15 Hauptsätze über stetige Funktionen

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1 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 15.1 Extremalsatz von Weierstraß 15.2 Zwischenwertsatz für stetige Funktionen 15.3 Nullstellensatz von Bolzano 15.5 Stetige Funktionen sind intervalltreu 15.6 Umkehrfunktionen stetiger Funktionen 15.8 Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit In diesem Paragraphen setzen wir die Funktion f auf ihrem ganzen Definitionsbereich D als stetig voraus. Wir betrachten das Abbildungsverhalten von f speziell für folgenkompakte Mengen D und für Intervalle. Wir beweisen insbesondere gewisse Vererbungseigenschaften für stetige Funktionen f wie D folgenkompakt f(d) folgenkompakt; D Intervall f(d) Intervall Extremalsatz von Weierstraß Seien D folgenkompakt und f : D R stetig. Dann ist f(d) folgenkompakt und besitzt daher insbesondere ein Minimum und Maximum. Es gibt also t min, t max D mit f(t min ) f(t) f(t max ) für alle t D. Man sagt hierzu: f besitzt an der Stelle t min (t max ) ein Minimum (Maximum). Beweis. Sei u n f(d) für n N. Dann gibt es t n D mit u n = f(t n ) für n N. C 1 [15] 1

2 Kapitel III Stetige Funktionen Da D folgenkompakt ist, gibt es nach Definition (siehe 8.10(iii)) ein Element d 0 D und eine Teilfolge (t ϕ(n) ) n N von (t n ) n N, die gegen d 0 konvergiert. Da f stetig ist, konvergiert die Teilfolge Also ist f(d) folgenkompakt. u ϕ(n) = f(t ϕ(n) ) für n gegen f(d 0 ) f(d). Die Existenz des Minimum und Maximum folgt aus 8.12, angewandt auf M := f(d) Zwischenwertsatz für stetige Funktionen Sei f : [a, b] R stetig. Sei d eine Zahl, die zwischen f(a) und f(b) liegt. Dann gibt es eine Zahl c, die zwischen a und b liegt, mit f(c) = d. Beweis. (I) Sei zunächst f(a) < f(b). Dann ist (siehe Definition 2.6): f(a) < d < f(b). Setze Wegen existiert daher T := {t [a, b] : f(t) > d}. b T [a, b] (2) c := inf(t ) [a, b]. Es reicht nun zu zeigen: (3) f(c) d; (4) f(c) d. Zu (3): Wegen (2) gibt es eine Folge m n T mit m n c (siehe 7.22(ii)). Da f stetig ist, gilt somit wegen m n T : Also ist f(c) d (siehe 7.16(i)). d < f(m n ) f(c). Zu (4): Aus f(c) > d folgt c > a nach. Es gibt dann also ein c ]a, c[ mit f(c ) > d (siehe 14.10(ii)). Also ist c T. Wegen c < c = (2) inf(t ) erhalten wir daher einen Widerspruch. (II) Sei nun f(b) < f(a), also f(b) < d < f(a). Dann ist f eine stetige Funktion mit f(a) < d < f(b). Also gibt es nach (I) ein c ]a, b[ mit f(c) = d, d.h. f(c) = d. Als Folgerung aus dem Zwischenwertsatz erhalten wir unmittelbar den wichtigen Nullstellensatz. [15] 2 C 1

3 Hauptsätze über stetige Funktionen 15.3 Nullstellensatz von Bolzano (1817): Sei f : [a, b] R stetig. Ist f(a) f(b) < 0, dann gibt es ein c ]a, b[ mit f(c) = 0; ein solches c nennt man eine Nullstelle der Funktion f. Beweis. Nach 2.4(ii) ist f(a) < 0 und f(b) > 0 oder f(a) > 0 und f(b) < 0. In jedem Fall ist also 0 eine Zahl zwischen f(a) und f(b). Die Behauptung folgt daher aus dem Zwischenwertsatz Existenz reeller Wurzeln von Polynomen ungeraden Grades Ist P : R R ein Polynom ungeraden Grades. Dann besitzt P wenigstens eine Nullstelle. Beweis. Nach Satz 6.9(ii) gibt es, da P ein Polynom ungeraden Grades ist, a, b R mit a < b und P (a) P (b) < 0. Da P [a, b] als Restriktion der stetigen Funktion P stetig ist, folgt die Behauptung aus dem Nullstellensatz von Bolzano (15.3). Eine weitere Folgerung aus dem Zwischenwertsatz ist der folgende Satz über die Intervalltreue stetiger Funktionen Stetige Funktionen sind intervalltreu Sei f : I R stetig und I ein Intervall. Dann ist f(i) einpunktig oder ein Intervall. Beweis. Es enthalte f(i) mindestens zwei Punkte. Zu zeigen ist, daß dann f(i) ein Intervall ist. Nach Definition 5.1(x) ist hierfür zu zeigen: (d 1, d 2 f(i) d 1 < d < d 2 ) d f(i). Wegen d 1, d 2 f(i) mit d 1 d 2 gibt es a, b I mit a < b und f(a) = d 1, f(b) = d 2 oder f(a) = d 2 und f(b) = d 1. In jedem Fall ist aber d eine Zahl zwischen f(a) und f(b). Da [a, b] I ist, ist f [a, b] : [a, b] R stetig. Es gibt daher nach dem Zwischenwertsatz 15.2 ein c ]a, b[ mit f(c) = d. Also ist d f(i) Umkehrfunktionen stetiger Funktionen Sei I ein Intervall und f : I R eine stetige und injektive Funktion. Es gilt: (i) (ii) f ist streng monoton. f(i) ist ein Intervall und f 1 : f(i) R ist stetig und im selben Sinne wie f streng monoton. C 1 [15] 3

