Mathematik für Chemische Technologie 2

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1 Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters ist die Lineare Algebra. 1

2 Literaturempfehlungen: Hans Gerhard Zachmann, Ansgar Jüngel Mathematik für Chemiker Wiley-VCH ISBN: Götz Brunner, Reiner Brück Mathematik für Chemiker Spektrum - Akademischer Verlag ISBN: Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1 Vieweg und Teubner, 2009 ISBN: Farin Hansford Lineare Algebra: ein geometrischer Zugang Springer ISBN:

3 Literaturempfehlungen: Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einführung für Studienanfänger Vieweg & Teubner ISBN Albrecht Beutelsbacher Lineare Algebra Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen Vieweg & Teubner ISBN Wolfgang Preuß, Günter Wenisch Mathematik für Informatiker Lineare Algebra und Anwendungen Fachbuchverlag Leipzig ISBN

4 1. Vektoralgebra 1.1 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit v Impuls p Spezifikation des Ortes von einem Atom im Molekül nicht nur durch Angabe des Abstandes eines Punktes von einem Referenzpunkt, sondern auch durch Angabe der Richtung. der Vektor wird durch Pfeil repräsentiert die Länge des Pfeils ist die Größe (Betrag) des Vektors die Richtung des Pfeils ist die Richtung des Vektors übliche Bezeichung Vektor: a oder a 4

5 Vektoren können addiert werden und man erhält einen neuen Vektor : Betrachte die Vektoren a und b : a + b = b + a = c Um c zeichnerisch zu berechnen, setzt man den Fuß (Ende) von b an die Spitze von a. Weil das auch umgekehrt funktioniert, sieht man, dass gilt c = a + b = b + a oder c = a + b = b + a Die Vektoraddition ist kommutativ! Um zwei Vektoren zu subtrahieren, zeichnet man den einen Vektor in der entgegengesetzten Richtung, wodurch man - b bildet: d = a - b = a + ( - b ) 5

6 6

7 Mittelfinger Daumen e z Rechte-Hand-Regel Oder Linker-Arm-Regel Zeigefinger Daumen e x e y Finger Arm 7

8 Mittelfinger Daumen e z e y Zeigefinger Finger Rechte-Hand-Regel Oder Linker-Arm-Regel e x Daumen Arm 8

9 Eine nützliche Menge von Vektoren besitzen die Länge 1 und die Elemente zeigen entlang der x-, y- und z-achse. Bezeichnung: Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems e x, e y und e z (wir verwenden ein rechtshändiges Koordinatensystem) a = A x e x + A y e y + A z e z Jeder beliebige (3-dim) Vektor lässt sich durch diese Einheitsvektoren beschreiben. A x, A y und A z sind die Komponenten von a und Projektionen entlang der Einheitsvektoren b = λ a bedeutet falls λ > 0, dass der Vektor b in Richtung a zeigt, aber als Länge die λ -fache Länge besitzt. umgekehrt, falls λ < 0 (λ R). 9

10 A z e z a e z e y e x A y e y A x e x Projektionen entlang der Einheitsvektoren 10

11 Die Vektoraddition wird ausgedrückt durch die Einheitsvektoren: a ± b = ( A x ± B x ) e x + ( A y ± B y ) e y + ( A z ± B z ) e z Die Länge von a ist a = (A² x + A² y + A² z ). ( Norm, Betrag ) 11

12 Beispiel: Es sei c = 2 e x - e y + 3 e z und d = - e x +2 e y - e z. Was ist die Länge von c + d? Lösung : c + d = ( A x + B x ) e x + ( A y + B y ) e y + ( A z + B z ) e z c + d = ( 2 1 ) e x + ( ) e y + ( 3-1 ) e z = e x + e y + 2e z a = (A² x + A² y + A² z ). => c + d = 1² + 1² + 2² = 6. 12

13 1.2 Produkt von Vektoren Zwei Möglichkeiten mit vielen Anwendungen in der physikalischen Chemie 1. Das Ergebnis ist eine skalare Größe. 2. Das Ergebnis ist Vektor. Daher heißt 1. Skalarprodukt und 2. Vektorprodukt. 13

14 1.2.1 Skalarprodukt Definition Skalarprodukt: a b = a b cos θ wobei θ der Winkel zwischen a und b ist. Man sieht leicht: a b = b a. b θ b a = b cos θ a 14

