Theoretische Physik 1 Mechanik

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1 Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 Mechanik Skript zu Vorlesung 2: konservative Kräfte, Vielteilchensysteme und ausgedehnte Körper gehalten von: Markus Krottenmüller & Markus Perner

2 Inhaltsverzeichnis 1 konservative Kräfte Arbeit und Leistung konservative Kräfte Beispiele Vielteilchensysteme Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung Der Virialsatz ausgedehnte Körper Massendichte Potential und Kraftfeld ausgedehnter Körper

3 1 konservative Kräfte 1.1 Arbeit und Leistung Die Arbeit A ist definiert als das Wegintegral über ein Kraftfeld F ( r) P 2 t 2 A = F d r = F ( r(t)) r(t) dt. (1) P 1 t 1 Leistung N ist die pro Zeit geleistete Arbeit, also die zeitliche Ableitung der Leistung N = da = F r. dt 1.2 konservative Kräfte Kräfte die als der Gradient eines Potentials F ( r) = U( r) dargestellt werden können, heißen konservativ. Für sie gilt der Energieerhaltungssatz. Für konservative Kräfte gilt, dass ihre Rotation verschwindet F = F z y F x z F y x Fy z Fz x Fx y = 0 (2) Außerdem ist für eine konservative Kraft das Wegintegral zwischen zwei Punkten unabhängig vom gewählten Integrationsweg und damit insbesondere F d r = 0. (3) Es ergibt sich folgende Äquivalenzkette: F konservativ F = U F = 0 F d r = 0 (4) Die Äquivalenz von Gleichung 2 und 3 kann mit Hilfe des Satz von Stokes bewiesen werden. 1 / 5

4 1.3 Beispiele Zentralkräfte sind konservativ. Die Lorentzkraft ist nicht konservativ, da ihr Arbeitsintegral immer verschwindet. Reibungskräfte sind nicht konservativ, da sie von der Geschwindigkeit abhängen. 2 Vielteilchensysteme Wir betrachten nun Systeme von N Massepunkten der Massen m i, Ortsvektoren r i, Geschwindigkeiten v i, Impulse p i und Kräfte F i (i = 1, 2,..., N)). Dabei setzten sich die Kräfte aus inneren Kräften zwischen zwei Teilchen und einem externen Kraftfeld zusammen F i = Σ j ifij + F i ex. Zur Beschreibung dieses Systems ergeben sich N gekoppelte Bewegungsgleichungen. Summation über alle i = 1,..., N ergibt Σ i F ex i + Σ i,j(i j) Fij = Σ i. F ex i = d2 dt 2 m i r i (5) 2.1 Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung Wie bei den Zweiteilchensystemen kann man für Vielteilchensysteme eine Schwerpunktskoordinate R = 1 M ΣN i=1m i r i (M = Σ N i m i ) einführen, für welche die Bewegungsgleichung F ex = P = M d 2 R dt 2 (6) gilt. Relativkoordinaten werden im Folgenden mit einem Strich gekennzeichnet und es gilt r i = r i + R und entsprechend für die anderen Größen. Im Schwerpunktssystem ( R = 0, R = 0) gilt Σ i m i r i = Σ i m i v i = 0. P Die Gesamtenergie setzt sich aus E = T S + T rel + U = M 2 ΣN i=1m i v 2 + 1Σ 2 i,ju ij zusammen. Der Drehimpuls des Systems ist durch L = Σ N i l i = Σ N i r i p i = R P + Σ i vr i p i gegeben. Falls keine externen Kräfte anwesend sind (abgeschlossenes System), so gilt in einem System aus Massenpunkten Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung. Der Gesamtimpuls ist nach Gleichung 6 erhalten, die Energieerhaltung wird in den Übungen bewiesen und für den Gesamtdrehimpuls gilt: dl dt = Σ d i dt ( r i m i v i ) = Σ i r i F i = Σ i,j r i F ij (7) 2 / 5

