WS 2009/10. Diskrete Strukturen

Transkript

1 WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel IV Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings 2

3 Kapitel IV Graphentheorie Eigenschaften von Graphen Euler-Touren Hamilton-Kreise Planare Graphen Knotenfärbungen 3

4 Das Königsberger Brückenproblem (Leonhard Euler ( )) Können wir so durch die Stadt laufen, dass wir jede Brücke genau einmal überqueren, und wir wieder an den Ausgangspunkt zurückkehren? A B D 4 C Äquivalenter Multigraph

5 Eulersche Touren Definition Eine Euler-Tour in einem Graphen G = (V,E) ist ein Weg, der jede Kante e E genau einmal enthält und dessen Anfangs- und Endknoten identisch sind. Ein Graph, der eine Euler-Tour hat, heisst eulersch. 5

6 Der Satz von Euler Satz: Ein zusammenhängender Graph besitzt genau dann eine Euler-Tour, wenn alle Knoten des Graphen geraden Grad haben. Beweis: ()): Man geht in jeden Knoten genauso oft hinein wie man aus ihm hinausgeht. 6

7 ((): Annahme: zusammenhängender Graph G=(V,E), alle Knoten haben geraden Grad. Beweis durch Induktion über E. Basis: E =0. Dann V ={v} und die Sequenz (v) ist eine Euler-Tour. Schritt: E > 0. Ausgehend von einen beliebigen Knoten v, wähle einen maximalen Weg W von Kanten, der jede Kante höchstens einmal besucht. W endet wieder in v (sonst gibt es immer eine unbesuchte Kante, mit der der Weg verlängert werden kann). 7

8 ((): Entferne von G alle Kanten von W. Die Knoten des entstehenden Graphen G haben immer noch geraden Grad (man geht in jeden Knoten genauso oft hinein wie man aus ihm hinausgeht). Aus der Induktionsannahme folgt: jede zusammenhängende Komponente von G hat eine Euler- Tour. Wir bilden eine Euler-Tour von G wie folgt: wenn W zum ersten Mal eine Komponente besucht, dann fügen wir W eine Euler-Tour der Komponente hinzu. 8

9 Beispiel: f a b e d W = (a,b,e,f,a) Komponenten von G : G 1=({a},;), G 2=({b,c,d,e,f},E 2 ) Euler-Tour von G 1 und G 2: (a) und (b,c,d,e,c,f,b) Euler-Tour von G = (a,b,c,d,e,c,f,b,e,f,a); c 9

10 Hamiltonkreise Definition: Ein Hamiltonkreis in einem Graphen ist ein Kreis, der alle Knoten genau einmal enthält. Ein Graph heißt hamiltonsch, wenn er einen Hamiltonkreis enthält. 10

11 Hamiltonkreise und Hamiltonwege 11

12 Hamiltonsch vs. eulersch hamiltonsch hamiltonsch eulersch hamiltonsch eulersch eulersch hamiltonsch eulersch 12

13 Hamiltonkreis in einem Dodekaeder 13

14 Hamiltonkreise Das Problem des Rösselsprunges auf dem Schachbrett: Hierbei handelt es sich um das Problem, mit einem Springer alle Felder eines Schachbretts genau einmal zu erreichen und wieder zum Ausgangsfeld zurückzukehren. 14

15 Hamiltonkreise Das Problem des Rösselsprunges auf dem Schachbrett: Der Rösselsprunggraph R(8) wird wie folgt definiert: Jedem der 8 8 = 64 Felder lässt man eine Ecke von R(8) entsprechen und verbindet zwei Ecken durch eine Kante genau dann, wenn zwischen den entsprechenden Feldern ein Springerzug möglich ist. Das Rösselsprungproblem zu lösen ist äquivalent dazu, in R(8) einen Hamiltonkreis zu 15 finden.

