nullstelle3, weil sich durch die Ketis der Nullstelle die Fuktio schell zeiche lässt. Ket ma vo eier Fuktio drizze Grades eie Nullstelle, so ka ma mit dem Horerverahre eie weitere Nullstelle bestimme: (x= x 3-7 x + 6 Rate: Nullstelle1= 2 Koeiziete vo (x: *1 2*2 2*-3 Summe Es ergibt sich eie eue Fuktio g(x =1 x x -3 Durch Nullsetze ud Löse ergebe sich als weitere Nullstelle -1 ud +3, bitte achreche. 2
3 DAS NEWTONsche NÄHERUNGSVERFAHREN Mit dem Itervallschachtelugsverahre (Siehe Arbeitsblatt habe wir bereits ei Verahre kee gelert, mit dem ma eie Gleichug mit irratioale Lösuge beliebig geau löse ka. Ei zweites solches Verahre ist u das Newtosche Näherugsverahre. Ich zeige zuerst eimal das Grudprizip dieses Verahres am Problem des Ermittels der Nullstelle eier Fuktio au. Nehme wir a wir habe eie beliebige Fuktio gegebe: Wir ehme u eie beliebige Stelle x0 au der x-achse ud suche us de dazugehörige Pukt P0 au der Fuktio: 3
4 I diesem Pukt P0 lege wir u die Tagete a die Fuktio: Der Schittpukt der Tagete mit der x-achse lieert us usere Näherug x1. A dieser Stelle suche wir us wieder de dazugehörige Pukt au der Fuktio P1: P 1 x 1 I diesem Pukt lege wir u wieder die Tagete a die Fuktio. We wir diese mit der x-achse scheide erhalte wir die Näherug x2: P 1 x 1 x 2 4
5 Sie erkee, dass wir so der tatsächliche Nullstelle immer äher komme. ( x x+ 1 = x Newto- Formel ' ( x Sehe wir us u die praktische Umsetzug des Verahres a eiem Beispiel a: Beispiel: Löse Sie die Gleichug x 3 4x = 0. 1.Schritt: Alege eier gazzahlige Wertetabelle zum Ermittel der ugeähre Lage der Lösuge: Wir verwede dazu die etsprechede Fuktio y = x 3 4x x y Nullstelle Nullstelle Nullstelle 4 4 Immer we die y-werte vo eiem positive Wert au eie egative Wert oder umgekehrt wechsel, muss dazwische logischerweise eie Nullstelle liege. Widme wir us zuächst der Ermittlug der Nullstelle zwische x=-1 ud x=0. 2.Schritt: Wir verwede u die Newtosche Näherugsormel: ( x x+ 1 = x ' ( x Wir müsse u eie geeigete Startwert ide. Da der y-wert bei x=-1 äher bei Null liegt als bei x=0 muss die Nullstelle äher bei 1 liege. Ich wähle als Startwert x0=-0,7. 3.Schritt: Nu wede wir das Näherugsverahre a. Dazu erstelle wir us am beste eie Tabelle, bei der alle beötigte Werte vorkomme. Da wir auch die 1. Ableitug beötige, ertige wir auch diese a: 3 2 ( x = x 4x + 4 ' ( x = 3x 2 8x x x ' ( x ( ( x ' ( x x ( x '( x Nu setze wir usere Startwert 07 als x0 ei ud bereche us da die etsprechede Werte der Zeile: 5
6 x ( x ' ( x ( x ( x x ' ( x '( x -0,7 1,697 7,07 1,697 0,7 0,24 = 0,94 = 0,24 7,07 Der Edwert ist u usere ächstes x ei. Daach ühre wir die gleiche Operatio beliebig ot durch: x ( x ' ( x ( x ( x x ' ( x '( x -0,7 1,697 7,07 1,697 0,7 0,24 = 0,94 = 0,24 7,07-0,94-0, , , ,94 + 0,03591 = 0, = 0, , , ,0085 9, , ,90321 We ma die gewüschte Geauigkeit erreicht hat, ka ma auhöre. Bei us lautet die 1. x1 = 0,9 Lösug Deselbe Weg wede wir u zur Ermittlug der 2. Nullstelle a, die zwische x=1 ud x=2 liege muss. Am y-wert erkee wir, dass die Lösug äher bei 1 liege muss. Ich wähle als Startwert 1,2: x x ' ( x ( ( x ' ( x ( x x '( x 1,2-0,032-5,28 0, , , , , , ,19394 Die 2. Lösug lautet also x = 1,19 2. Die dritte Lösug liegt zwische x=3 ud x=4, etwas äher bei 4. Ich wähle de Startwert 3,6: x x ' ( x ( ( x ' ( x ( x x '( x 3,6-1,184 10,08-0, , , , , , , , , ,6026 0, ,70928 Die 3. Lösug lautet also 3 = 3,71 x. Das Newtosche Näherugsverahre hat de Vorteil, dass es sich sehr schell a de gesuchte Wert aähert. Es versagt, we ma bei der Iteratio au ei Extremum trit (warum?. Wählt ma eie zu weit vo der Nullstelle eterte Startwert dauert das Verahre eher lage. 6
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 13. DAS NEWTONsche NÄHERUNGSVERFAHREN
Mathematik: Mag. Schmi Wolgag Arbeitsblatt 3 6. Semester ARBEITSBLATT 3 DAS NEWTONsche NÄHERUNGSVERFAHREN Mit em Itervallschachtelugsverahre Siehe Arbeitsblatt habe wir bereits ei Verahre kee gelert, mit
6.2 Das Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung. x für k
6. Das Newtoverahre zur Nullstellebestimmug Gesucht sid Nullstelle eier ichtlieare stetig di bare Futio :RR, also R mit = 0! Zurücührug des Nullstelleproblems au das izwische beate Fiputproblem. Also gesucht:
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Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied.
