Elektrostatik. Arbeit und potenzielle Energie

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1 Elektostatik. Ladungen Phänomenologie. Eigenschaften von Ladungen 3. Käfte zwischen Ladungen, quantitativ 4. Elektisches Feld 5. De Satz von Gauß 6. Potenzial und Potenzialdiffeenz i. Abeit im elektischen Feld ii. Potenzial iii. Potenzialdiffeenz iv. Gadient und Poissongleichung 7. Feldbeechnungen an ausgewählten Ladungsveteilungen Abeit und potenzielle Enegie Betachtung de Enegie bzw. Abeit Wiedeholung Abeit W = Kaft mal Weg W = F s bei Schwekaft W = mgh Coulombkaft otsabhängig F() Duch Abeit wid die potenzielle Enegie geändet Abeit zum Veschieben δw nu fü kleine (diffeenzielles) Stück δ einfach beechenba δw = F() δ δw = q E() δ

2 Weg Abeit im elektischen Feld Wie goß ist die Abeit um eine Ladung in einem elektischen Feld von nach zu veschieben? d Weg E() q Gesamte Abeit duch Aufsummieen de Anteile in den Teilstücken beechenba Fü unendlich kleine Teilstücke geht Summation in Integation übe (exakte Beechnung) q W v = F( ) d $ v = q E d ( ) Abeit im Coulombfeld Q Abeit W um Ladung q im Zentalfeld von Q von nach zu veschieben: q W v = F qq = 4πε ( ) d = q E( ) v d d qq = 4πε Entfenung gleichnamige Ladungen > : W > Enegie gewonnen Annäheung gleichnamige Ladungen < : W < Enegie muss aufgewendet weden

3 Wiedeholung: Konsevative Kaftfelde Beispiel: schiefe Ebene ohne Reibung (konstante Kaft) s F Wenn die veichtete Abeit unabhängig vom Velauf des Weges zwischen zwei beliebigen Punkten und ist, nennt man das Kaftfeld konsevativ. Ein Kaftfeld ist konsevativ, wenn die veichtete Abeit entlang jede geschlossenen Kuve gleich Null ist. F ds = ( Linienintegal) Elektostatisches Feld In einem elektostatischen Feld (alle Ladungen in Ruhe) gilt: = Fds q Eds = Elektostatisches Kaftfeld = konsevatives Kaftfeld In konsevativen Felden gilt: W = q Eds = U ( ) U( ) Abeit ist wegunabhängig Abeit ist die Diffeenz de potenziellen Enegie am Ende minus am Anfang 3

4 Das Potenzial Abeit in einem konsevativen Kaftfeld ( z. B. elektostatischen Feld) hängt nu von de potenziellen Enegie de beiden Endpunkten ab = Diffeenz zweie Zahlen Bezugspunkt (fei wählba) im Raum P Das kenne ich: Abeit um Ladung Q von P nach A und von P nach B zu veschieben B A W(P B)=U B W(P A)=U A Bezugspunkt P Wie goß ist die Abeit um eine Ladung von A nach B zu veschieben? Wegunabhängigkeit: Gehe von A übe P nach B: W(A B)= -W(P A)+ W(P B)=U B -U A Wenn ich die skalae Göße U fü jeden Raumpunkt kenne (Skalafeld), dann kann ich die Abeit zwischen allen Punkten ganz einfach beechnen Elektisches Potenzial Wähle Bezugspunkt im Unendlichen Wie viel Abeit muss ich aufwenden um eine Ladung vom Unendlichen zu einem Punkt zu bingen? potenzielleenegie elektischespotenzial = Ladung W( ) ϕ() = = q W( ) = E() δ q E() δ Fage: Kann ich ein Göße definieen, die mi ladungsunabhänig den Zustand in einem Punkt bescheibt? Ja das elektische Potenzial Potenzial fü Refeenzpunkt fei wählba: ϕ( ) := Einheit des Potenzials [ϕ]=[w]/[q]= J/C Joule/Coulomb bzw. Nm/As Neue Einheit Nm/As = V Volt 4

5 Potenzial von Punktladung Q Abeit um eine Ladung q im Zentalfeld von Q von nach zu veschieben W( ) = q E() d q qq = πε ϕ ( ) = = d qq = 4π 4 ε W q Q 4π ε Potenzial mehee Ladungen: es gilt das Supepositionspinzip ϕ = n ϕ = i i = 4 πε n i = Qi Potenzialdiffeenz Potenzialdiffeenz U zwischen zwei beliebigen Punkten und in einem elektischen Feld U = ϕ() - ϕ() elektische Spannung Ladung q, die eine Potenzialdiffeenz U duchläuft W pot = - q U Enegieehaltung W kin = - W pot = q U Einheit de Spannung [U] = V Volt Enegieeinheit im atomaen Beeich ev Elektonenvolt, Enegie die Elekton gewinnt, wenn es U = V duchläuft 5