4 Kapitel III Stetige Funktionen Beweis. (i) Betrachte das über der Diagonale gelegene Dreieck u := {(t, u) I I : t < u} p 1 p2 I t Definiere eine Funktion d : R durch d((t, u)) := f(u) f(t). Da f injektiv ist, gilt: (2) d hat keine Nullstelle auf. Zu zeigen reicht nun, daß (3) oder (4) gilt: (3) d > 0 auf (d.h. f ist streng monoton wachsend); (4) d < 0 auf (d.h. f ist streng monoton fallend). Würde nun weder (3) noch (4) gelten, dann gibt es (beachte (2)) p 1 := (t 1, u 1 ) und p 2 := (t 2, u 2 ) mit d(p 1 ) > 0 und d(p 2 ) < 0. Man betrachte die Verbindungsstrecke (5) {λp 1 + (1 λ)p 2 : 0 λ 1} von p 1 und p 2 und die Funktion g(λ) := d(λp 1 + (1 λ)p 2 ) für 0 λ 1. Dann ist g : [0, 1] R (siehe unten die Argumentation (6)) stetig, und wegen g(0) = d(p 2 ) < 0, g = d(p 1 ) > 0 gibt es dann nach dem Zwischenwertsatz ein λ ]0, 1[ mit 0 = g(λ) = d(λp 1 + (1 λ)p 2 ). Dies widerspricht (2) wegen λp 1 + (1 λ)p 2. (5) [15] 4 C 1

5 Zu (6): Sei λ n [0, 1] mit λ n λ 0. Dann ist g(λ n ) = d(λ n p 1 + (1 λ n )p 2 ) Hauptsätze über stetige Funktionen = d((λ n t 1 + (1 λ n )t 2, λ n u 1 + (1 λ n )u 2 )) = f(λ n u 1 + (1 λ n )u 2 ) f(λ n t 1 + (1 λ n )t 2 ) fstetig f(λ 0u 1 + (1 λ 0 )u 2 ) f(λ 0 t 1 + (1 λ 0 )t 2 ) Also gilt g(λ n ) g(λ 0 ), d.h. g ist stetig. = d((λ 0 t 1 + (1 λ 0 )t 2, λ 0 u 1 + (1 λ 0 )u 2 ) = d(λ 0 p 1 + (1 λ 0 )p 2 ) = g(λ 0 ). (ii) Nach (i) gilt: f ist streng monoton wachsend oder streng monoton fallend. Ist f streng monoton wachsend, dann gilt für u 1, u 2 f(i): u 1 (= f(t 1 )) < u 2 (= f(t 2 )) t 1 < t 2 f 1 (u 1 ) < f 1 (u 2 ), d.h. f 1 ist streng monoton wachsend. Entsprechend folgt, daß f 1 streng monoton fallend ist, wenn f streng monoton fallend ist. Wegen der Intervalltreue stetiger Funktionen (siehe 15.5) ist f(i) ein Intervall. Zu zeigen bleibt die Stetigkeit von f 1. Nach (i) ist f streng monoton wachsend oder streng monoton fallend. Es genügt, die Stetigkeit von f 1 für den Fall einer streng monoton wachsenden Funktion f zu beweisen; der Fall der streng monoton fallenden Funktion f kann dann auf den ersten Fall zurückgeführt werden, indem man die streng monoton wachsende und stetige Funktion f betrachtet. Sei also (7) f : I R streng monoton wachsend und stetig. Wir zeigen, daß für jedes u 0 f(i) gilt: (8) f 1 ist in u 0 stetig. Zu (8): Sei u 0 = f(t 0 ) und zunächst t 0 innerer Punkt von I. Dann gibt es ein r R + mit [t 0 r, t 0 + r] I. Sei ε R + mit ε r. Es reicht zu zeigen, daß es eine Umgebung O von u 0 gibt mit (9) f 1 (u) f 1 (u 0 ) < ε für jedes u O. Da f(i) ein Intervall und f streng monoton wachsend ist, wird ]t 0 ε, t 0 + ε[ durch f bijektiv auf O := ]f(t 0 ε), f(t 0 + ε)[ abgebildet. Dann ist O eine Umgebung von u 0 = f(t 0 ) und die Umkehrfunktion f 1 bildet O auf ]t 0 ε, t 0 + ε[ = ]f 1 (u 0 ) ε, f 1 (u 0 ) + ε[ ab. Hieraus folgt (9). Sei nun (falls vorhanden) t 0 = min(i), also linker Eckpunkt des Intervalls I (betrachte die Charakterisierung aller Intervalle in 5.2). Dann gibt es ein r R + mit [t 0, t 0 + r] I. Sei ε R + mit ε r. Nun ist u 0 = f(t 0 ) linker Eckpunkt des Intervalls f(i). Es reicht zu zeigen, daß es ein δ R + gibt mit (10) f 1 (u) f 1 (u 0 ) < ε für jedes u [u 0, u 0 + δ[. C 1 [15] 5