15 Für die Einheitsvektoren ergibt sich somit und e x e x = e y e y = e z e z = 1 1 cos 0 = 1. e x e y = e y e x = e x e z = e z e x = e y e z = e z e y = 1 1 cos 90 = 0. Also ergibt sich das Produkt zweier Vektoren zu: a b = (A x e x +A y e y +A z e z ) (B x e x +B y e y +B z e z ) = A x B x e x e x +A x B y e x e y +A x B z e x e z + A y B x e y e x +A y B y e y e y +A y B z e y e z + A z B x e z e x +A z B y e z e y +A z B z e z e z. was sich vereinfacht zu = A x B x + A y B y + A z A z 15

16 Beispiel 1: Berechne Länge des Vektors a = 2 e x - e y + 3 e z! Lösung: Mit a = b folgt a a = A² x + A² y + A² z = a 2 => a = a a = ( ) 1/2 =

17 Beispiel 2: Berechne Winkel zwischen zwei Vektoren a = e x +3e y - e z und b = e y - e z. => a = a a = ( ) 1/2 = 11. b = b b = ( ) 1/2 = 2. a b = (- 1) (-1) = 4. Damit ist cos θ = a b a b = 4 22 = 0,8928 = 31,48 17

18 1.3 Vektorräume Vektoren werden benötigt a) Beschreibung vektorieller Größen (Zahlenwert + Einheit und Richtung) z.b. Geschwindigkeit v, Beschleunigung a, Kraft F, Impuls p. b) Vektoren als Elemente eines Vektorraums mathematische Beschreibung der Chemie und Physik Definition des Vektors: Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums (linearen Raums). 18

19 Definition des Vektorraums: Eine Menge V der Elemente a, b, c, bildet einen Vektorraum (linearen Raum) über dem Körper K, wenn eine Vektoraddition + und eine Skalarmultiplikation definiert sind und folgende Gesetze für alle a, b, c V und λ i K gelten: 1. V ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition: a + b = c 2. V ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation: λ a = c 19

20 1. V ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition: a + b = c Für die Vektoraddition gilt: A1 Kommutativgesetz: a + b = b + a A2 Assoziativgesetz: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c A3 Es existiert ein Neutralelement 0 : 0 + a = a 0 wird als Nullvektor bezeichnet. A4 Zu jedem a gibt es einen inversen Vektor -a V mit a + ( - a ) = 0. 20

21 Rechnen mit Vektoren des R 2 und R 3 Vektoraddition: a + b = c Grafische Addition: Fuß von b wird an die Spitze von a gesetzt. c reicht von dem Fuß von a bis zur Spitze von c. Als Vektor: a + b = a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 = c 1 c 2 c 3 = c c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2 c 3 = a 3 + b 3 21

22 Rechnen mit Vektoren des R 2 und R 3 Vektorsubtraktion: a - b = c Subtraktion von b entspricht der Addition von - b. - b hat denselben Betrag wie b, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung Man sagt auch : b ist antiparallel zu ( - b). Als Vektor: a - b = a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 = c 1 c 2 c 3 = c c 1 = a 1 b 1 c 2 = a 2 b 2 c 3 = a 3 b 3 22

23 2. V ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation: λ a = b Für die Skalarmultiplikation gilt: M1 (λ 1 λ 2 ) a = λ 1 (λ 2 a) M2 λ (a +b ) = λ a + λ b M3 (λ 1 + λ 2 ) a = λ 1 a + λ 2 a M4 Das Neutralelement von K bezüglich der Multiplikation ist das Neutralelement von V bzgl. der Skalarmultiplikation: 1 a = a 1 = a M5 0 a = 0 M6 0 = 0 Wichtig in der Chemie: Vektorräume über K = R und über K = R. 23

24 Rechnen mit Vektoren des R 2 und R 3 Multiplikation mit Skalaren λ λ a = λ a 1 a 2 a 3 = λa 1 λa 2 λa 3 = c Für λ > 0 ist c parallel zu a. Für λ < 0 ist c antiparallel zu a. λ a = c Streckung für λ > 1 Stauchung für λ < 1 Für λ = 0 erhält man den Nullvektor a = 0 =

