Fraktale Geometrie. 9: Metrische äußere Maße II. Universität Regensburg Sommersemester Daniel Heiß:

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1 Universität Regensburg Sommersemester 013 Daniel Heiß: 9: Metrische äußere Maße II

2 I Das mehrdimensionale Lebesguemaß 1.1 Definition (i) Für reelle Zahlen a b, c d ist ein Rechteck im R die Menge R = a, b) c, d) R Allgemeiner heißt die Menge a 1, b 1 )... a n, b n ) R n für a i b i (1 i n) ein n-dimensionaler Würfel. Es bezeichne R n die Menge aller n-dimensionalen Würfel. (ii) Die Funktion c n : R n R, n a 1, b 1 )... a n, b n ) (b i a i ) i=1 bildet jeden Würfel auf sein Volumen ab. Im Fall n = heißt das Volumen des -dimensinalen Würfels auch Fläche. (iii) Das äußere n-dimensionale Lebesgue-Maß ist dasjenige äußere Maß L n auf R n, welches durch Methode I bzgl. der Menge R n und der Funktion c n entsteht. 1. Definition Sei X eine Menge und M ein äußeres Maß auf X. Dann heißt eine Menge A X (Caratheodory-)messbar, wenn gilt: M(E) = M(E A) + M(E \ A) E P(X). 1.3 Wiederholung In der Situation von 1. bildet die Menge S der messbaren Mengen eine σ-algebra. Die Einschränkung von M auf S heißt dann ein Maß M auf X. 1.4 Bemerkung Eine Menge A R n mit L n (A) < heißt (Lebesgue-)messbar, wenn gilt: Ln (A) = L n (A). Man kann zeigen, dass dies äquivalent zur Definition 1. ist. Analysis III oder Wheeden & Zygmund: Measure and Integral, Thm Daniel Heiß Seite 1

3 II Metrische äußere Maße.1 Definition Ein äußeres Maß wenn gilt: M auf einem metrischen Raum X heißt metrisches äußeres Maß, M(A B) = M(A) + M(B) A, B X mit dist(a, B) > 0.. Lemma Sei M ein metrisches äußeres Maß auf einen metrischen Raum X und (Ai ) Teilmengen von X so dass A 1 A... A := A i. Weiter gelte dist(a j, A \ A j+1 ) > 0 j. Dann gilt: M(A) = lim j M(Aj ). Offenbar gilt M(A) M(Aj ) j, also auch M(A) lim M(Aj ). mache ich j nicht, nur Skizze Für die umgekehrte Implikation nehme Œ an, dass lim M(Aj ) < ( ). j Setze B 1 := A 1 und B j = A j \ A j 1 für alle j. Ist nun i j +, so gelten B j A j und B i A \ A i 1 A \ A j+1, also: dist(b i, B j ) > 0. Das heißt es gelten (da M ein metrisches äußeres Maß): ( m ) m M B k 1 = ( m ) M B k = m M(B k 1 ) M(B k ). Außerdem sind für m beide Reihen wegen ( ) konvergent. Nun folgt Da M(A) = M A j = j N M(A j ) + M(B k ) < gilt lim M A j M(B k ) lim i j B k M(Ai ) + M(B k ) = 0. Also liefert ( ) im Grenzwert j die Behauptung M(B k ) ( ) M(A) lim i M(Ai ). Daniel Heiß Seite

4 .3 Satz Bezüglich eines metrischen äußeren Maßes Borelmenge A B(X) messbar. M auf einem metrischen Raum X ist jede Da sowohl die bzgl. M messbaren Mengen, als auch die Borelmengen B eine σ-algebra sind, reicht es zu zeigen, dass alle abgeschlossenen Mengen F X messbar sind. Sei dazu A P(X) beliebig und zeige M(A) M(A F ) + M(A \ F ). Setze A j := x A dist(x, F ) 1 j. Dann gilt dist(a j, F A) 1 j, also ( ) M(A F ) + M(Aj ) = M((A F ) A j ) M(A). Ins- Nun ist F abgeschlossen, also enthält F alle Punkte x mit dist(x, F ) = 0. besondere gilt A \ F = A j. ( ) j N Sei nun x (A \ (F A j+1 )), dann gibt es ein z F mit ρ(x, z) < 1 j+1. Ist weiter y A j so folgt: ρ(x, y) ρ(y, z) ρ(x, z) > 1 j 1 j + 1. Also nach Definition vom Abstand zweier Mengen: 0 < 1 j 1 j + 1 dist(a \ (F A j+1), A j ) = dist((a \ F ) \ A j+1, A j ). Zusammen mit A 1 A... und ( ) wenden wir Lemma. an und erhalten: M(A \ F ) = lim j M(Aj ). Das liefert eingesetzt in ( ) die Behauptung..4 Satz Das -dimensionale äußere Lebesguemaß ist ein metrisches äußeres Maß. Seien A, B R mit dist(a, B) > 0. Es ist klar, dass L (A B) L (A) + L (B) gilt. Zeige also die umgekehrte Ungleichung. Zunächst stelle fest, dass sich jedes Rechteck R = a, b) c, d) schreiben lässt als disjunkte Vereinigung R = R 1 R R3 R4 mit: Daniel Heiß Seite 3