6 Elektisches Potenzial Das elektische Potenzial gibt an, welche potenzielle Enegie eine Pobeladung in einem Punkt hat, nachdem sie in einem vogegebenen elektischen Feld vom Unendlichen zu einem Punkt gebacht wude. Die Potenzialdiffeenz ist ein Maß fü die Abeit die aufgewendet weden muss, um eine Ladung in einem elektischen Feld von einem Punkt zum andeen zu bingen Potenzialgleichung Jedem Raumpunkt ist ein Potenzial zugeodnet: Skalafeld ϕ(x,z) Aus Umkehung de Beechnung de potenziellen Enegie folgt Elektische Feldstäke = minus Gadient des Potenzials E = gad, Gadient in katesischen Koodinaten: x gad y z ( ϕ( x, y z) ) ϕ( x, z) = ϕ( x, z) = ϕ( x, z) = ϕ( x, z) ϕ( x x, z) ( ) y ϕ x, z Elektostatisches Feld in Punkt P(x,z) bescheibba duch eine Zahl, dem skalaen Potenzial ϕ(x,z), ode dem Vekto E(x,z) z 6

7 dive Poisson Gleichung ρ = ε ( gad( ϕ )) = ϕ = ϕ bzw. ϕ( x, z) ϕ( x, z) ϕ( x, z) ϕ = + + div x Einsetzen fü Feldstäke E = -gad(ϕ) y z Laplace Opeato ϕ = ϕ = ρ ε Poisson Gleichung Poisson Gleichung fü ladungsfeien Raum: Laplace Gleichung Wenn die Ladungsveteilung bekannt ist, kann man das Potenzial und die Feldstäke (zumindest numeisch) beechnen Integationskonstanten duch Randbedingungen gegeben Wozu das Potenzial? Käfte auf Ladungen sind im Pinzip duch E gegeben E lässt sich abe seh leicht aus ϕ heleiten (Ableiten) Fü Feldbeechnungen von Ladungsveteilungen einfache ϕ zu beechnen, da ein Skala (nu eine Komponente) im Vegleich zu E (dei Komponenten). Fü ϕ muss Integal in Fom / gelöst weden, wähend fü E in de Fom x *(x + y + z ) -3/ Lösungen beechnet weden müssen 7

8 Äquipotenzialflächen Flächen (Linien) auf denen das Potenzial ϕ() konstant ist heißen Äquipotenzialflächen (-linien) E ( ) E = gad ϕ ( ) Gadient: Richtung des maximalen Anstiegs des Potenzials Elektisches Feld imme nomal auf Äquipotenzialfläche Abe wegen - Richtung de maximalen Abnahme des Potenzials Äqui potential flächen Anschaulich: Aquipotenziallinien entspechen Höhenlinien Höhenlinien: Punkte gleiche Höhe, gleiche potenzielle Enegie Abeit fü Veschiebung von A nach B längs Äquipotenziallinie (fläche) B W = Fds = A B W = q A W = q Eds = weil E Äquipotenziallinie E ds & ( ϕ ( A) ϕ( B) ) = weil ϕ( A) = ϕ( B) Um eine Ladung auf eine Äquipotenzialfläche zu veschieben, muss keine Abeit veichtet weden 8

9 Feld- und Äquipotenziallinien Äquipotenziallinien Feldlinien Punktladung Zwei geladene Platten Elektisches Potenzial Das elektostatische Kaftfeld ist ein konsevatives Kaftfeld, d.h. die Abeit ist wegunabhängig Das elektische Potenzial gibt an, welche potenzielle Enegie (nomiet auf Ladung) eine Pobeladung in einem Punkt hat, nachdem sie in einem vogegebenen elektischen Feld vom Unendlichen zu einem Punkt gebacht wude. Die Potenzialdiffeenz ist ein Maß fü die Abeit die aufgewendet weden muss, um eine Ladung in einem elektischen Feld von einem Punkt zum andeen zu bingen Aus dem skalaen Potenzialfeld kann duch Gadientenbildung das Feld bestimmt weden. Das Potenzial eine vogegebenen Ladungsveteilung kann mit Hilfe de Poisson-gleichung beechnet weden Punkte mit gleichem Potenzial liegen auf Äquipotenzialflächen, und Feldlinien stehen imme nomal dazu. Fü eine Bewegung auf eine Äquipotenzialfläche muss keine Abeit aufgewendet weden. 9