IIE6. Modul Elektrizitätslehre II. Hall-Effekt

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1 IIE6 Modul Elektrizitätslehre II Hall-Effekt In dem vorliegenden Versuch soll an Silber der Hall-Effekt und an Wolfram der anomale Hall-Effekt durch Messung der Hallspannung in Abhängigkeit vom Magnetfeld für verschiedene Ströme untersucht werden und jeweils die Hall-Konstante bestimmt werden. Für die Hall-Konstante von Silber erhält man einen negativen Wert, der auf Ladungstransport durch Elektronen schliessen lässt. Die Hall-Konstante von Wolfram wird als positive Grösse ermittelt. Zur Leitung tragen also hauptsächlich die Defektelektronen bei.

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3 Î Ö Ù ÁÁ ¹ À Ðй Ø In dem vorliegenden Versuch soll an Silber der Hall-Effekt und an Wolfram der anomale Hall- Effekt durch Messung der Hallspannung in Abhängigkeit vom Magnetfeld für verschiedene Ströme untersucht werden und jeweils die Hall-Konstante bestimmt werden. Für die Hall-Konstante von Silber erhält man einen negativen Wert, der auf Ladungstransport durch Elektronen schliessen lässt. Die Hall-Konstante von Wolfram wird als positive Grösse ermittelt. Zur Leitung tragen also hauptsächlich die Defektelektronen bei. c AP, Departement Physik, Universität Basel, September 2016

4 1.1 Fragen zur Vorbereitung Wie ist die Lorentz-Kraft definiert? Wie lautet die Definition der elektrischen Feldstärke E und welche Einheit besitzt sie? Wie ist die Stomdichte j für einen dreidimensionalen Leiter definiert, welche Einheit besitzt sie und wie kann man aus dieser Grösse den Strom I berechnen? Welche Ladungsträgerdichte n ist typisch für Metall, (intrinsische) Halbleiter und Isolatoren. Wie ist der Hall-Koeffizient A H definiert? Recherchiere die Literaturwerte des Hall-Koeffizienten der Elemente W, Ag, Au, Cu, Al und Na. Wie lässt sich der Sachverhalt interpretieren, dass sowohl positive als auch negative Hall-Koeffizienten auftreten? Was versteht man unter einer Vierpunktmessung? Wie wird solch eine Vierpunktmessung im Experiment realisieret? In welcher Grössenordnung liegt der Widerstand eines Voltmeters und warum muss dies so sein? Was erwarten Sie im Falle einer nicht stationären magnetischen Induktion, z.b. B(t) = B 0 sin(ωt)? 1.2 Theorie Der Hall-Effekt Betrachtet man einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, so wirkt auf die sich darin bewegenden Ladungsträger die Lorentz-Kraft F = q v B (1.1) Diese Kraft führt dazu, dass die Ladungsträger senkrecht zur Bewegungsrichtung und zum Magnetfeld abgelenkt werden und somit an der Rand des Leiters gedrängt werden. Dies führt dazu, dass sich an beiden Seitenflächen des Leiters entgegengesetzte Ladungen anhäufen, wie in der Abbildung 1.1 dargestellt ist. Die Kraft, die durch diese Ladungsverschiebung entsteht, ist gegeben durch und wächst solange an, bis sie die Lorentz-Kraft kompensiert F = q E (1.2) q ( E+ v B) = 0 (1.3) und sich die Ladungsträger wieder gerade durch den Leiter bewegen. Übrig bleibt die Kraftdichte f f = j B = e n v B (1.4) 3