25 In einem Vektorraum sind (mindestens) vier verschiedene Verknüpfungen definiert: Addition von Vektoren (Vektoraddition): a + b = c Symbol: + Vektorsubtraktion entspricht der Addition des Inversen: a - b = a + ( - b ) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (Skalarmultiplikation): λ a = b Symbol: (wird oft weggelassen: λa) Addition von Skalaren: λ 1 + λ 2 = λ 3 Symbol: + Multiplikation von Skalaren: λ 1 λ 2 = λ 3 Symbol: (wird oft weggelassen: λ 1 λ 2 = λ 3 ) Die Symbole + und werden für verschiedene Rechenoperationen verwendet. Es ergibt sich aus dem Kontext, welche gemeint sind. 25

26 Beispiele für Vektorräume: Beispiel 1: Die Polynome bis zum Grad n = 3 bilden einen Vektorraum über K = R. Bezeichnung des Vektorraum als P3 Vektoren des P3: a = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 Vektoraddition im P3: a + b = a 0 + b 0 + (a 1 +b 1 )x + (a 2 + b 2 )x² + (a 3 + b 3 )x 3 Skalarmultiplikation im P3: λ a = λ a 0 + λ a 1 x + λ a 2 x 2 + λ a 3 x 3 Die Vektorraumaxiome sind erfüllt, da sie für reelle Zahlen gelten. 26

27 Beispiel 2: Die Menge der geordneten n-tupel a = a 1 a 2.. a n bildet einen Vektorraum über R, wenn folgende Verknüpfungen definiert werden: Addition der n-tupel und Multiplikation mit λ R : a + b = a 1 + b 1 a 2 + b 2.. a n + bn = c λ R : λ a = λa 1 λa 2.. λa n = c. Diese Vektorräume werden als R n bezeichnet. Die Vektorraumaxiome sind erfüllt, da sie für reelle Zahlen gelten. 27

28 1.4 Wichtige Begriffe der Vektoralgebra Untervektorraum: U V sei eine Teilmenge von V, die selbst einen Vektorraum bildet. U wird als Untervektorraum von V bezeichnet. Beispiele: Polynome bis zum Grad 2 bilden einen Untervektorraum des P3 a 1 a 2 a 1, a 2 R bildet einen Untervektorraum des R 3 0 Jeder Vektorraum V hat zwei triviale Untervektorräume: V und { 0 }. 28

29 Linearkombination: b V wird als Linearkombination der Vektoren a i V bezeichnet, wenn gilt: b = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n n = λ i a i Die λ i K werden als Koeffizienten der Linearkombination bezeichnet. i=1 29

30 lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,., a n wird als linear unabhängig bezeichnet, wenn die Gleichung λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0 nur die triviale Lösung λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 besitzt. Die Vektoren sind linear abhängig, wenn es mindestens eine Lösung gibt, bei der nicht alle λ i = 0 sind. Bei linear abhängigen Vektoren kann mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden. 30

31 lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit Bei linear abhängigen Vektoren kann mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden. Beispiel: Im P3 sind die Vektoren a 1 = 1 + x a 2 = x² + x³ a 3 = 1 + x + 2x² + 2x³ linear abhängig. a 3 kann als Linearkombination von a 1 und a 2 dargestellt werden: 1 a + 2 a a 3 = 0 a 3 = a + 2 a

32 Basis: Eine Menge B = { b 1, b 2,., b n Vektorraums, wenn 1. die b i linear unabhängig sind } bildet eine Basis des 2. jeder Vektor a V eindeutig als Linearkombination b i dargestellt werden kann: a = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n b n Dimension: Die Anzahl n der Basisvektoren wird als Dimension des Vektorraum bezeichnet. 32

33 Beispiele: Eine Basis des P3 lautet B = { b 1 = 1, b 2 = x, b 3 = x², b 4 = x³ } Die Dimension des P3 ist 4, da B vier Vektoren enthält. Eine Basis des R 3 lautet: B = { b 1 = 0 0, b 2 = 1 0, b 3 = 0 1 } Jedes beliebige 3-Tupel kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden: x y z = x b 1 + y b 2 + z b 3. Die Dimension des R 3 ist 3. Allgemein: Dimension des R n ist n. 33