16 Hamiltonkreise Das Problem des Rösselsprunges auf dem Schachbrett eine von Euler gefundene Lösung. 16

17 Hamiltonkreise Die Aufgabe, einen Hamiltonkreis zu finden, ist wesentlich schwerer als eine Euler-Tour zu finden; es ist ein NP-vollständiges Problem. Das systematisches Ausprobieren aller Möglichkeiten ist für eine große Anzahl von Knoten nicht möglich, da es O(n!) Möglichkeiten gibt. 17

18 Einschub: NP-vollständige Probleme 18 NP-vollständige Probleme sind eine Klasse von Entscheidungsproblemen. Definition im 4. Semester, hier nur einige Informationen. Die worst-case Laufzeit eines Algorithmus A ist die Funktion f: N! N mit f(n)= maximale Laufzeit von A für Eingaben der Länge n A hat polynomieller Laufzeit (oder ist polynomiell) wenn es eine Zahl k gibt, so dass f(n) 2 O(n k ).

19 NP-vollständige Probleme 19 Für NP-vollständige Probleme sind keine polynomielle Algorithmen bekannt. Wenn es einen polynomiellen Algorithmus für ein NPvollständiges Problem gibt, dann gibt es polynomielle Algorithmen für alle NP-vollständige Probleme. Mehrere tausend Probleme aus allen Bereichen der Informatik sind als NP-vollständige Probleme identifiziert worden. Wir kennen schon zwei: das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik und das Problem des hamiltonschen Kreises.

20 Hamiltonsche Graphen Wir geben einige notwendige oder hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Hamiltonkreises an. 20

21 Hamiltonsche Graphen Satz: Löscht man in einem Graphen G n Knoten, sowie alle Kanten, die zu diesen Knoten inzident sind, und erhält auf diese Weise mindestens n+1 zusammenhangslose zusammenhängende Teilgraphen, so war der ursprüngliche Graph G nicht hamiltonsch. 21

22 Hamiltonsche Graphen Beispiel: f b b b d d d e c e c e 22

23 Hamiltonsche Graphen Satz (Kriterium von Dirac): Sei G ein zusammenhängender einfacher Graph mit n Knoten (n 3). Wenn in dem Graphen jeder Knoten mindestens den Grad n/2 hat, so hat G einen Hamiltonkreis. f b f b e c 23 e c c

24 Hamiltonsche Graphen Satz (Krierium von Ore): Sei G ein zusammenhängender einfacher Graph mit n Knoten. Wenn die Summe der Grade zweier nicht-adjazenter Knoten mindestens n ist, so enthält G einen Hamiltonkreis. f b e c 24 c

25 Planare Graphen planar K3 K2,3 nicht planar 25 K5 K3,3

26 Planare Graphen nicht planar 26 K5 K3,3 Da K 5 und K 3,3 nicht planaren Graphen sind, ist jeder Graph, der sie als Teilgraphen hat oder dadurch ensteht, dass Kanten des K 5 oder K 3,3 durch Pfade ersetzt werden, auch wieder nicht planar.

27 Planare Graphen Satz (Kuratowski): Ein Graph G ist genau dann planar, wenn er weder eine Unterteilung des K 5 noch des K 3,3 als Teilgraphen enthält. Unterteilung: Eine Ersetzung von Kanten durch beliebige Pfade. 27

28 Planare Graphen 28 Satz (Eulersche Polyederformel): Sei G = (V,E) ein zusammenhängender ebener Graph. Dann gilt: R := #Gebiete = E - V + 2. Die Gebiete sind die zusammenhängenden Teile der Ebene, die durch das Zerschneiden der Ebene entlang der Kanten entstehen. Das äussere Gebiet zählt man mit.

29 Planare Graphen Aus der Eulerschen Polyederformel folgt, dass in jeder planaren Darstellung eines Graphen die Anzahl der Gebiete gleich bleibt. 29

30 Planare Graphen 30 Beweis (Eulersche Polyederformel): Da G zusammenhängend, gilt E V - 1. Durch Induktion über n= E - V +1. Induktionsanfang: n=0. Mit E = V - 1 ist G ein Baum. Da Bäume keine Kreise enhalten, gilt R =1. Es folgt R = 1 = E - V + 2. Induktionsannahme: für Graphen mit E - V +1 = n gilt die EPf.