5 R 1 = a, a + b ) R = a, a + b ) c, c + d ) ) c + d, d ) a + b R 3 =, b ) a + b R 4 =, b c, c + d ) ) c + d, d Es gilt dabei offenbar 4 c (R) = c (R i ) i=1 Sei nun D eine Überdeckung von A B mit Elementen aus R. Nach obiger Vorbemerkung kann Œ diam(r) < dist(a, B) für alle R D angenommen werden. Das heißt jedes R D liegt entweder in A oder B. Es ist also D = A B wobei A eine Überdeckung von A und B eine Überdeckung von B ist. Also c (R) = c (R) + c (R) L (A) + L (B). R D R A R B.5 Beispiel Es sei A := a, b) R a, b R, a < b und Weiter bezeichne c: A R 0, a, b) b a. M das Methode-I-Maß bzgl. dieses Systems. Dann ist das Intervall A := 0, 1] R nicht messbar. Offensichtlich überdeckt das Intervall 0, 1) A die Menge 0, 1) R. Das heißt M(0, 1)) c(0, 1)) = 1 = 1. Sei nun 0, 1) a i, b i ) eine beliebige Überdeckung mit Mengen aus A. Damit gilt nach der Theorie über das Lebesguemaß des letzten Vortrags: (b i a i ) = Also gilt die Abschätzung ( ) L(a i, b i )) L a i, b i ) L(0, 1)) = 1 ( ) bi a i ( ) bi a i = b i a i 1 = bi a i 1. ( ) Da die Überdeckung beliebig gewählt war, folgt: M(0, 1)) = 1. M(0, 1)) 1 und damit Daniel Heiß Seite 4

6 Analog berechnet man M( 1, 0)) = 1 und schließlich gilt wieder wegen E := 1, 1) 1, 1), dass M(E) c( 1, 1)) =. Es folgt also die Behauptung, denn: M(E A) + M(E \ A) = M(0, 1)) + M( 1, 0)) = = > = M(E). III Das Methode-II-Maß 3.1 Konstruktion Sei X ein metrischer Raum und A eine Familie von Teilmengen sodass Weiter sei ε > 0 x X A A : x A und diam(a) ε. c: A 0, 1] eine Funktion und für alle ε > 0 bezeichne A ε := A A diam(a) ε. Nun bezeichne für jedes ε > 0 mit Mε das äußere Methode-I-Maß bzgl. A ε und c. Für eine beliebige Menge E X gilt nun: M ε1 (E) M ε (E) ε 1 ε. Dann heißt M(E) := lim ε 0 Mε (E) = sup ε>0 M ε (E). das äußere Methode-II-Maß bzgl. A und c und wie üblich bezeichnet die Einschränkung von M auf die messbaren Funktionen das Methode-II-Maß M. 3. Satz Das in 3.1 konstruierte äußere Maß auf X ist ein metrisches äußeres Maß. Insbesondere sind alle Borelmengen E B(X) messbar. Analog zu.4. Daniel Heiß Seite 5

7 IV Maße auf Strings 4.1 Definition Für ein Alphabeth E := 0, 1 betrachten wir den metrischen Raum (E (ω), ρ 1/ ). Setze A := α] α E ( ) und c: A R 0, α] α. Dann bezeichnet M1/ das äußere Methode-I-Maß auf E (ω) bzgl. A und c. 4. Lemma In der Situation von 4.1 ist M1/ ein metrisches äußeres Maß und erfüllt M1/ (α]) = c(α]). Setze A ε := und c. D A diam(d) ε und sei Nε das Methode-I-Maß bzgl. A ε Für eine Menge D A ε gilt c(d) M 1/ (D) = N ε (D) M 1/ (D). Also gilt für das Methode-II-Maß N := lim Nε die Ungleichung: ε 0 Werde während des en die Schritte näher begründen N (A) M 1/ (A) A. Nun gilt für ein α E ( ) mit α =: k: c(α]) = k = k 1 + k 1 = c(α0]) + c(α1]). Das heißt für jedes ε > 0 können wir ein beliebiges D A disjunkt zerlegen zu D = D 1 D... Dn mit D i A ε und es gilt (vgl..4): c(d) = c(d i ). i Also folgt Nε (D) c(d), das heißt nach Methode-I-Theorem: Nε (A) M 1/ (A). Das heißt: N (A) M1/ (A) A = M 1/ = N. 4.3 Satz Es sei E ein Alphabeth mit mindestens Buchstaben. Weiter sei ω α für alle α E ( ) eine nicht-negative Zahl so dass ω α = ω αe α E ( ). e E Setze c(α]) := ω α und M das äußere Methode-I-Maß bzgl. c. Dann ist M ein äußeres metrisches Maß mit M(α]) = ωα. Zeitnot. Werde Ähnlich zum von 4.. mündlich skizzieren. Daniel Heiß Seite 6