NUMERISCHE MATHEMATIK II 1. (Studiengang Mathematik) Prof. Dr. Hans Babovsky. Institut für Mathematik. Technische Universität Ilmenau WS 2001/2002

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1 NUMERISCHE MATHEMATIK II 1 (Studiengang Mathematik) Prof Dr Hans Babovsky Institut für Mathematik Technische Universität Ilmenau WS 2001/ Korrekturen, Kommentare und Verbesserungsvorschläge bitte an: babovsky@mathematiktu-ilmenaude

2 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 1 Inhaltsverzeichnis 1 Polynom-Interpolation 2 11 Eindeutigkeit und Kondition 2 12 Hermite-Interpolation und dividierte Differenzen 7 13 Approximationsfehler Tschebyscheff-Interpolation 17 2 Spline-Interpolation Polynom-Splines Kubische Splines B-Splines 27

3 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/ Polynom-Interpolation Beim Interpolationsproblem geht es um die Frage, wie Funktionen rekonstuiert werden können, von welchen nur gewisse Funktionswerte bekannt bzw abgespeichert sind Anwendungen sind zb: Aus Messungen im Labor sind nur diskrete Werte f(t 1 ), f(t 2 ), bekannt; Funktionswerte einer Funktion sind tabellarisch aufgelistet; eine kontinuierliche Funktion soll abgespeichert und später rekonstruiert werden Bei der Polynominterpolation werden Polynome konstruiert, welche durch die vorgegebenen Punkte verlaufen 11 Eindeutigkeit und Kondition Zu den paarweise verschiedenen Zeitpunkten t 0,, t n seien die Funktionswerte f i, i = 0,, n, vorgegeben Gesucht ist ein Polynom P (t) möglichst niedrigen Grades, welches die Interpolationseigenschaft erfüllt: P (t i ) = f i, i = 0,, n (11) Im Folgenden bezeichne P n die Menge der Polynome höchstens n-ten Grades Es gilt das folgende allgemeine Resultat [11] Satz: Es gibt genau ein Polynom P (t) P n, welches die Interpolationsbedingungen (11) erfüllt (Dieses wird das Interpolationspoynom genannt) Beweis der Eindeutigkeit: Erfüllen zwei Polynome P, Q P n die Bedingungen (11), so ist das Polynom P Q P n und besitzt die n + 1 Nullstellen t 0,, t n Wie aus der Analysis bekannt ist, muss dann gelten P Q 0 Zum Beweis der Existenz werden wir das Polynom konstruieren Naheliegend wäre es,

4 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 3 das Polynom als Linearkombination der Monome 1, t, t 2,, t n zu bestimmen Das Einsetzen in die Interpolationsbedingungen (11) führte dann auf ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten mit der Vandermonde-Matrix 1 t 0 t 2 0 t n 0 1 t n t 2 n t n n Zwar kann gezeigt werden, dass für paarweise verschiedene Knoten t i die Matrix regulär ist Allerdings ist sie in der Regel schlecht konditioniert und für die numerische Berechnung des Interpolationspolynoms nicht geeignet Stattdessen betrachten wir die folgenden Lagrange-Polynome: L i (t) := n j=0 j i t t j t i t j Diese Polynome spannen den Vektorraum P n auf, wie das folgende Ergebnis zeigt [12] Lemma: {L i i = 0,, n} ist eine Basis von P n Beweis: Die folgenden Eigenschaften sind leicht zu beweisen Eigenschaften der Lagrange-Polynome: (a) L i ist Polynom n-ten Grades (b) An den Knoten t j, j = 0,, n, nimmt L i die folgenden Werte an: 1 für j = i L i (t j ) = δ ij = 0 für j i (δ ij wird als Kronecker-Delta bezeichnet) (c) Bezüglich des Skalarprodukts in P n sind die L i paarweise orthogonal n f, g := f(t i )g(t i ) (12) i=0 Aus der Eigenschaft (c) folgt, dass die L i linear unabhängig sind Da P n die Dimension

5 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 4 n + 1 hat, bildet {L i i = 0,, n} eine Basis Eine unmittelbare Folge der Eigenschaft (b) ist [13] Satz: Das gesuchte Interpolationspolynom ist gegeben durch n P (t) = f i L i (t) (13) i=0 [14] Beispiele: (a) Die zu den Knoten t 0 = 0, t 1 = 1, t 2 = 3 und t 3 = 4 gehörigen Lagrange-Polynome sind L 0 (t) = 1 12 (t 1)(t 3)(t 4) = 1 12 (t3 8t t 12), L 1 (t) = 1 6 t(t 3)(t 4) = 1 6 (t3 7t t), L 2 (t) = 1 6 t(t 1)(t 4) = 1 6 (t3 5t 2 + 4t), L 3 (t) = 1 12 t(t 1)(t 3) = 1 12 (t3 4t 2 + 3t) Das Interpolationspolynom zu den Werten f 0 = 1, f 1 = 0, f 2 = 1 und f 3 = 2 ist P (t) = L 0 (t) L 2 (t) + 2L 3 (t) = 1 12 (3t3 10t 2 5t + 12) (b) Der Wert sin(663 ) soll bestimmt werden In einem Tafelwerk finden wir die tabellierten Werte sin(60 ) = sin(65 ) = sin(70 ) = sin(75 ) = (i) Das lineare Interpolationspolynom zu den Knoten t 1 = 65 und t 2 = 70 ist P 1 (t) = t

6 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 5 und liefert sin(663 ) P 1 (663) = (ii) Das Interpolationspolynom P 3 (t) dritten Grades zu den Knoten t 0 = 60, t 1 = 65, t 2 = 70 und t 3 = 75 ist P 3 (t) = t t t Dies führt auf die Approximation sin(663 ) P 3 (663) = Zum Vergleich: Der exakte Wert ist sin(663 ) = Wir untersuchen zunächst die Kondition des Interpolationsproblems Hierbei geht es nicht um die Frage, wie genau ein Funktionsverlauf durch Interpolation rekonstruiert werden kann (dies geschieht in Abschnitt 13), sondern darum, wie stark sich Rundungsfehler auf das Ergebnis auswirken Zunächst fassen wir die Knoten t i und die Funktionswerte f i zu Vektoren zusammen: t := (t 0,, t n ) T, f := (f 0,, f n ) T Im Folgenden werde t als Folge paarweise unterschiedlicher Punkte festgehalten Es bezeichne P [f](t) das nach Satz [13] eindeutige Interpolationspolynom zu den Werten f Aus der Darstellung (12) für das Interpolationspolynom folgt, dass die Abbildung P [] : lr n+1 P n linear ist Hieraus folgt: Wird der Vektor f durch Rundungsfehler h = (h 0,, h n ) T gestört, so hat dies den Fehler P [f + h] P [f] = P [h] (14) zur Folge Zur Untersuchung des Rundungsfehlereinflusses muss also nur P [h] betrachtet werden Wir führen die beiden folgenden Maximumnormen ein: h := max i, i=0,,n (15) P [h] := sup P [h](t) (16) t [a,b]