34 Beispiele für Vektoren im R 2 und R 3 Für ein Koordinatenssytem wird benötigt: z.b. kartesische Koordinanten: Ursprung und 3 (R 3 ) bzw. 2 (R 2 ) orthogonale Achsen. Konvention: Bezeichnung als x-, y-, und z-achse Basis: Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-achse Bezeichnung als e x = 1 0 0, e y = 0 1 0, e z = Vektoren werden als geordnete n-tupel (bezüglich der Basis) a 1 dargestellt: a = a 2 a 3 = a 1 e x + a 2 e y + a 3 e z. 34

35 Koordinatendarstellung: In einem n-dimensionalen Vektorraum mit einer endlichen Basis B = { b 1, b 2,., b n } kann jeder Vektor a als Linearkombination der Basis-Vektoren dargestellt werden: a 1 a 2 a = a i b i = : : a n Man erhält die Koordinatendarstellung von a bezüglich der Basis B. Die Darstellung als geordnetes n-tupel ist möglich. Wird eine andere Basis gewählt, ergibt sich eine andere Koordinatendarstellung. Die a i sind die Koordinaten von a bezüglich der Basis B. 35

36 1.2.1 Skalarprodukt Die Multiplikation von Vektoren ist nur in Vektorräumen definiert: euklidischer Vektorraum Vektorraum über R (Körper der reellen Zahlen), in dem ein Skalarprodukt definiert ist. unitärer Vektorraum Vektorraum über C (Körper der komplexen Zahlen), in dem ein Skalarprodukt definiert ist. 36

37 Das Skalarprodukt a b = a, b auf V ist eine Funktion, die zwei Vektoren a und b V eine Zahl (Skalar) λ K zuordnet (V V K) und folgende Eigenschaften besitzt: Das Skalarprodukt a, b eines Vektorraums über R ist: symmetrisch: a, b = b, a bilinear: a,λ 1 b + λ 2 c = λ 1 a, b + λ 2 a,c positiv definit: a, a 0 a, a = 0 a = 0. 37

38 Das Skalarprodukt a, b eines Vektorraums über C ist: hermitesch: sesquilinear: positiv definit: a, b = ( b, a )* a,b + c = a, b + a,c a + b, c = a, c + b,c λa, b = λ* a, b a, λb = λ a, b a, a 0 a, a = 0 a = 0. 38

39 Schreibweise für das Skalarprodukt von a und b : Bracket-Schreibweise a, b ( Mathematik ) a b ( Quantenchemie ) a b = a b (Standardskalarprodukt im R n ) 39

40 Standard - Skalarprodukt: Das Skalarprodukt im R n wird als Standard - Skalarprodukt bezeichnet. Skalarprodukt im R³ : a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Allgemein gilt im R n : a b = n i=1 a i b i. 40

41 Beispiele für Skalarprodukte: Standardskalarprodukt im R n Die über einen Intervall (a,b) (quadrat-) integrierbaren Funktionen φ bilden einen Vektorraum L 2, in dem ein Skalarprodukt definiert werden kann. Für φ 1 (x), φ 2 (x) L 2 lautet das Skalarprodukt: b a φ 1,φ 2 = (φ 1 ) φ 2 dx Derartige Skalarprodukte von Funktionen φ(x) sind wichtig für die theoretische Chemie! 41

42 Über das Skalarprodukt wird der Betrag (die Länge) eines Vektors bestimmt: a = a = a a der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt: a b = a b cos( (a,b) ) a b cos( (a,b)) = mit a 0 und b 0. a b Hierbei ist (a,b) der Winkel zwischen den Vektoren a und b. 42

43 Zwei Vektoren a und b sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt: a b = 0 a b Eine Menge { a i } von Vektoren bildet ein Orthonormalsystem, wenn gilt: a i a j = δ ij (δ ij : Kronecker-Symbol) δ ij = 0 für i j 1 für i = j D.h. a i a j = 0 i j und a i = 1. Als Basis eines Vektorraums wird bevorzugt eine Orthonormalsystem gewählt, die sogen. Orthonormalbasis. 43