31 Planare Graphen 31 Beweis (Eulersche Polyederformel): Induktionsschritt: Sei G mit E - V + 1 = n + 1. Dann ist G kein Baum und muss (da zusammenhängend) einen Kreis enthalten, der zwei Gebiete voneinander trennt. Wenn wir eine Kante aus dem Kreis löschen, dann verschmelzen wir zwei Gebiete und reduzieren die Anzahl der Gebiete um 1. Für den entstehenden Graph gilt nach Induktionsannahme die Polyederformel, und somit auch für den Graphen G.

32 Planare Graphen Korollar: Für jeden planaren Graphen G = (V,E) mit V 3 Knoten gilt: E 3 V

33 Planare Graphen Beweis: Da jedes Gebiet einer Einbettung durch mindestens 3 Kanten begrenzt ist und jede Kante höchstens 2 Gebiete begrenzt, gilt 3 R 2 E. Mit der Eulerformel ergibt sich 2/3 E R = E - V + 2. Hieraus folgt: 1/3 E V

34 Färbung von Graphen Frage: Wie können wir die Zeiten für die Klausuren im Grundstudium Informatik so ansetzen, dass kein Student zwei Klausuren zur selben Zeit hat? 34

35 Färbung von Graphen Annahme: Es gibt 7 Klausuren 1,,7. Kein Studierende schreibt mehr als zwei Klausuren. Die folgenden Paaren von Klausuren werden von einigen Studierenden geschrieben: (1,2);(1,3);(1,4);(1,7);(2,3);(2,4);(2,5);(2,7); (3,4);(3,6);(3,7);(4,5);(4,6);(5,7);(6,7) 35

36 Färbung von Graphen 6 36 Der folgende Graph repräsentiert diesen Sachverhalt: Eine Planung muss berücksichtigen, dass keine über eine Kante verbundenen Prüfungen zur selben Zeit stattfinden. Dies entspricht einer Färbung der Knoten (Knotenfärbung), wobei die Farben den Prüfungszeiten entsprechen und adjazente Knoten nicht die gleiche Farbe haben dürfen.

37 Färbung von Graphen Bei 4 möglichen Zeiten (rot, blau, grün, gelb) ergibt sich folgende Färbung: Gibt es Färbungen mit weniger als 4 Farben?

38 Färbung von Graphen Frage: Eine Anzahl von Fernsehprogrammen werden von Stationen in Deutschland ausgestrahlt. Wie müssen die Übertragungskanäle zugeordnet werden, damit keine 2 Stationen, die maximal 200 km voneinander entfernt sind, über den gleichen Kanal senden? 38

39 Färbung von Graphen 39 Reduktion auf ein Färbungsproblem: Konstruiere einen Graph, in dem die Stationen als Knoten repräsentiert sind. Verbinde zwei Knoten, wenn sie maximal 200 km voneinander entfernt sind. Die gewünschte Zuordnung entspricht einer Knotenfärbung, wobei jede Farbe einem Kanal entspricht.

40 Färbung von Graphen Das klassische Graphfärbungsproblem ist das Färben von Landkarten, bei dem benachbarte Länder unterschiedliche Farben bekommen sollen. Hierbei interessiert, welches die kleinste Anzahl von unterschiedlichen Farben ist, die hierfür benötigt werden. 40

41 Färbung von Graphen Man nimmt hierbei an, dass das Gebiet eines Landes zusammenhängend ist und Länder, die nur an einem Punkt zusammenstossen gleich gefärbt werden dürfen. 41

42 Färbung von Graphen 42

43 Färbung von Graphen 43

44 Färbung von Graphen 44 Definition: Eine Knotenfärbung (vertex colouring) eines Graphen G = (V,E) mit k Farben ist eine Abbildung c: V [k], so dass gilt: c(u) c(v) für alle Kanten {u,v} E. Die chromatische Zahl (chromatic number) (G) von G ist die minimale Anzahl Farben, die für eine Knotenfärbung von G benötigt werden.