7 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 6 Die absolute Kondition bezüglich der Maximumnorm ist definiert durch κ abs = P [h] (17) h h lr n+1 Diese kann mit Hilfe der Lagrange-Polynome wie folgt beschrieben werden [15] Satz: Es seien a t 0 > < t n < b paarweise verschiedene Knoten und L in, i = 0,, n die zugehörigen Lagrange-Polynome Dann gilt n κ abs = max L in (t) (18) t [a,b] i=0 Beweis: Zur Abkürzung definieren wir n Λ n := max L in (t) t [a,b] i=0 (Λ n heißt auch Lebesgue-Konstante ) Wir haben zunächst zu zeigen, dass κ abs Λ n Dies folgt aus n P [h](t) = h i L in (t) n h i L in (t) h Λ n (19) i=0 i=0 Es sei nun t [a, b] der Wert, an dem n i=0 L in (t) sein Maximum annimmt Definieren wir den speziellen Vektor h durch h i := sign(l in (t )), so ist h = 1 und n P [h] = P [h](t ) = L in (t ) = Λ n i=0 [16] Beispiel: Die Kondition κ abs hängt wesentlich von der Wahl der Knoten ab Tabelle 1 gibt für das Intervall [ 1, 1] für verschiedene n die Lebesgue-Konstante an Als Knoten wurden hierbei einmal äquidistante Knoten t i = (2i+1)/(n+1) 1 gewählt, und andererseits zum Vergleich die sog Tschebyscheff-Knoten t i = cos(π (2i + 1)/(2n + 2))

8 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 7 n äquidistante Knoten Tschebyscheff-Knoten Tabelle 1: Lebesgue-Konstante Λ n (Als Begründung für die Wahl der Tschebyscheff-Knoten vgl Abschnitt 14) [17] Übung: (a) Weisen Sie nach, dass durch (12) ein Skalarprodukt in P n definiert ist (b) Zeigen Sie, dass die Abbildung P [] : lr n+ P n linear ist (c) Zum Beweis von Satz [15]: Warum nimmt n i=0 L in (t) sein Maximum in [a, b] an? 12 Hermite-Interpolation und dividierte Differenzen Sollen von einem Interpolationspolynom P () nur einzelne Werte P (t) berechnet werden, so ist es nicht nötig, die Koeffizienten des Polynoms zu berechnen Numerisch günstiger ist die Anwendung des Schemas von Aitken-Neville Grundlage hierfür ist das folgende Ergebnis Es seien die Knoten t und die Funktionswerte f fest vorgegeben; P [f] bezeichne wie vorher das zugehörige Interpolationspolynom n-ten Grades Des weiteren bezeichne P [f ˆt i ] das Interpolationspolynom n 1-ten Grades zu den n Paaren (t 0, f 0 ),, (t i 1, f i 1 ), (t i+1, f i+1 ),, (t n, f n ) Das folgende Lemma zeigt, dass sich P [f] rekursiv aus Interpolationspolynomen niedrigeren Grades aufbauen lässt [18] Lemma: Für P [f] gilt die Rekursionsformel P [f](t) = (t 0 t)p [f ˆt 0 ](t) (t n t)p [f ˆt n ](t) t 0 t n

9 f 0 = π 00 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 8 Beweis: Zur Abkürzung definieren wir Offenbar ist φ P n Außerdem ist und für i = 1,, n 1 gilt φ(t) := (t 0 t)p [f ˆt 0 ](t) (t n t)p [f ˆt n ](t) t 0 t n φ(t 0 ) = P [f ˆt n ](t 0 ) = f 0, φ(t n ) = P [f ˆt 0 ](t n ) = f n, Damit ist φ = P [f] φ(t i ) = (t 0 t i )f i (t n t i )f i t 0 t n ) = f i Berücksichtigt man nun, dass auch die Polynome P [f ˆt i ] auf Polynome niedrigeren Grades zurückgeführt werden können, so ergibt sich schließlich das folgende Rekursionsverfahrens [19] Schema von Aitken-Neville: Berechne die Werte π ik, k = 0 n, i = k n nach dem Schema f 1 = π 10 π 11 f n 1 = π n 1,0 π n 1,1 π n 1,n 1 f n = π n0 π n1 π n,n 1 π nn wobei die π ik für k 1 aus den Werten der vorhergehenden Spalte bestimmt werden nach der Rekursionsformel π ik = (t t i k)π i,k 1 + (t i t)π i 1,k 1 t i t i k = π i,k 1 + t t i t i t i k (π i,k 1 π i 1,k 1 )

10 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 9 Dann ist P (t) = π nn 2 [110] Beispiel: Der Wert P 3 (663) des Beispiels [14](b) folgt somit aus dem Schema sin(60 ) = sin(65 ) = sin(70 ) = sin(75 ) = Aus dem Schema von Aitken-Neville kann man sich leicht den folgenden Algorithmus herleiten [111] Algorithmus zum Schema von Aitken-Neville: (S1) Für k = 0(1)n: Setze p k := f k (S2) Für k = 1(1)n Für i = n( 1)k: Setze p i := p i + (t t i ) (p i p i 1 )/(t i t i k ) Wir wollen nun das Interpolationsproblem verallgemeinern und außer Funktionswerten f i auch Ableitungen f (l) i an den Knoten t i vorschreiben Diese Art der Polynominterpolation heißt Hermite-Interpolation Anstelle einer strikt wachsenden Folge von Knoten t 0 < t 1 < lassen wir nun gleiche Knoten zu: t 0 t 1 Werden an einem Knoten außer dem Funktionswert f i auch die Ableitungen f i,, f (k) i so muss dieser Knoten k + 1-mal in der Knotenfolge auftreten Wir definieren d i := max{j : t i = t j i } vorgeschrieben, Beispiel: Zu den Knoten τ 0 < τ 1 < τ 2 < τ 3 seien die Werte f(τ 0 ), f (τ 0 ), f(τ 1 ), f (τ 1 ), f (τ 1 ), f(τ 2 ), f(τ 3 ) und f (τ 3 ) vorgegeben Hieraus ergibt sich mit t 0 = τ 0, t 2 = τ 1, t 5 = τ 2, t 6 = τ 3 die folgende Knotenfolge für die Hermite-Interpolation 2 Die Werte π kk sind die Werte des Interpolationspolynoms zu den Knoten t 0, t k an der Stelle t

11 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 10 τ i τ 0 τ 0 τ 1 τ 1 τ 1 τ 2 τ 3 τ 3 t i t 0 = t 1 < t 2 = t 3 = t 4 < t 5 < t 6 = t 7 d i ξ i f(τ 0 ) f (τ 0 ) f(τ 1 ) f (τ 1 ) f (τ 1 ) f(τ 2 ) f(τ 3 ) f (τ 3 ) Definieren wir nun ξ = (ξ 0,, ξ n ) T mit ξ i := f (d i) i und die Abbildungen µ i : P n lr, µ i (P ) := P (d i) (t i ), i = 0,, n so lautet das neue Interpolationsproblem [112] Aufgabe der Hermite-Interpolation: Finde P P n mit µ i (P ) = ξ i (110) Die Lösung P =: P (ξ t 0,, t n ) heißt Hermite-Interpolierende zu den Daten ξ an den Knoten t i Ähnlich wie in Satz [11] kann gezeigt werden [113] Satz: Zu jedem Vektor ξ lr n+1 und zu jeder monotonen Knotenfolge a = t 0 t 1 t n = b gibt es genau eine Hermite-Interpolierende P (ξ t 0,, t n ) [114] Spezialfälle: (a) Im Falle paarweise verschiedener Knoten t i entspricht die Hermite-Interpolation der Interpolation des Abschnitts 11 (b) Der Fall t 0 = t 1 = = t n führt auf die Taylor-Interpolation Die zugehörige Hermite-Interpolierende ist die abgeschnittene Taylorreihe n (t t 0 ) j P (ξ t 0,, t n )(t) = ξ j j! j=0 (c) Kubische Hermite-Interpolation: Hierbei ist n = 3; an den Knoten τ 0 < τ 1 seien die Funktionswerte f i sowie die ersten Ableitungen f i vorgegeben Zur Konstruktion der Hermite-Interpolierenden wird zunächst die kubische Hermite-Basis {H 0,, H 3 } konstruiert Diese ist eindeutig bestimmt durch die folgenden Vorgaben