5 d b Abbildung 1.1: Schematische Darstellung des Hall-Effekts., wobei j die Gesamtstromdichte beschreibt. Für die so durch das elektrische Feld E in einem Leiter der Höhe b erzeugte Spannung, die Hall-Spannung U H gilt: U H = q b e b E = b v B (1.5) Die Hall-Spannung hängt, im Gegensatz zur Lorentz-Kraft, nur von der Geschwindigkeit der Ladungsträger, und nicht mehr von der Gesamtstromdichte ab. Dies ermöglicht daher die getrennte Bestimmung der Faktoren e n v. Einführung des Ausdruckes für den Gesamtstrom I = d b j, wobei d der Dicke des Leiters entspricht, führt auf: U H = 1 IB en d = A IB H d A H wird als Hall-Koeffizienten des betreffenden Materials bezeichnet. Sein Vorzeichen entspricht dem der Ladungsträger, sein Betrag ist umgekehrt proportional zu n. Daher ist in gut leitenden Metallen der Hall-Effekt sehr klein, erst bei Halb-Metallen und Halbleitern gewinnt er enorm an Bedeutung. Aus der Gleichung (1.6) lässt sich der Hall-Widerstand angeben: (1.6) R H = A H B d (1.7) Quanten-Hall-Effekt Bei starkem Magnetfeld und ausreichend tiefen Temperaturen ist der Hall-Widerstand nicht mehr proportional zum anliegenden Magnetfeld, sondern er nimmt unabhängig vom Material den Wert R H = h l e 2 = R K l N (1.8) l wobei h das Planck sche Wirkungsquantum und R K das sogenannte Widerstandsquantum ist. Aus Gleichung (1.8) folgt somit für den Hall-Widerstand, dass er bei zunehmendem Magnetfeld konstant ist, bis er seinen Wert sprunghaft ändert. Die Mitte dieser Stufen entspricht dem klassischen Hall-Effekt, also der Formel (1.6). Die an der Probe anliegende Spannung, und somit auch der elektrische Widerstand, verschwindet genau an dieser Stelle. Zwischen den 4

6 Stufen nimmt der Widerstand maximale Werte an. In der Quantenmechanik lässt sich der (ganzzahlige) Quanten-Hall-Effekt erklären unter Berücksichtigung der so genannten Landau-Quantisierung der Elektronen in starken magnetischen Feldern. Anschaulich lässt sich dies wie folgt verstehen: Ein starkes B-Feld zwingt Elektronen auf eine Zyklotronbahn, auf welcher sich die Elektronen mit der Zyklotronfrequenz ω c = eb/m bewegen. In sehr reinen Materialien befinden sich nur wenige Fremdatome/Störstellen, an welchen die Elektronen gestreut werden können (mikroskopischer Ursprung des elektrische Widerstand). Somit können die Elektronen einen bzw. meherer vollständige Umläufe auf ihrer Zyklotronbahen absolvieren, bevor sie erneut gestreut werden. Die so reduzierte Bewegungsfreiheit der Elektronen führt zu quantisierten Energieniveaus. (Physikalisch korrekter wäre eine Argumentation bezügliche der sich ändernden Zustandsichte der Elektronen, da eine effektive reduzierung der Dimensionalität des Elektronengases stattfindet.) 1.3 Experiment Versuchszubehör Komponente Anzahl Hall-Effekt-Gerät (Silber) (Leiterdicke d = m) 1 Hall-Effekt-Gerät (Wolfram) (Leiterdicke d = m) 1 Mikrovoltmeter 1 Universelles Messinstrument Physik 1 Kombi B-Sonde S 1 Verlängerungskabel, 15-polig 1 Digitalmultimeter 1 Hochstrom-Netzgerät 1 Kleinspannungsstelltrafo 1 U-Kern mit Joch 1 Polschuhe durchbohrt, Paar 1 Spule 250 Windungen 2 Stativstange 25 cm, 12 mm Ø 1 Doppelmuffe 1 Stativfuss V-förmig, klein 1 Experimentierkabel 19 A, 100 cm, rot 4 Experimentierkabel 19 A, 100 cm, blau 4 Experimentierkabel 32 A, 100 cm, schwarz Versuchsaufbau und Justage Magnetfeld-Kalibrierung Baue den Versuchsaufbau zur Kalibrierung gemäss Abbildung 1.2 auf (die Sonde muss dazu selbstverständlicherweise nicht wie in der Abbildung, sondern um 90 längs ihrer Achse gedreht werden) auf. Stülpe die beiden blauen Aufsätze auf die Polschuhe und lasse diese während des Versuches stets montiert. Klemme zur Kalibration die rote Kunststoff-Scheibe zwischen die beiden Polschuhe. Der durch die Kunststoff-Scheibe erzeugte Spalt zwischen den Polschuhen entspricht der Dicke der Hall-Sonde, so dass die Kalibrationskurve mit dem identischen Abstand der anschliessenden Messung aufgenommen wird. 5