44 Beispiel: Arbeit und Dipolmoment Eine Anwendung des Skalarproduktes behandelt die Definition von Arbeit. Man vergegenwärtige sich, dass die Arbeit als Kraft F mal Abstand d definiert ist, wobei Kraft die Komponente bedeutet, welche in derselben Richtung wie die Verschiebung d liegt: Arbeit = F d. Die Arbeit lässt sich auch als (F cosθ)(d) schreiben, womit man zum Ausdruck bringt, dass F cosθ die Komponente von F in Richtung d ist. Die Komponente mal der Vektor ist ein neuer Vektor, der die Projektion lautet. 44

45 Arbeit ist definiert als W = F d oder W = (F cos θ )(d), wobei dies die Komponente entlang d ist. weitere Anwendung: Wechselwirkung eines Dipolmomentes mit einem elektrischen Feld Das Dipolmoment μ ist ein Vektor: Betrachte ein Molekül mit zwei Ladungen, z.b. hat das Molekül HCl ein Dipolmoment, welches (per Definition) von Cl zu H zeigt. Wendet man nun ein elektrisches Feld E an, so berechnet sich die potentielle Energie V zu: V = - μ E 45

46 Projektion im R n : Die Projektion von a auf b ergibt die Komponente von a in Richtung von b a b = a b cos(φ) = a b b (aus a b = a b cos( (a,b) ) Hiermit ergibt sich: a b = a b b b = ( a b b ² ) b 46

47 Projektion auf Orthonormalbasis: a = c 1 b 1 + c 2 b c n b n. a = n i=1 c i b i a b j = n i=1 c i b i b j a b j = c i δ ij Methode zur Bestimmung der Koeffizienten c i Projektion auf Orthogonalbasis: c i = a, b i b i 47

48 1.2.2 Vektorprodukt: Das Vektor- oder Kreuzprodukt ist nur für den R³ definiert. Symbol: Das Vektorprodukt a b = c ist eine Verknüpfung, die den Vektoren a und b einen Vektor c zuordnet. Hierbei gilt: c ist orthogonal zu a und b Die Vektoren a,b und c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. 48

49 Die Koordinatendarstellung von c ergibt sich zu: a b = c mit c = a 2 b 3 a 3b 2 a 3 b 1 a 1b 3 a 1 b 2 a 2b 1 Es gilt: c = a b sin φ. Beweis der Orthogonalität: a 1 a 2 b a 3 3b 2 a 2 a 3 b a 1 1b 3 = a 3 a 1 b a 2 2b 1 = a 1 a 2 b 3 a 1a 3 b 2 + a 2 a 3 b 1 a 1a 2 b 3 + a 3 a 1 b 2 a 2a 3 b 1 = 0. 49

50 Beispiel: Drehimpuls Wichtige Beziehung für den Drehimpuls L : L = r p wobei r der Ortsvektor ist und p = m v der Impulsvektor ist. d.h. der Drehimpuls ist orthogonal zur Ebene, die aus dem Ortsvektor und dem Impulsvektor gebildet wird. Die Komponenten von L lauten: L = (yp z zp y ) e x + (zp x xp z ) e y + (xp y yp x ) e z 50

51 Rechenregeln ( λ 1 a + λ 2 b ) x c = λ 1 ( a x c ) + λ 2 ( b x c ) a x ( λ 1 b + λ 2 c ) = λ 1 ( a x b ) + λ 2 ( a x c ) a x b = -( b x a ) a x a = 0 a x 0 = 0 x a = 0 ( λa) x b = λ ( a x b ) 51

52 Gemischte Produkt: Das gemischte Produkt bzw. Spatprodukt ist ein Produkt von drei Vektoren des R³. Das Spatprodukt ist das Skalarprodukt eines Vektorproduktes: a ( b c ) = a 1 a 2 a 3 b 2 c b 3 3c 2 b 3 c b 1 1c 3 b 1 c b 2 2c 1 = a 1 ( b 2 c 3 b 3c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 b 1c 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 b 2c 1 ). Das Spatprodukt ist nicht kommutativ. Stattdessen gilt: a ( b c ) = ( a b ) c ). 52

53 a ( b c ) = ( a b ) c ). Das Spatprodukt entspricht dem orientierten Volumen (d.h. es kann positiv oder negativ sein) des Spates, der von den Vektoren a, b, c aufgespannt wird. Das Spatprodukt entspricht anschaulich dem (vorzeichenbehafteten) Volumen eines schiefen Quaders ( daher Spat ). 53