12 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 11 H i (τ 0 ) H i(τ 0 ) H i (τ 1 ) H i(τ 1 ) i= i= i= i= Dann ist die Hermite-Interpolierende gegeben durch 3 P (ξ t 0,, t 3 ) = ξ i H i (111) i=0 [115] Beispiel: Gesucht ist die Hermite-Interpolierende, welche an den Knoten τ 0 = 0 und τ 1 = π die selben Funktionswerte und die selben ersten Ableitungen hat wie sin(t) Offenbar sind die Knotenfolge t und die Folge ξ gegeben durch t = (0, 0, π, π) T, ξ = (0, 1, 0, 1) T, und für die Interpolierende gilt nach (111) die Darstellung P (ξ t)(t) = H 1 (t) H 3 (t) H 1 und H 3 sind Polynome dritten Grades H 1 ergibt sich aus den Bedingungen H 1 (0) = H 1 (π) = H 1(π) = 0 und H 1(0) = 1 als H 1 (t) = 1 π t (t 2 π)2 Entsprechend folgt H 3 aus H 3 (0) = H 3 (π) = H 3(0) = 0 und H 3(π) = 1, H 3 (t) = 1 π 2 t2 (t π) Damit ist die Hermite-Interpolierende P (ξ t)(t) = 1 π 2 [ t (t π) 2 t 2 (t π) ] = 1 π t (t π) Zur Lösung des Interpolationsproblems führen wir eine weitere Basis von P n ein Die Menge {ω 0,, ω n }, welche definiert ist durch i 1 ω 0 (t) := 1, ω i (t) := (t t i ) (ω i P i ) j=0

13 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 12 heißt Newton-Basis (Wieso ist dies eine Basis des P n?) Der führende Koeffizient a n des Interpolationspolynoms P (ξ t 0,, t n ) = a n t n + a n 1 t n a 0 zu den Knoten t 0 t 1 t n heißt n-te dividierte Differenz und wird mit bezeichnet ξ[t 0,, t n ] := a n [116] Satz: Bezüglich der Newton-Basis besitzt P (ξ t 0,, t n ) die Darstellung n P n := P (ξ t 0,, t n ) = ξ[t 0,, t i ] ω i (112) i=0 Beweis durch Induktion: Für n = 0 ist die Aussage richtig Es gelte P n 1 := P (ξ 0,, ξ n 1 t 0,, t n 1 ) = n 1 Wir fügen den zusätzlichen Knoten t n hinzu und erhalten i=0 ξ[t 0,, t i ] ω i P n (t) = ξ[t 0,, t n ] t n + a n 1 t n a 0 = ξ[t 0,, t n ] ω n (t) + Q n 1 (t) mit einem Polynom Q n 1 P n 1 Da ω n (t) an den Knoten t i, i = 0,, n 1 verschwindet, ist Q n 1 = P n ξ[t 0,, t n ] ω n (t) das Interpolationspolynom zu den Knoten t 0,, t n 1, also Q n 1 = P n 1 Ähnlich wie Funktionswerte des Interpolationspolynoms mit Hilfe des Aitken-Neville- Schemas können die dividierten Differenzen rekursiv durch das folgende Schema berechnet werden

14 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 13 [117] Berechnung der dividierten Differenzen: Die Berechnung erfolgt durch das Schema ξ 0 = ξ[t 0 ] ξ 1 d1 = ξ[t 1 ] ξ[t 0, t 1 ] ξ n 1 dn 1 = ξ[t n 1 ] ξ[t n 2, t n 1 ] ξ[t 0,, t n 1 ] ξ n dn = ξ[t n ] ξ[t n 1, t n ] ξ[t 1,, t n ] ξ[t 0,, t n ] mit den folgenden Rechenregeln (a) Für zusammenfallende Knoten t k = = t k+l ist ξ[t k,, t k+l ] = ξ k+l l! (b) Ist t i t j, so gilt die Rekursionsformel ξ[t 0,, t n ] = ξ[t 0,, ˆt i,, t n ] ξ[t 0,, ˆt j,, t n ] t j t i, wobei ˆt k bedeutet, dass der Knoten t k und in der Liste ξ = (ξ 0,, ξ n ) T die Komponente ξ k gestrichen werden Beweis: (a) Ist t k = = t k+l, so ist nach [114](b) l (t t k ) j P (ξ k,, ξ k+l t k,, t k+l )(t) = ξ k+j ; j=0 j! insbesondere ist der führende Koeffizient gleich ξ k+l /l! (b) Ist t i t j, so gilt P (ξ t 0,, t n ) = (t i t)p (ξ t 1,, ˆt j,, t n ) (t j t)p (ξ t 1,, ˆt i,, t n ) t i t j (Begründung?) Hieraus folgt die Darstellung f ur den führenden Koeffizienten

15 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 14 [118] Beispiele: (a) Das Schema für das Beispiel [115] lautet [0] [0] [1] [0] 0 1/π [0] [ 1] 1/π 0 wobei die in eckige Klammern gesetzten Werte durch die Regel (a), die anderen durch die Regel (b) berechnet wurden Damit ist die Hermite-Interpolierende gegeben durch P (ξ t) = t 1/π t t 2 (t π) = 1 π t(t π) (b) Zu den Vorgaben des Interpolationsproblems [115] soll hinzugefügt werden: P (π/6) = P (5 π/6) = 05 Hieraus ergibt sich das folgende Schema t 0 = 0 [0] t 1 = 0 [0] [1] t 2 = π/6 [05] 3/π 6/π + 18/π 2 t 3 = 5π/6 [05] 0 18/5π 2 36/5π 2 648/25π 3 t 4 = π [0] 3/π 18/5π /5π /25π 4 t 5 = π [0] [ 1] 6/π + 18/π 2 36/5π /25π 3 36/5π /25π 4 0 Damit ist 6(3 π) 36(5π 18) P (ξ t)(t) = 1 ω 1 (t) + ω π 2 2 (t) + ω 25π 3 3 (t) = t t t t 4 36(5π 18) ω 25π 4 4 (t) (c) Die Exponentialfunktion soll in der Nähe von t = 0 durch ein Polynom P (t) approximiert werden Dieses Polynom soll möglichst niedrigen Grades sein und definiert durch die Bedingungen P ( 1) = 1/e, P (0) = P (0) = P (0) = 1 sowie P (1) = e Aus dem Schema t 0 = 1 [1/e] t 1 = 0 [1] (e 1)/e t 2 = 0 [1] [1] 1/e t 3 = 0 [1] [1] [1/2] (e 2)/2e t 4 = 0 [1] [1] [1/2] [1/6] (3 e)/3e t 5 = 1 [e] e 1 e 2 e 5/2 e 8/3 05 (e 1/e 7/3)