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Methode der kleiste Quadrate KAPITEL 5: REGRESSIONSRECHNUNG Die Methode der kleiste Quadrate (MklQ) ist ei Verfahre zur Apassug eier Fuktio a eie Puktwolke. Agewadt wird sie beispielsweise, um eie Gesetzmäßigkeit
1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch
Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,
( ), der genau auf der Geraden ( ) 2 ( ) #( ) 8. Lineare Regression. = f i. Nach der Summe der kleinsten. mx i
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Ziel dieses Verfahres ist es, Beziehuge zwische zwei Merkmale
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Verallgemeierte Hero-Verfahre für 3., 4., 5.... Wurzel ud dere Optimierug Beitrag zum Wettbewerb juged forscht 005 Marti Zöllig Has-ud-Hilde-Coppi-Gymasium Berli Zusammefassug Die Iteratiosfolge des Heroverfahres
1. Mathematikschulaufgabe
.0 Die Pukte P(0/-7) ud Q(5/-) liege auf eier ach ute geöffete Normalparabel p. G< x. Bereche die Gleichug der Parabel p. (Ergebis: y = - x + 6x - 7 ). Bestimme die Koordiate des Parabel-Scheitels. Gib
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Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
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Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr. 4003 (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt Defiitio eier Reihe
Kapitel 6 Differenzierbarkeit
Kapitel 6 Differezierbarkeit Ihalt 6.1 6.1Die Defiitio 6.2 6.2Die Eigeschafte 6.3 6.3Extremwerte Seite 2 Was heißt differezierbar? Differezierbare Fuktioe sid sid glatte Fuktioe. Wir Wir beschreibe diese
Übungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge... 3 3. Siusfuktio si(...3 3. Cosiusfuktio cos(...4 3.3
Einführung in die Grenzwerte
Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der
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Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
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. Folge ( Zahlefolge Allgemeies Beispiel für eie regelmäßige Folge: /, /3, /4, /5, /6,... Das erste Glied ist a =/ Das ist das Glied mit dem Ide Das zweite Glied ist a =/3 Das ist das Glied mit dem Ide
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 5..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 9. Übugsblatt
Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und
Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte
1 Analysis T1 Übungsblatt 1
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Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
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Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,
Abiturprüfug Mathematik 008 Bade-Württemberg (ohe CAS) Wahlteil - Aufgabe Aalysis I Aufgabe I.: Ei Tal i de Berge wird ach Weste vo eier steile Felswad, ach Oste vo eiem flache Höhezug begrezt. Der Querschitt
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Vo der relative Häufigkeit zur Wahrscheilichkeit Es werde 20 Schüler befragt, ob sie ei Hady besitze. Das Ergebis der Umfrage lautet: Vo 20 Schüler besitze 99 ei Hady. Ereigis E: Schüler besitzt ei Hady
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ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gaz ausführliches Traiig Datei Nr. 4002 Neu Überarbeitet Stad: 7. Juli 206 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Taylor-Reihen 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Taylor-Reihe -E -E Brook Taylor (685-73) Brook Taylor war britischer Mathematiker. Nach ihm sid die Taylorreihe ud die Taylorsche Formel beat mit der ma stetig dierezierbare Fuktioe als Potezreihe darstelle
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Has Walser, [0160916], [0161009] Umögliche pythagoreische Dreiecke Idee: Chr. Z., B. 1 Schwarze Quadrate Woher komme die beide schwarze Quadrate? Abb. 1: Woher komme die schwarze Quadrate? Sachverhalt
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R. Brikma http://brikma-du.de Seite.. Eiführug Epoetialfuktioe ud die e- Fuktio Bei de bisher betrachtete Fuktioe trate Epoete ur als Zahle auf. q Potezfuktio : f a mit q Beispiel: f Fuktioe mit positiver
Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie
Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik
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Für eine n n-matrix A müssen wir die Gleichung. lösen. Falls (A λi) invertierbar ist, dann ist. Dann ist aber λ kein Eigenwert.
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Fit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen
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Tutorium Mathematik I, M Lösungen
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mathphys-online GANZRATIONALE FUNKTIONEN y-achse x-achse
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Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014
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