45 Färbung von Graphen Beispiele: Ein vollständiger Graph mit n Knoten hat chromatische Zahl n. 45

46 Färbung von Graphen Beispiele: Ein Kreis gerader Länge hat chromatische Zahl 2. Ein Kreis ungerader Länge hat chromatische Zahl 3. 46

47 Färbung von Graphen 47 Beispiele: Bäume mit 2 Knoten haben chromatische Zahl 2. p i e b o q d a h f j k l c n r m g

48 Färbung von Graphen Bipartite Graphen haben chromatische Zahl 2. Ausnahme: Graph ohne Kanten! Satz (Vierfarbensatz): Für jeden planaren Graphen G ist (G) 4. 48

49 Algorithmen zur Färbung von Graphen 49 Problem 1: Gegeben ein Graph G, finde eine Färbung mit möglichst wenigen Farben (d.h., mit (G) Farben). (Das ist kein Entscheidungsproblem) Problem 2: Gegeben ein Graph G und eine Zahl k, entscheide, ob G mit k Farben gefärbt werden kann (d.h., ob (G) k)

50 Algorithmen zur Färbung von Graphen Problem 2 ist NP-vollständig, sogar für k=3. Für Problem 1 ist auch kein polynomieller Algorithmus bekannt (sonst gebe es auch einen polynomiellen Algorithmus für Problem 2). In den nächsten Folien: Greedy-Verfahren, eine Technik, um eine vernünftige Färbung mit wenig Aufwand zu finden. Backtracking, eine (aufwendige) Technik, um Problem 2 zu lösen. 50

51 Greedy-Färbung Der folgende Algorithmus berechnet eine Färbung: 51 Besuche die Knoten des Graphen in beliebiger Reihenfolge und ordne ihnen die jeweils kleinste Farbe zu, die noch nicht für einen der direkten Nachbarn gewählt wurde. Der Algorithmus ist gierig : er optimiert stets den nächsten Schritt (was am Ende zu einer suboptimalen Färbung führen kann). Daher heißt er Greedy-Färbung im Sinne einer gierigen Suche.

52 Greedy-Färbung Eingabe: Graph G = (V,E), wobei V = {v 1,,v n }. Ausgabe: Färbung c[v] c[v 1 ] 1; For i from 2 to n do c[v i ] min{k N k c(u) für alle u (v i ) {v 1,,v i-1 }; 52

53 Greedy-Färbung Beispiel: 53 Der Graph kann mit 3 Farben gefärbt werden. Bei ungünstiger Reihenfolge braucht das Greedy- Verfahren jedoch 4 Farben.

54 Analyse der Greedy-Färbung Ist (G) der maximale Grad der in G vorkommenden Knoten, dann gilt für die Anzahl der vom Greedy- Algorithmus berechneten Farben C(G): (G) C(G) (G) + 1. Die Anzahl der berechneten Farben hängt von der Reihenfolge der besuchten Knoten ab. Es gibt mindestens eine Reihenfolge, die zu einer optimalen Färbung führt (warum?) Der Algoritmus braucht O(n) Zeit für Graphen mit n Knoten und Kanten. 54

55 Backtracking Wie kann eine k-färbung berechnet werden, wenn es eine gibt? Benutze ein Farbverfahren (z.b. das Greedy- Verfahren) bis es die Farbe k+1 verwenden will. In diesem Fall mach alle Schritte rückgängig, bis zu dem zuletzt gefärbten Knoten, für den noch andere Farben zur Verfügung stehen. Ersetzte seine aktuelle Farbe durch die nächst niedrigste. Ausgehend von dieser neuen Situation mach mit dem Farbverfahren weiter. 55

56 Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben): 56

57 Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben): 57

58 Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben): 58

59 Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben): 59

60 Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben): 60

61 Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben): 61

62 Backtracking-Algorithmus Beispiel (4 Farben): 62

63 Analyse des Backtracking-Verfahrens Terminiert immer. Liefert eine k-färbung, falls es eine gibt. Untersucht im schlimmsten Fall sämtliche Möglichkeiten. Der schlimmste Fall trifft immer, wenn es kene k- Färbung gibt. Der Algoritmus läuft nicht in polynomieller Zeit. (Braucht (2 n ) Zeit für Kreise mit n Knoten, n ungerade, und 2 Farben). 63