16 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 15 folgt P (t) = 1 ( e ) (t + 1) + 1 ( 1 e e (t + 1)t ) ( 1 (t + 1)t 2 + e e 1 (t + 1)t 3) 3 ( +05 e 1 e 7 ) (t 1)t 4 3 = 1 + t + 05t t t t 5 [119] Übung: Überprüfen Sie: Ist es im Fall paarweise verschiedener Knoten t i wichtig, die Knoten in wachsender Reihenfolge anzuordnen? Was ergibt sich hieraus, wenn zum bereits berechneten Interpolationspolynom ein weiterer Knoten hinzugefügt werden soll? 13 Approximationsfehler Bisher haben wir die Werte ξ = (ξ 0,, ξ n ) T immer als isoliert vorgegeben gedacht Jetzt wollen wir dies leicht modifizieren Wir stellen uns eine Knotenfolge a = t 0 t n = b und eine hinreichend glatte Funktion f : [a, b] lr vor und fragen uns, wie gut diese Funktion durch das zugehörige Interpolationspolynom im gesamten Intervall [a, b] approximiert wird Letzteres ist durch das eindeutig bestimmte Polynom P P n definiert, welches die Aufgabe [112] löst, wobei ξ i = f (di) (t i ) Dieses Polynom werde im Folgenden auch mit P [f t] bezeichnet, wobei f = (f (d0) (t 0 ),, f (dn) (t n )) T [120] Spezialfall: Für den Spezialfall t 0 = = t n und für mindestens n+1-mal stetig differenzierbare Funktionen f kann der Approximationsfehler f(t) P [f t](t) leicht aus den bisher bekannten Ergebnissen der Analysis hergeleitet werden Laut [114](b) ist nämlich das Interpolationspolynom gegeben als abgeschnittene Taylorreihe P [f t](t) = n j=0 f (j) (t 0 ) j! (t t 0 ) j Andererseits besagt die bekannte Restgliedformel für die Taylorreihe, dass f(t) = n j=0 f (j) (t 0 ) j! (t t 0 ) j + f (n+1) (τ) (n + 1)! (t t 0 ) n+1

17 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 16 mit einer geeigneten Stelle τ zwischen t 0 und t Berücksichtigen wir nun noch, dass in unserem Spezialfall gilt (t t 0 ) n+1 = ω n+1 (t), so lässt sich der Approximationsfehler darstellen durch f(t) P [f t](t) = f (n+1) (τ) (n + 1)! ω n+1 (t) (113) Wir werden im Folgenden zumindest skizzieren, dass sich die Formel (113) auf den allgemeinen Fall übertragen lässt [121] Lemma: Für t / {t 0,, t n } und für die erweiterten Vektoren t = (t 0,, t n, t) T sowie ξ = (ξ 0,, ξ n, f(t)) T gilt f(t) = P [f t](t) + ξ[t 0,, t n, t] ω n+1 (t) Beweis: Nach Satz [116] ist P [f t](t) = und das Polynom n ξ[t 0,, t i ] ω i (t), i=0 P n+1 (s) := P [f t](s) + ξ[t 0,, t n, t] ω n+1 (s) ist das Interpolationspolynom von f zu den Knoten t Insbesondere ist P n+1 (t) = f(t) Eine Art Mittelwertsatz liegt der folgenden Darstellungsformel für dividierte Differenzen zugrunde; wir wollen sie hier nicht beweisen, da hierzu die Berechnung höherdimensionaler Integrale benötigt wird 3 [122] Lemma: Für beliebige n ln und Knotenfolgen a = t 0 t n = b existieren Zwischenwerte τ [a, b] mit ξ[t 0,, t n ] = f (n) (τ) n! 3 Ein Beweis findet sich in P Deuflhard/ A Hohmann: Numerische Mathematik I, Satz 712 sowie Folgerung 713

18 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 17 Als zentrales Ergebnis folgt aus den Lemmata [121] und [122] [123] Satz: Ist f : [a, b] lr n + 1-mal stetig differenzierbar, so gilt für den Approximationsfehler der Hermite-Interpolierenden die Darstellung f(t) P [f t](t) = f (n+1) (τ) (n + 1)! mit einer geeigneten Zwischenstelle τ [a, b] ω n+1 (t) [124] Übung: (a) Plotten Sie ω n (t) für n = 5, 10, 20 für (i) äquidistante, (ii) Tschebyscheff-Knoten (b) Die Funktion sin(t) sei im Intervall [60, 75 ] an n + 1 äquidistanten Stützstellen gegeben Plotten Sie mit Hilfe eines Grafikprogramms die Interpolationspolynome, die Interpolationsfehler sowie die Polynome ω n+1 (t) für n = 4, 6, 8, Tschebyscheff-Interpolation Interpolationspolynome hohen Grades zu äquidistanten Stützstellen sind praktisch unbrauchbar, da diese starke Oszillationen aufweisen Die Oszillationen stehen gemäß Satz [123] im Zusammenhang mit dem Verhalten der Polynome ω n (t) in der Nähe der Ränder (vgl Übung [124](a)) Die Untersuchung der Frage, wie die Knoten t 0,, t n anzuordnen sind, damit max ω n+1(t) t [t 0,t n] möglichst klein wird, führt auf die Tschebyscheff-Polynome [125] Definition: Die Funktion T n : [ 1, 1] lr, T n (t) = cos(n arccos(t)) heißt das Tschebyscheff-Polynom n-ten Grades Zunächst einmal ist nicht klar, wieso T n ein Polynom sein soll Dies und weitere Eigenschaften werden in Satz [127] gezeigt Zunächst wird eine wichtige Rekursionseigenschaft bewiesen

19 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 18 [126] Hilfssatz: Es ist T 0 (t) = 1 und T 1 (t) = t Für n 1 gilt die Drei-Term-Rekursion T n+1 (t) = 2tT n (t) T n 1 (t) (114) Beweis: Die Aussagen für n = 0 und n = 1 folgen aus den wohlbekannten Beziehungen cos(0) = 1, cos(arccos(t)) = t Zur Herleitung der Drei-Term-Rekursion benötigen wir das Additionstheorem für den Kosinus, cos(a ± b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) Mit a = n arccos(t) und b = arccos(t) folgt cos((n + 1) arccos(t)) = cos(n arccos(t)) cos(arccos(t)) sin(n arccos(t)) sin(arccos(t)), cos((n 1) arccos(t)) = cos(n arccos(t)) cos(arccos(t)) + sin(n arccos(t)) sin(arccos(t)) Aufsummieren der beiden Gleichungen ergibt cos((n + 1) arccos(t)) + cos((n 1) arccos(t)) = 2t cos(n arccos(t)) Hieraus folgt die Drei-Term-Rekursion [127] Satz: Die Tschebyscheff-Polynome erfüllen für t [ 1, 1] die folgenden Eigenschaften (a) T n ist ein Polynom n-ten Grades und ist damit darstellbar in der Form T n (t) = a (n) n t n + a (n) n 1t n a (n) 1 t + a (n) 0 (b) Für die führenden Koeffizienten gilt a (n) n = 2 n 1 für n 1