5 = 1 2 Σ i,j[ r i F ij + r j F ji ] = 1 2 Σ i,j( r i r j ) F ij = 0 (8) Das letzte Gleichheitszeichen gilt, da die relevanten inneren Kräfte F ij parallel zu den Verbindungsvektoren r i r j der Massenpunkte m i und m j sind (Ausnahmen: magnetische Kräfte und Reibungskräfte). 2.2 Der Virialsatz In einem System von vielen Massenpunkten findet ständig eine Umwandlung von kinetische in potentielle Energie und umgekehrt statt. Eine genaue Aussage zu liefern ist oft schwierig. Man kann aber Aussagen über die Mittelwerte dieser beiden Größen machen. Der zeitliche Mittelwert einer Größe F (t) ist 1 τ < f >= lim f(t) dt (9) τ τ 0 Durch Multiplizieren der Bewegungsgleichungen mit r i und Summieren erhält man Σ i m i ( r i r i ) = Σ i Fi r i = d dt Σ im i ( r i r i ) Σ i m i r 2 i = d dt Σ im i ( r i r i ) 2T. (10) Durch Mittelwertbildung verschwindet der erste Term auf der rechten Seite, da für räumlich beschränkte Systeme die Summe Σ i m i ( r i r i ) für alle t endlich ist. Es bleibt der Virialsatz, der besagt, dass der Mittelwert der kinetischen Energie proportional zum sogenannten Clausius schen Virial ist < T >= 1 2 < Σ i F i r i > (11) Für abgeschlossene Zentralkräfte (U ij = U ij ( r i r j = U ij (r ij )) gilt: < Σ i Fi r i >= 1 2 < Σ i,j[ r i + r j ]U ij (r ij ) >= 1 2 < Σ i,j( r i r j ) U ij (r ij ) > (12) = 1 2 Σ i,j ( r i r j ) r i r j du ij = 1 du ij Σ i,j r ij r i r j dr ij 2 dr ij (13) Potentiale der Form U ij = c ij r n ij, n Z liefern den besonderen Spezialfall 3 / 5

6 < T >= n 2 < U >. (14) Beispiele: gekoppelte harmonische Oszillatoren: n = 2 <T>=<U> Gravitations- bzw. Coulomb-Potential: n = 1 2<T>=-<U> 3 ausgedehnte Körper Bis jetzt haben wir nur Systeme von einzelnen Massepunkten beschrieben. Um die Dynamik eines ausgedehnten Körpers zu beschreiben betrachtet man den Körper aus vielen infinitesimalen Massenelementen zusammengesetzt. 3.1 Massendichte Dazu definiert man die Massendichte ρ( r) mit m = ρ( r) d 3 r (15) Falls die Massendichte in anderen als kartesischen Koordinaten angegeben ist, ist bei der Ausführung des Integrals der Transformationssatz der Analysis zu berücksichtigen. Für x(α, β, γ) eine Koordinatentransformation r = y(α, β, γ) entspricht das Integral z(α, β, γ) m = ρ( r) d 3 r = det J ρ( r(α, β, γ)) dα dβ dγ, (16) V V (α,β,γ) dabei ist det J die sogenannte Jacobi-Determinante det J = det dx dα dy dα dz dα dx dβ dy dβ dz dβ dx dγ dy dγ dz dγ. (17) Für Kugelkoordinaten beträgt die Jacobi Determinante det J Kugel Zylinderkoordinanten det J Zylinder = r. = r 2 sin θ und für 4 / 5

7 3.2 Potential und Kraftfeld ausgedehnter Körper Um das Potential eines ausgedehnten Körpers zu berechnen, denkt man sich den Körper wieder aus infinitesimalen Massenelementen aufgebaut, die alle einen differentiellen Beitrag zum Potential leisten. Damit ergibt sich für die potentielle Energie eines Probekörpers der Masse m 0 am Ort r im Kraftfeld des ausgedehnten Körpers im Ursprung U( r) = Gm 0 ρ( x) x r d3 x. (18) Das Kraftfeld ergibt sich aus F ( r) = U( r) F ( r) = Gm 0 x r ρ( x) x r 3 d3 x. (19) Falls es sich um zwei ausgedehnte Körper handelt, muss man beide Körper entsprechend behandeln. Für ihre potentielle Energie ergibt sich ρ1 ( x)ρ 2 ( y) U 12 = G x y d 3 x d 3 y. (20) 5 / 5