= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.

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1 Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt wieder eie positive Zahl. Aus eier egative Zahl lasse sich keie Wurzel mit geradem Wurzelexpoete ziehe. Wurzel lasse sich ach bestimmte Regel multipliziere, dividiere, radiziere ud poteziere. Im Folgede werde wir us ahad vo Beispiele mit de Wurzelgesetze vertraut mache. Bezeichuge Das Wurzelziehe (i der Mathematik auch das Radiziere geat) ist die Umkehrug der Potezrechug. We a = x ist, so ergibt wieder die -te Wurzel aus x wieder a. Ma hat sich auf folgede Schreibweise verstädigt: = a : Wurzelexpoet x: Radikad oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der erste Wurzel wird eifach das Wurzelzeiche weggelasse. 1 = x Die zweite Wurzel wird als Quadratwurzel oder eifach ur als die Wurzel bezeichet ud der Wurzelexpoet weggelasse. 2 = Bei alle adere Wurzel muss der Wurzelexpoet higeschriebe werde, um eie eideutige Berechug zu ermögliche. Wurzel mit geradem Wurzelexpoete Poteze mit eier gerade Hochzahl (Expoet) sid immer auch positive Zahle. Aus diesem Grud lasse sich bei gerade Wurzelexpoete die -te Wurzel ur aus positive Zahle (x 0) ziehe. Das Ergebis ist da wieder eie positive Zahl. 1-6

2 Beispiel 1: 16 2 = 16 Es ist aber auch ( 2) = 16. Nach der Defiitio der Wurzel wurde festgelegt, dass bei eiem positive Radikat x das Ergebis der -te Wurzel aus x eie ichtegative Zahl sei muss. Wurzel mit ugeradem Wurzelexpoete Bei eiem ugerade Wurzelexpoete ka ma die -te Wurzel sowohl aus eier positive als auch aus eier egative Zahl ziehe. Im Fall eies positive Radikade ist das Ergebis wieder eie positive Zahl. Im Fall eies egative Radikade ist das Ergebis eie egative Zahl. Beispiel 2: 8 8 = 2 I diesem Beispiel hadelt es sich um Kubikwurzel, weil der Wurzelexpoet = ist. Quadratwurzel We der Wurzelexpoet =2 ist, so spricht ma vo sogeate Quadratwurzel. Dabei wird i der Schreibweise die zwei im Allgemeie weggelasse. Als Sprechweise hat sich für die Quadratwurzel auch der eifachere Begriff "Wurzel" eigebürgert. 2 = Aus Quadratzahle lasse sich sehr eifach die Wurzel ziehe. Als der Ergebis dieser Rechug erhalte wir eie atürliche Zahl. We wir aber die Wurzel aus eier icht quadratische Zahl ziehe, so erhalte wir als Ergebis dieser Rechug eie irratioale Zahl, die icht als Bruch geschriebe werde ka. Sollte die Wurzel keie Quadratzahl sei, so sollte die Wurzel icht ausgerechet werde. Auch ka sie im Ergebis stehe bleibe. 2-6

3 Umrechug vo Wurzel i Poteze Für das Umreche vo Wurzel i Poteze oder umgekehrt gelte folgede Regel: m = x 1 a = x m Beispiel : = = 2 = 9 = 5 = (2 5 ) 5 = 2 15 Additio/Subtraktio vo Wurzel 15 5 = 8 Die Additio vo Wurzel ist zwar grudsätzlich möglich, damit aber diese Recheoperatio durchgeführt werde ka, müsse der Radikad ud der Wurzelexpoet übereistimme. Ist dies icht der Fall, so ka die Additio icht durchgeführt werde. u ± v Beispiel : 6 2 = (u ± v) = (6 2) Multipliziere vo Wurzel = Die Wurzel habe alle de gleiche Radikade, aber uterschiedliche Wurzelexpoete. Es muss folgede Regel agewedet werde: m m = m+ Dies erfolgt aus folgeder Herleitug: a 1 a 1 m = a 1 m +1 = a m+ m = Beispiel 5: = 6 2+ m m+ 6 = 6 5 Die Wurzel habe de gleiche Wurzelexpoete, aber uterschiedliche Radikade. Ma ka die Radikade multipliziere ud aus dem Produkt die Wurzel ziehe: y = y Aalog gilt wie obe die folgede Herleitug: x 1 y 1 = (x y) 1 = y -6

4 Beispiel 6: 5 25 = 125 = 5 Umgekehrt ka ma auch die Wurzel ziehe, idem die Radikade i eizele Faktore zerlegt ud aus de eizele Faktore die Wurzel zieht. y = Beispiel 7: 81 = 27 y = 27 = Da die dritte Wurzel aus eie irratioale Zahl ergibt, lässt ma die uter der Wurzel stehe ud rechet sie auf keie Fall aus. (Teilweises radiziere) Dividiere vo Wurzel Die Wurzel habe de gleiche Radikade, aber uterschiedliche Wurzelexpoete. Es muss folgede Regel agewedet werde: m m = m Bei Poteze mit gleicher Grudzahl gilt atürlich aalog das gleiche: x 1 m x 1 = x 1 m 1 = x m m = Beispiel 8: 81 8 = = m m = Die Wurzel habe de gleiche Wurzelexpoete, aber uterschiedliche Radikade. Da köe die Radikade dividiert werde ud aus dem Ergebis die Wurzel gezoge werde. y = x y Das gleiche gilt für Poteze mit uterschiedlicher Basis: x 1 m y 1 m = ( x 1 y ) m m = x y -6

5 Beispiel 9: 8 = = 1 2 Umgekehrt ka die Wurzel aus eiem Bruch ziehe, im dem ma sie eizel aus Zähler ud Neer zieht = Soderfall beim Dividiere We der Radikad im Zähler gleich 1 ist, ergibt sich atürlich auch für seie Wurzelwert gleich1 ud damit vereifacht sich der Bruch folgedermaße: m 1 x = 1 Beispiel 10: = 1 = Radiziere eier Wurzel Ma ka die Wurzel aus eiem Wurzelterm ziehe, idem ma die Wurzelexpoete multipliziert. Das Produkt ergibt de Wurzelexpoete des Radikade zu x: m m = Das gleiche gilt atürlich auch hier für die Poteze: 1 (xm) 1 1 = x Beispiel 11: m = m 15 =

6 Poteziere eier Wurzel Ei Wurzelterm wird poteziert, idem der Radikad poteziert wird. Es wird also die Wurzel aus der Potez des Radikade gezoge: ( ) m = m Das gleiche gilt atürlich auch hier für die Poteze: (a) 1 m = a m = a m Beispiel 12: ( 27) 2 = 27 2 = 729 = 9 Kürze vo Wurzel Expoete ud Wurzelexpoete lasse sich gegeeiader kürze. r r m = m Beispiel 1: 2 6 = 2 6-6