20 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 19 (c) T n ist beschränkt durch 1: max T n(t) = 1 t [ 1,1] (d) T n hat die n paarweise verschiedenen Nullstellen t (n) k ( ) 2k 1 = cos 2n π, k = 1,, n Beweis: Zu (a), (b): Für n = 0 und n = 1 wurden die Aussagen im Hilfssatz [126] gezeigt Der Beweis für n > 1 folgt durch vollständige Induktion aus der Drei-Term- Rekursion Zu (c): Die Funktionswerte von T n sind Werte der Kosinus-Funktion und daher durch 1 beschränkt An den Stellen cos(kπ/n) nimmt T n den Wert 1 an Zu (d): ( ) (n) T n t k = cos (n ) (( (2k 1)π = cos k 1 ) ) π = 0 2n 2 [128] Bemerkung: Mit Hilfe des Hilfssatzes [126] können die Tschebyscheff-Polynome leicht berechnet werden Es ist T 0 (t) = 1 T 1 (t) = t T 2 (t) = 2t 2 1 T 3 (t) = 4t 3 3t T 4 (t) = 8t 4 8t Werden die Nullstellen t (n) k des n-ten Tschebyscheff-Polynoms als Knoten zur Interpolation gewählt, so können die Interpolationsfehler nicht groß werden; aus dem Satz [127] folgt nämlich

21 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 20 [129] Folgerung: t (n) k seien die Nullstellen von T n aus Satz [127](d) Dann gilt für n ω(t) = (t t (n) k ) k=1 die Abschätzung ω(t) 1 2 n 1 Dass Tschebyscheff-Knoten optimal sind, ergibt sich aus dem folgenden Resultat [130] Satz: Jedes Polynom P P n mit führendem Koeffizienten a n 0 nimmt im Intervall [ 1, 1] einen Wert vom Betrag a n /2 n 1 an Insbesondere sind die Tschebyscheff-Polynome minimal bezüglich der Maximumnorm f = max t [ 1,1] f(t) unter den Polynomen in P n mit führendem Koeffizienten 2 n 1 Beweis: P P n sei ein Polynom mit führendem Koeffizienten a = 2 n 1 Annahme: P (t) < 1 für alle t [ 1, 1] Es ist T n P P n 1 ; weiterhin gilt für x k = cos(kπ/n) Hieraus folgt T n ( x 2k ) = 1, P ( x 2k ) < 1, T n ( x 2k+1 ) = 1, P ( x 2k+1 ) > 1 P ( x 2k ) T n ( x 2k ) < 0 und P ( x 2k+1 ) T n ( x 2k+1 ) > 0 Daher ist T n P an n + 1 Tschebyscheff-Knoten abwechselnd positiv und negativ und hat damit mindestens n Nullstellen in [ 1, 1] Dies ist aber im Widerspruch zu 0 T n P P n Ist nun P ein beliebiges Polynom in P n, so lässt sich die Aussage des Satzes durch P := (2 n 1 /a n ) P auf den oben ausgeführten Fall zurückführen

22 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/ Spline-Interpolation 21 Polynom-Splines Die Idee der Spline-Interpolation ist es, das Interpolationsproblem nicht durch ein einziges Polynom vom Grad n zu lösen (da wie wir gesehen haben Polynome hohen Grades zu starken Oszillationen neigen können), sondern durch eine möglichst glatte Funktion, welche sich stückweise aus Polynomen niedrigeren Grades zusammensetzt Die Vorgehensweise soll zunächst an einem Beispiel demonstriert werden [21] Beispiel: Gegeben seien die Punktepaare (t i, f i ), i = 0,, 3, mit den Werten (t 0, f 0 ) = (0, 1), (t 1, f 1 ) = (2, 2), (t 2, f 2 ) = (3, 0) und (t 3, f 3 ) = (5, 0) Diese sollen durch eine stetige zusammengesetzte Funktion P k interpoliert werden, welche in jedem Intervall [t i, t i+1 ] ein Polynom p (k) i k-ten Grades ist (a) k = 1: Das Polynom p (1) i 1 Grades durch die Punkte (t i, f i ) und (t i+1, f i+1 ) ist gegeben durch die Gleichung p (1) i (t) f i t t i = f i+1 f i t i+1 t i Hieraus folgt als interpolierende Funktion 05t + 1 für t [0, 2] P 1 (t) = 2t + 6 für t [2, 3] 0 für t [3, 5] Diese Funktion ist stetig, in den Interpolationspunkten aber nicht differenzierbar (b) k = 2: Für das Polynom zweiten Grades in [t i, t i+1 ] machen wir den Ansatz Einsetzen der Interpolationsbedingungen p (2) i (t) = a i t 2 + b i t + c i p (2) i (t i ) = f i, p (2) i (t i+1 ) = f i+1 führt auf die 6 linearen Gleichungen für die 9 unbekannten Koeffizienten a i, b i und c i : c 0 = 1, 4a 0 + 2b 0 + c 0 = 2, (21) 4a 1 + 2b 1 + c 1 = 2, 9a 1 + 3b 1 + c 1 = 0, (22) 9a 2 + 3b 2 + c 2 = 0, 25a 2 + 5b 2 + c 2 = 0 (23)

23 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 22 Für eine eindeutige Lösung benötigen wir 3 weitere Bedingungen Hiervon verwenden wir zwei Bedingungen, um zu erreichen, dass die Funktion an den Interpolationspunkten stetig differenzierbar ist Dies wird erreicht durch die Bedingungen also durch dp (2) i dt (t i+1) = dp(2) i+1 (t i+1 ) für i = 1, 0, dt 4a 0 + b 0 = 4a 1 + b 1, 6a 1 + b 1 = 6a 2 + b 2 (24) Das immer noch unterbestimmte Gleichungssystem (46) (49) kann nach einem freien Parameter zb a 0 aufgelöst werden: b 0 = 05 2a 0, c 0 = 1, a 1 = 25 2a 0, b 1 = a 0, c 1 = 9 12a 0, a 2 = a 0, b 2 = 18 8a 0, c 2 = a 0 Beispielsweise erhalten wir für a 0 = 0 die Lösung 05t + 1 für t [0, 2] P 2 (t) = 25t t 9 für t [2, 3] 225t 2 18t für t [3, 5] während die Wahl a 0 = 025 auf die Lösung 025t für t [0, 2] P 2 (t) = 13t t 12 für t [2, 3] 25t 2 20t für t [3, 5] führt [22] Definition: a = t 0 < t 1 < < t n = b sei eine aufsteigende Folge von Knoten Ein Spline vom Grad k ist eine (k 1)-mal stetig differenzierbare Funktion, welche auf jedem der Intervalle [t i, t i+1 ] ein Polynom (höchstens) k-ten Grades ist 22 Kubische Splines In der Praxis spielen kubische Splines P 3 eine wichtige Rolle Zu ihrer Konstruktion wählen wir für die Intervalle [t i, t i+1 ] den Ansatz p (3) i (t) = α i (t t i ) 3 + β i (t t i ) 2 + γ i (t t i ) + δ i, i = 0,, n 1