7 Schliesse die beiden Spulen in Serie an den Kleinspannungsstelltrafo an. Schiebe behutsam die Sonde durch die Öffnung in der Kunststoffscheibe in das Zentrum zwischen den Polschuhen. Abbildung 1.2: Schematische Darstellung der Kalibrations-Messung. Messung der Hall-Spannung als Funktion des Magnetfeldes Entferne die Sonde sowie die rote Kunststoff-Scheibe aus dem Elektromagneten und befestige das Hall-Effekt-Gerät zwischen den beiden Polschuhen. Achte darau, dass die beiden Polschuhe so nah wie möglich an das Hall-Effekt-Gerät geschoben werden müssen, ohne jedoch das Gerät zu beschädigen. Schliesse das Mikrovoltmeter an die Supportplatte des Hall-Effekt-Gerätes an. Schliesse das Hall-Effekt-Gerät gemäss Abbildung 1.3 an das Hochstrom-Netzgerät an. Die Magnetfeld-Richtung muss dabei in die auf dem Gerät angegebene Richtung zeigen Durchführung Magnetfeld-Kalibrierung Entmagnetisiere das Eisen, indem Du den maximalen Wechselstrom (AC) für ca. 30 Sekunden durch die Spulen fliessen lässt und drehe danach den Strom langsam auf null. Schliesse das digitale Multimeter zwischen positiven Pol des Spannungs-Trafos und der Spule an. Schalte nun auf DC-Betrieb um. Miss die magnetische Flussdichte B als Funktion des Stromes indem Du den Strom in 0.5A Schritten von 0.5 bis 9.5A erhöhst. 6

8 Abbildung 1.3: Schematische Darstellung der Verkabelung zur Messung des Hall-Effektes. Messung der Hall-Spannung als Funktion des Magnetfeldes Bevor Du das Silber-Hall-Effekt-Gerät dem Magnetfeld aussetzt, muss der Nullpunkt justiert werden: Lege einen transversalen Strom I von 15A an und setze den Indikator des Messgerätes zur Messung der Hall-Spannung U H auf null, indem der Justage-Knopf 4 (gemäss Betriebsanleitung im Anhang) verwendet wird. Falls die Anzeige während dem Ausschalten ändert, lege erneut den transversalen Strom an und wiederhole die Nullpunkt-Justage. Lege einen transversalen Strom I=15A an das Hall-Effekt-Gerät an und miss die Hall- Spannung als Funktion des Magnetfeldes B. (Lies dazu den effektiven Wert des Feldes von der Kalibrationskurve ab.) Entmagnetisiere erneut das Eisen und führe die Nullpunkt-Justage durch, bevor Du mit der nächsten Messung fortfährst. Wiederhole die Messung 5mal und bestimme die Mittelwerte der Hall-Spannungen. Wiederhole die Messung für einen Strom I=20A. Tausche nun das Silber- durch das Wolfram-Hall-Effekt-Gerät und wiederhole die oberen Schritte Aufgaben zur Auswertung Magnetfeld-Kalibrierung Bestimme die magnetische Flussdichte als Funktion des Stromes, indem Du einen Fit der Funktion f(x) = a (1 b x)+c 7

9 durchführst. Messung der Hall-Spannung als Funktion des Magnetfeldes Plotte die Hall-Spannung als Funktion des Magnetfeldes und führe einen Fit durch. Interpretiere und diskutiere den Verlauf der Messwerte. Bestimme die Hall-Konstante A H und den Hall-Widerstand R H für beide Materialien. Bestimme die Ladungsträger-Konzentration n für beide Materialien. 1.4 Literatur D. Meschede, Gerthsen Physik, Springer Verlag Ashcroft/Mermin, Solid State Physics, Cengage Learning Emea 8