6 Kapitel III Stetige Funktionen Es wird [t 0, t 0 + ε[ bijektiv durch f auf [f(t 0 ), f(t 0 + ε)[ und daher [u 0, f(t 0 + ε)[ durch f 1 auf [f 1 (u 0 ), f 1 (u 0 ) + ε[ abgebildet. Setzt man δ := f(t 0 + ε) u 0, dann ist δ R + und f 1 (u) f 1 (u 0 ) < ε für jedes u [u 0, u 0 + δ[. Also gilt (10). Der Fall, daß t 0 = max(i), also rechter Eckpunkt von I ist, folgt analog Gleichmäßige Stetigkeit Eine Funktion f : D R heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ε R + ein δ R + gibt, so daß für alle s, t D mit s t < δ immer f(s) f(t) < ε ist. Formaler lautet diese Bedingung: ( ε R + )( δ R + )( s, t D)( s t < δ f(s) f(t) < ε). Gleichmäßig stetige Funktionen sind offenbar stetig (vgl. die Definition der Stetigkeit in 14.9(ii)). Die Funktion f(t) = 1/t für t ]0, 1] ist ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nicht gleichmäßig stetig ist. Stetige Funktionen auf beschränkten und abgeschlossenen Intervallen sind aber gleichmäßig stetig, wie der folgende Satz zeigt. Genauer gilt: 15.8 Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit Sei D folgenkompakt und f : D R stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig. Beweis. Angenommen, f ist nicht gleichmäßig stetig. Dann existiert mindestens ein ε 0 R +, so daß für alle δ R + die Aussage (s, t D s t < δ) f(s) f(t) < ε 0 falsch ist. Also gibt es zu jedem δ R + s, t D mit s t < δ und f(s) f(t) ε 0. Wählt man nun der Reihe nach δ = 1, 1 2, 3 1,..., so erhalten wir für n N Punkte s n, t n D mit s n t n < 1 n und f(s n) f(t n ) ε 0. Wegen der Folgenkompaktheit von D gibt es eine Teilfolge s ϕ(n) von s n mit (2) s ϕ(n) n s 0 D. Wegen s ϕ(n) t ϕ(n) < 1 ϕ(n) 1 n gilt nach (2) auch (3) t ϕ(n) n s 0. Aus (2), (3) und der Stetigkeit von f folgt: (4) lim n f(t ϕ(n) ) = (3) f(s 0 ) = (2) lim n f(s ϕ(n) ). [15] 6 C 1

7 Somit erhalten wir und daher f(t ϕ(n) ) f(s ϕ(n) ) 0 (4), 7.18(ii) (5) f(t ϕ(n) ) f(s ϕ(n) ) 0, mit Widerspruch zu f(t ϕ(n) ) f(s ϕ(n) ) ε 0. Als Korollar zu 15.1, 15.5 und 15.8 ergibt sich: Hauptsätze über stetige Funktionen 15.9 Korollar Sei f : [a, b] R stetig. Dann gilt: (i) (ii) (iii) f besitzt ein Minimum und Maximum. Ist f nicht konstant, so ist f([a, b]) ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall [c, d]. f ist gleichmäßig stetig. Beweis. Nach 8.11 ist ein Intervall genau dann folgenkompakt, wenn das Intervall von der Form [a, b] ist. (i) Da [a, b] nach Vorüberlegung folgenkompakt ist, ist f([a, b]) folgenkompakt und besitzt daher insbesondere ein Minimum und Maximum (siehe 15.1). (ii) Da f nicht konstant ist, ist f([a, b]) nicht einpunktig, also ein Intervall nach Da dieses Intervall nach (i) folgenkompakt ist, ist es nach Vorüberlegung von der Form [c, d] mit c, d R und c < d. (iii) Da [a, b] folgenkompakt ist, folgt die Behauptung aus Lipschitz-Stetigkeit f : D R heißt Lipschitz-stetig (mit Lipschitz Konstanter L 0), wenn für alle s, t D gilt: f(s) f(t) L s t. Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und somit insbesondere stetig. Beweis. Sei f Lipschitz-stetig mit einer Lipschitz-Konstanten L 0. Zum Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit sei ε R +. Wähle δ := L+1 ε. Dann gilt f(s) f(t) L L+1 ε < ε für alle s, t D mit s t < δ. Also ist f gleichmäßig stetig. C 1 [15] 7