24 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 23 Die Koeffizienten δ i folgen unmittelbar aus den Interpolationsbedingungen: δ i = f i Beziehungen zwischen den übrigen Koeffizienten erhalten wir aus den Stetigkeitsbedingungen für P 3 (t), P 3(t) und P 3 (t) an den Knotenpunkten t i+1 : I α i h 3 i + β i h 2 i + γ i h i + f i = f i+1 (i = 0,, n 1), II 3α i h 2 i + 2β i h i + γ i = γ i+1 (i = 0,, n 2), (25) III 6α i h i + 2β i = 2β i+1 (i = 0,, n 2), wobei wir zur Abkürzung definiert haben: h i = t i+1 t i Mit Hilfe der Gleichungen I und III lassen sich die Größen α i und γ i durch β i und β i+1 ausdrücken gemäß (i) α i = β i+1 β i 3h i, (ii) γ i = h i 3 (β i+1 + 2β i ) + f i+1 f i h i (i = 0,, n 2) (26) Einsetzen in II führt schließlich auf die n 2 Gleichungen r i β i + 2β i+1 + (1 r i )β i+2 = q i (i = 0,, n 3) (27) für die n Unbekannten β i, wobei zur Abkürzung r i = h i h i+1 + h i, q i = ( 3 fi+2 f i+1 f ) i+1 f i h i + h i+1 h i+1 h i verwendet wurde Beachten Sie, dass auch γ n 1 mit Hilfe der Gleichung II (i = n 2) und der Beziehungen (411) durch die Koeffizienten β i beschrieben werden kann: γ n 1 = h n 2 3 (2β n 1 + β n 2 ) + f n 1 f n 2 h n 2 (28) Durch Einsetzen in I (i = n 1) folgt außerdem α n 1 h 2 n 1 = β n 1 (h n h n 2 ) 1 3 β n 2h n 2 + h n 1 + h n 2 q n 2 (29) 3 Damit können alle Koeffizienten berechnet werden, sobald die β i bestimmt sind Für ein vollständiges Gleichungssystem fehlen zwei weitere Bedingungen, welche häufig

25 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 24 in Form zusätzlicher Randbedingungen ergänzt werden A Natürliche Randbedingungen: Hier wird gefordert, dass die zweiten Ableitungen der Spline-Funktion an den Randpunkten verschwinden Natürliche Randbedingungen: (i) P (a) = 0, (ii) P (b) = 0 Diese Randbedingungen führen auf das folgende diagonal dominante Tridiagonalsystem [23] Satz: Unter natürlichen Randbedingungen ist der Vektor (β 1,, β n 1 ) T Lösung des linearen Gleichungssystems 2 1 r 0 0 r r 1 0 r rn 4 0 rn r n 3 0 r n 2 2 β 1 β n 1 = q 0 q n 2 (210) Beweis: Bis auf die erste und letzte sind die Gleichungen des Systems (415) identisch mit den Gleichungen (412) (i = 1,, n 3) Die natürlichen Randbedingungen sind nach dem Ansatz für die Teilpolynome p (3) i äquivalent zu (i) β 0 = 0, (ii) 3α n 1 h n 1 + β n 1 = 0 (211) Aus (416)(i) und der Gleichung (412) (i = 0) folgt die erste Gleichung des Systems (415) Die letzte Gleichung folgt, wenn α n 1 mit Hilfe der Beziehung (416)(ii) aus Gleichung (414) eliminiert wird B Vollständige Randbedingungen

26 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 25 In diesem Fall werden Werte l a, l b für die Steigungen der Splinefunktion an den Randpunkten vorgegeben Vollständige Randbedingungen: (i) P (a) = l a, (ii) P (b) = l b Zur Aufstellung des Gleichungssystems führen wir zusätzlich zu den Unbekannten β 0,, β n 1 eine weitere unbekannte Hilfsvariable β n := 3α n 1 h n 1 + β n 1 ein Wir erhalten wieder ein diagonal dominantes Tridiagonalsystem [24] Satz: Unter vollständigen Randbedingungen ist der Vektor (β 0,, β n ) T Lösung des linearen Gleichungssystems β 0 r r 0 0 r 1 2 = 1 rn 3 0 rn r n β n 3 h 0 ( f1 f 0 h 0 l a ) q 0 q n 2 3 h n 1 ( fn f n 1 h n 1 l b ) (212) Beweis: Die Gleichungen 2 n 1 entsprechen wieder den Gleichungen (412) (i = 0 n 3) Die vollständigen Randbedingungen sind äquivalent zu den Bedingungen (i) γ 0 = l a, (ii) 3α n 1 h 2 n 1 + 2β n 1 h n 1 + γ n 1 = l b (213) Die Beziehung (418)(i) führt zusammen mit Gleichung (411)(ii) auf die erste Gleichung von (417) Die n-te Gleichung folgt durch Einsetzen der Definition von β n in (414) Die Addition der Gleichungen (413) und (414) führt auf die Beziehung α n 1 h 2 n 1 + γ n 1 + β n 1 h n 1 = f n f n 1 h n 1 (214)

27 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 26 Einsetzen in die Randbedingung (418)(ii) führt (unter Berücksichtigung der Definition von β n ) auf die letzte Gleichung von (417) C Periodische Randbedingungen Ist f 0 = f n, so dienen periodische Randbedingungen zur Konstruktion einer Splinefunktion, welche über das Intervall [a, b] hinaus periodisch fortgesetzt werden kann Periodische Randbedingungen: (i) P (a) = P (b), (ii) P (a) = P (b) Das hierdurch entstehende Gleichungssystem ist nun nicht mehr tridiagonal [25] Satz: Unter periodischen Randbedingungen ist der Vektor (β 0,, β n 1 ) T Lösung des linearen Gleichungssystems 2 1 r 1 0 r 1 β 0 q 1 r r 0 q 0 0 r 1 2 = 1 r n 4 0 rn r n 3 q n 3 1 r n 2 0 r n 2 2 β n 1 q n 2 (215) wobei r 1 = h n 1 h 0 + h n 1 und q 1 = ( 3 f1 f 0 f ) n f n 1 h 0 + h n 1 h 0 h n 1 Beweis: Die Gleichungen 1 n 1 entsprechen den Gleichungen (412) Die periodischen Randbedingungen sind äquivalent zu den Bedingungen an die Koeffizienten, (i) γ 0 = 3α n 1 h 2 n 1 + 2β n 1 h n 1 + γ n 1, (ii) β 0 = 3α n 1 h n 1 + β n 1 (216) Die letzte Gleichung von (420) folgt durch Einsetzen von (414) in die Randbedingung (421)(ii) Die Herleitung der ersten Gleichung von (420) erfolgt durch Einsetzen der

28 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 27 Beziehungen (419) und (421)(ii) sowie der Identitäten (411)(ii) und (413) für γ 0 und γ n 1 in die Randbedingung (421)(i) Übung: Zu den äquidistanten Stützstellen t i = i π/4, i = 0,, 4, sollen kubische Splinefunktionen für die Funktion sin(t) konstruiert werden (i) Stellen Sie die Gleichungssysteme für natürliche und für vollständige Randbedingungen auf und lösen Sie diese numerisch (Welche Algorithmen sind dazu geeignet?) (ii) Die Sinusfunktion lässt sich antiperiodisch über das Intervall [0, π] hinaus fortsetzen (Dh sin(π + t) = sin(t)) Entwickeln Sie geeignete antiperiodische Randbedingungen, stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem auf und lösen Sie dieses Vergleichen Sie das Ergebnis mit denen aus (i) 23 B-Splines Wir versuchen, eine geeignete Basis in Spline-Räumen zu konstruieren 4 Im Folgenden seien die Knoten a = t 0 < < t l+1 = b fest; wir definieren das Gitter := {t 0,, t l+1 } Mit S k, bezeichnen wir den linearen Vektorraum aller Splines vom Grad k 1 bezüglich des Gitters Die Dimension dieses Raums und damit die Anzahl der Freiheitsgrade bei der Konstruktion von Splines gehen aus dem folgenden Ergebnis hervor Vorher definieren wir die abgebrochenen Potenzen vom Grad r durch (t t (t t i ) r i ) r falls t t i + := 0 sonst [26] Satz: Eine Basis von S k, ist gegeben durch die folgende Menge von Monomen und abgebrochenen Potenzen B = {1, t,, t k 1, ((t t 1 ) k 1 +,, (t t l ) k 1 + } Insbesondere ist dim(s k, ) = k + l Beweis: Der Beweis erfolgt in drei Schritten 4 Der folgende Abschnitt wurde weitgehend dem Buch P Deuflhard/A Hohmann, Numerische Mathematik I, de Gruyter, 1993 (Abschnitt 741) entnommen

29 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 28 Schritt 1: B S k, : Nach Definition von S k, ist t r S k, für r k 1 Man prüft leicht nach, dass die abgeschnittenen Potenzen (t t i ) r + stückweise Polynome vom Grad r sind und sie außerdem (r 1)-mal stetig differenzierbar sind (t t i ) r + S k, Damit ist Schritt 2: dim(s k, ) = k + l: Wir zählen die Anzahl der Freiheitsgrade, welche wir bei der Konstruktion einer Splinefunktion s(t) S k, von links nach rechts haben Im Intervall [t 0, t 1 ] kann s 0 (t) P k 1 beliebig gewählt werden, dies entspricht k Freiheitsgraden Die Funktion s 1 (t) P k 1, welche anschließend für das Intervall [t 1, t 2 ] gewählt wird, muss die k 1 Anschlussbedingungen s (r) 1 (t 1 ) = s (r) 0 (t 1 ), r = 0,, k 1, erfüllen; es bleibt also ein weiterer Freiheitsgrad Das gleiche gilt für die nachfolgenden Intervalle Insgesamt gibt es also k + l Freiheitsgrade Schritt 3: Die Elemente von B sind linear unabhängig: Es sei s(t) = k 1 i=0 a i t i + l i=1 c i (t t i ) k Zu zeigen ist a i = c i = 0 Hierzu definieren wir die linearen Funktionale G i [] auf Funktionenräumen durch G i [f] := 1 ( f (k 1) (t + i ) f (k 1) (t i ) ), (k 1)! wobei f (k 1) (t i ) die links- bzw rechtsseitigen Limites sind: f (k 1) (t i ) = lim h 0 f (k 1) (t i + h), f (k 1) (t + i ) = lim h 0 f (k 1) (t i + h) Wegen s() 0 und der Stetigkeit sämtlicher Ableitungen von t j ist G i [s] = G i [t j ] = 0; außerdem gilt für die abgebrochenen Potenzen G i [(t t j ) k 1 + ] = δ ij, da d (k 1) dt (t t j) k 1 (k 1) = (k 1)! t=tj Es folgt 0 = G i [s] = k 1 j=0 a j G i [ t j ] + l j=1 [ ] c j G i (t tj ) k 1 + = ci,, also c i = 0 und damit wegen 0 s(t) = a j t j auch a j = 0 Die Basis B ist numerisch schlecht konditioniert Die Konstruktion einer geeigneteren

30 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 29 Basis führt auf den Begriff der B-Splines [27] Definition: Sei τ 1 τ n eine beliebige Folge von Knoten Dann sind die B-Splines N ik (t) der Ordnung k für k = 1,, n und i = 1,, n k rekursiv definiert durch N i1 (t) := 1 falls τ i t < τ i+1 χ [τi,τ i+1 )(t) = 0 sonst N ik (t) = (217) t τ i N i,k 1 (t) + τ i+k t N i+1,k 1 (t) (218) τ i+k 1 τ i τ i+k τ i+1 Hierbei wird die Konvention 0/0 = 0 verwendet Wir wollen zunächst an einem Beispiel zeigen, wie sich hierdurch eine Basis von S k, konstruiert werden kann [28] Beispiel: Für k = 1, 2, 3, 4 und das Gitter = {0, 1, 2, 3} sollen die B-Splines bestimmt werden Aus Gründen, welche später klar werden, wählen wir die erweiterte Knotenfolge τ 1 = τ 2 = τ 3 = τ 4 = 0, τ 5 = 1, τ 6 = 2, τ 7 = τ 8 = τ 9 = τ 10 = 3 k = 1: Nach (217) ist und nach (218) 1, t [0, 1) N 41 (t) = 0 sonst k = 2: Es ist N i2 (t) = N 11 N 21 N 31 N 71 N 81 N , t [1, 2), N 51 (t) = 0 sonst t τ i N i1 (t) + τ i+2 t N i+1,1 (t) τ i+1 τ i τ i+2 τ i+1 1, t [2, 3), N 61 (t) = 0 sonst Bestätigen Sie: Ist τ i+1 = τ i, so ist auch N i1 0; nach der Konvention der Definition [28] verschwinden die zugehörigen Summanden Es folgt N 12 N 22 N 72 N 82 0 Für die restlichen Funktionen ergibt sich 1 t, t [0, 1) N 32 (t) = 0 sonst, N 42 (t) = t, t [0, 1) 2 t, t [1, 2) 0 sonst,

31 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 30 N 52 (t) = t 1, t [1, 2) 3 t, t [2, 3) 0 sonst t 2, t [2, 3), N 62 (t) = 0 sonst k = 2: Hier ergibt sich N 13 N 73 0 und N 23 (t) = τ 5 t N 32 (t) = τ 5 τ 3 (1 t) 2, t [0, 1) 0 sonst sowie N 33 (t) = N 53 (t) = ( ) 2 t 2 + 2, t [0, 1) 3 3 (2 t) 2 2, t [1, 2) 0 sonst (t 1) 2 ( t 7 3 ( t 3 2, N 43 (t) =, t [1, 2) 2 ) 2 + 2, t [2, 3), N 63(t) = 3, t [0, 1) t 2 2 ) , t [1, 2) (3 t) 2 2, t [2, 3) 0 sonst (t 2) 2, t [2, 3) 0 sonst, k = 4: Die Elemente N i4 sind nichttrivial für i = 1,, 6 und ergeben sich zu 7 (1 t) 3, t [0, 1) 4 t3 9 2 t2 + 3t, t [0, 1) (2 t) N 14 (t) =, N 24 (t) = 3, t [1, 2) 4 0 sonst 0 sonst t t2, t [0, 1) 7 12 N 34 (t) = t3 3t 2 + 9t 3, t [1, 2) 2 2 (3 t) 3, t [2, 3) 6 0 sonst, N 44 (t) = t 3 6, t [0, 1) 7 12 t t2 9t + 3, t [1, 2) t t2 + 63t 45, t [2, 3) sonst,, N 54 (t) = (t 1) 3, 4 t [1, 2) 7 4 t t2 93t + 63, 4 4 t [2, 3) 0 sonst (t 2) 3, t [2, 3), N 64 (t) = 0 sonst Durch Induktion weist man leicht die folgenden Eigenschaften nach [29] Lemma: Für die B-Splines N ik gilt

32 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 31 (a) supp N ik [τ i, τ i+k ] (lokaler Träger) (b) N ik (t) 0 t lr (Nichtnegativität) (c) N ik ist stückweise ein Polynom vom Grad k 1 Wir wollen nun eine geeignete Basis von S k, zum Gitter = {t 0,, t l+1 } konstruieren, wobei a = t 0 < < t l+1 = b Hierbei definieren wir zunächst n = l + k sowie die erweiterte Knotenfolge τ 1 τ n+k durch τ 1 = = τ k = t 0, τ k+r = t r, r = 1,, l, τ n+1 = = τ n+k = t l+1 Ohne Beweis stellen wir fest 5 [210] Lemma: Für die bezüglich der erweiterten Knotenfolge definierten B-Splines gilt N ik S k,, i = 1,, n Wir haben die lineare Unabhängigkeit der N ik, i = 1,, n, zu zeigen Nützlich ist die folgende Marsden-Identität [211] Lemma: Für beliebige t [a, b] und s lr ist n k 1 (t s) k 1 = φ ik (s)n ik (t) mit φ ik (s) = (τ i+j s) i=1 j=1 Beweis durch Induktion: Für k = 1 gilt die Aussage wegen n i=1 N ik (t) = 1 Die Aussage gelte für alle l < k 1 Dann gilt nach der Rekursionsformel für N ik ( n n t τi φ ik (s)n ik (t) = φ ik (s) + τ ) i+k 1 t φ i 1,k (s) N ik (t) i=2 τ i+k 1 τ i τ i+k 1 τ i ( n k 2 t τi = (τ i+j s) (τ i+k 1 s) + τ ) i+k 1 t (τ i s) N i,k 1 (t) i=2 j=1 τ i+k 1 τ i τ i+k 1 τ i }{{} ( ) n = (t s) φ i,k 1 (s)n i,k 1 (t) = (t s)(t s) k 2 = (t s) k 1 i=1 i=2 5 vgl Folgerung 752 in Deuflhard/Hohmann, Numerische Mathematik I

33 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 32 Hierbei ist wie man leicht nachprüft der Ausdruck ( ) das lineare Interpolationspolynom der Abbildung t t s zu den Knoten τ i und τ i+k 1, also gleich t s Hieraus ergibt sich [212] Folgerung: Es sei P k 1 [a, b] der Raum der Polynome auf dem Intervall [a, b] vom Grad k 1 Dann ist P k 1 [a, b] span(n 1k,, N nk ) Außerdem bilden die N ik eine Zerlegung der Eins in dem Sinne, dass n N ik (t) = 1 für alle t [a, b] i=1 Beweis: Definiere f(s) := (t s) k 1 Dann ist für l = 1,, k 1 f (l) (0) = (k 1) (k l)( 1) l t k 1 l = Aus der Marsden-Identität folgt (k 1)! (k l 1)! ( 1)l t k 1 l t k 1 l = ( 1)l (k l 1)! (k 1)! n i=1 φ (l) ik (0)N ik(t) Damit sind alle t m, m = k l 1, Linearkombinationen der N ik, und daher P k 1 [a, b] span(n 1k,, N nk ) Der Beweis der Zerlegung der Eins folgt aus l = k 1 mit φ l (0) = ( 1) l Begründung? Als Beitrag zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der N ik beweisen wir zunächst die lokale lineare Unabhängigkeit [213] Lemma: Es sei (c, d) [a, b] Ist n i=1 c i N ik (t) = 0 für alle t (c, d), so ist c j = 0 für alle j mit (c, d) (τ j, τ j+k ) Beweis: Es sei (c, d) (τ j, τ j+1 ) Es gibt genau die k B-Splines N j,j+k, N j,j+k+1,, N j,j+2k 1, (219)

34 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 33 welche auf (τ j, τ j+1 ) nicht identisch verschwinden Andererseits lassen sich nach Folgerung [211] die k linear unabhängigen Polynome 1, t,, t k 1 auf [c, d] als Linearkombinationen der N ik darstellen Damit sind die k Funktionen aus (219) als Funktionen auf [c, d] linear unabhängig Als zentrales Ergebnis folgt hieraus [214] Satz: Die N ik, i = 1,, l + 1, bilden eine Basis von S k, Damit lässt sich jede Spline-Funktion durch eine Linearkombination der Form l+1 S(t) = d i N ik (t) (220) i=1 beschreiben Da die N ik eine Zerlegung der Eins bilden, lassen sich diese Funktionen abschätzen durch S(t) max i d i Es zeigt sich damit, dass das Interpolationsproblem bezüglich dieser Basis gut konditioniert ist Werden die Koeffizienten d i durch 2- oder 3-dimensionale Vektoren ersetzt, so lassen sich auch ebene oder Raumkurven erzeugen Die d i heißen auch die de Boor- Punkte von S [215] Beispiele: (a) Das Gitter und die N ik seien gegeben wie in Beispiel [28] Gesucht ist der interpolierende kubische Spline zu natürlichen Randbedingungen Die Funktionswerte N j4 (t i ) sind in Tabelle 2, die zweiten Ableitungen in den Endpunkten in Tabelle 3 angegeben Als Gleichungssystem für die de Boor-Punkte d = (d 1,, 6) T folgt f /4 7/12 1/6 0 0 f d = /6 7/12 1/4 0 f f 3

35 Prof Dr H Babovsky, NumMath(Math) II, WS 01/02 34 N 14 (t i ) N 24 (t i ) N 34 (t i ) N 44 (t i ) N 54 (t i ) N 64 (t i ) t i = t i = 1 0 1/4 7/12 1/6 0 0 t i = /6 7/12 1/4 0 t i = Tabelle 2: Knotenwerte N j4 (t i ) zu Beispiel [215](a) N 14(t i ) N 24(t i ) N 34(t i ) N 44(t i ) N 54(t i ) N 64(t i ) t i = t i = Tabelle 3: Zweite Ableitungen N j4(t i ) zu Beispiel [215](a) [216] Übung: Benutzen Sie die Rekursionsformel (218) zur Konstruktion eines Schemas, mit Hilfe dessen einzelne Funktionswerte S(t) aus der Darstellung (220) berechnet werden können Zeigen Sie hierzu zunächst, dass S(t) = n i=r+1 d r i (t)n i,k 1 (t), wobei die d r i rekursiv definiert sind durch d 0 i (t) := d i und d r k(t) := t τ i τ i+k r τ i di r 1 (t) + τ i+k r t τ i +k r τ i d r 1 i 1 (t) falls τ i+k r τ i 0 sonst für r > 0 Zeigen Sie dann, dass S(t) = d k 1 i (t) für t [τ i, τ i+1 )