Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 11

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1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Verschiedenes 20 Mai 206 Barometrische Höhenformel: Betrachte die rdatmosphäre im homogenen Gravitationspotential M gz der rde Unter der Annahme, dass sich die Atmosphäre über einer Fläche A im thermischen Gleichgewicht befindet, dh die Temperatur unabhängig von der Höhe z ist, lässt sie sich als ideales Gas beschreiben a Bestimme die kanonische Zustandssumme und bestimme die mittlere nergie der Gasteilchen sowie die Varianz der nergie b Bestimme die barometrische Höhenformel, dh die Dichte der Atmosphäre als Funktion der Höhe z a Die Hamiltonfunktion eines idealen Gases im homogenen Gravitationspotential Mgz lautet: N p 2 N a H[x, p] = 2M + Mgz a, a= wobei M die Masse eines einzelnen Gasteilchens ist Die kanonische Zustandssumme ist dann gegeben durch Zβ = DxDp exp βh[x, p] = N a= h 3 d 3 x a d 3 p a a= exp β p2 a 2M βmgz a = zβ N, wobei die letzte Gleichheit folgt, da die Teilchen bei einem idealen Gas unabhängig sind Das Planck sche Wirkungsquantum h muss eingeführt werden, da es in der quantentheoretischen Betrachtung pro Phasenraumvolumen h d nur einen Zustand mit bestimmter nergie gibt Die Zustandssumme eines einzelnen Teilchens zβ ist dann gegeben durch zβ = h 3 d 3 x d 3 p exp β p2 = h 3 dx = h 3 A βmg dy dz 2πM 3/2, β 2M βmgz exp βm gz d 3 p exp β p2 2M wobei die Lösung des Gaussintegrals verwendet wurde Die mittlere nergie und die Varianz lassen sich nun einfach berechnen: H = logzβ β = N logzβ β = 3 N 2 β + N β = 5 N 2 β

2 und H 2 = 2 logzβ β 2 = N 2 logzβ β 2 = 5 N 2 β 2 Beachte, dass die beiden Grössen unabhängig von der Phasenraumabzählung /h 3 sind Für die relative Schwankung erhalten wir: H 2 H = 5N b Um die Dichte der Atmosphäre als Funktion der Höhe z zu bestimmen, können wir einfach die Wahrscheinlichkeitsdichte ρz berechnen, dass ein Teilchen die Höhe z erreicht: ρz = dx dy d 3 p exp β p2 zβ 2M βmgz = βmg exp βmgz = ρ0 exp βmgz Man bemerkt, dass diese Funktion barometrische Höhenformel angibt, wie sich die Dichte mit zunehmender Höhe verringert 2 Schwarzes Loch: Zeige, dass ein kugelförmiges Objekt mit gleichförmiger Massendichte ρ ein schwarzes Loch ist, falls sein Radius grösser als c/ 8πGρ/3 ist Der Schwarzschildradius R S eines kugelförmigen Objekts der Masse M ist R S = 2GM c 2 Dieser Zusammenhang zwischen Radius und Masse wurde im Skript in Kapitel 40 gezeigt in kugelförmiges Objekt mit Radius R o und Masse M o ist also ein schwarzes Loch falls R o < 2GM o c 2 Da die Massendichte gleichförmig ist gilt M o = R 3 oπρ4/3 Dies kann in obige Gleichung eingesetzt werden und wir erhalten R o < 2GR3 oπρ4/3 c 2 < GR2 oπρ8/3 c 2 c < R o 8πGρ/3

3 3 ntropie: Man verdoppelt das Volumen eines idealen Gases, T 0, V 0 T 0, V, mit V = 2V 0 in zwei Schritten: a Adiabatische Ausdehnung, dh ohne Wärmezufuhr δq = 0: T 0, V 0 T, V Aus den Hauptsätzen der Thermodynamik wissen wir, dass ds = δq/t Somit verändert sich die ntropie nicht bei einer adiabatischen Ausdehnung δq = 0 Wir können nun T berechnen: Vor der Ausdehnung beträgt die ntropie des Gases S 0 = Nk B [ ln N 2πmk BT 0 3/2 ], wobei = 2π 3 Nach dem Verdoppeln des Volumens ist sie [ ] 5 S = Nk B 2 + ln V N 2πmk BT 3/2 Aus S 0 = S folgt nun V ln N 2πmk BT 3/2 ln N 2πmk BT 0 3/2 = 0, also ist T = V 2/3 T 0 b Aufwärmen des Gases bei konstantem Volumen: T, V T 0, V Beim Aufwärmen bei konstantem Volumen gilt dv = 0 Aus dem ersten Hauptsatz mit dn = 0 erhalten wir dann δq = P dv + du δq = du = 3 2 Nk BdT Berechne die Veränderung der ntropie Mit dem dritten Hauptsatz können wir nun die ntropiedifferenz berechnen: T0 δq S = T = 3 T0 2 Nk B T T dt = 3 2 Nk T0 B ln T T

4 Dies können wir auch mit der ntropieformel [ ] 5 V S = Nk B 2 + ln N 2πmk BT 3/2 berechnen: Vor dem Aufwärmen ist die ntropie des Gases [ ] 5 S = Nk B 2 + ln V N 2πmk BT 3/2 Nach dem Aufwärmen ist sie [ ] 5 S 2 = Nk B 2 + ln V N 2πmk BT 0 3/2 Die ntropiedifferenz beträgt also S = S 2 S = Nk B [ln = Nk B ln = 3 2 Nk B ln V N 2πmk BT 0 3/2 0 T 3/2 T 3/2 T0 T ] V ln N 2πmk BT 3/2 Dies bedeutet, dass die ntropie zunimmt, wenn ein Gas bei konstantem Volumen erwärmt wird, und abnimmt, wenn das Gas abgekühlt wird Wir können nun mit T = V 2/3 T 0 noch eine Formel herleiten, die uns die ntropieänderung des gesamten Prozesses Adiabatische Ausdehnung, dh ohne Wärmezufuhr δq = 0: T 0, V 0 T, V, und anschliessendes Aufwärmen des Gases bei konstantem Volumen: T, V T 0, V in Abhängigkeit der beiden Volumina angibt: S = 3 2 Nk B ln = Nk B ln V V 0 T 0 Mit V = 2V 0 beträgt die ntropiedifferenz also V S = Nk B ln 2 2/3 T 0

5 4 Grosskanonische Zustandssumme: Betrachte die verschiedenen Gesamtheiten für Teilchen auf der nergieleiter a Berechne die grosskanonische Zustandssumme und bestimme daraus die mittlere nergie, die ntropie sowie die mittlere Teilchenzahl Leite das chemische Potential als Funktion der mittleren Teilchenzahl her Die grosskanonische Zustandssumme ist gegeben durch: Zβ, µ = n exp βh[n] µn [n] Diese kann mithilfe der kanonischen Zustandssumme Zβ ausgedrückt werden: Zβ, µ = ZβexpβµN = zβexpβµ N = N=0 N=0 zβexpβµ = exp βɛ exp βɛ expβµ, wobei wir implizit angenommen haben, dass expβµ < exp βɛ, da sonst die geometrische Reihe nicht konvergieren und die Zustandsfunktion unendlich werden würde Für die mittlere nergie erhalten wir dann: ln Zβ, µ = = β expβµ ɛexp βɛ exp βɛ expβµ exp βɛ Die mittlere Teilchenzahl ist folgendermassen gegeben: N = ln Zβ, µ βµ Für die ntropie erhalten wir: S = k B p i ln p i = k B Zβ, µ i = expβµ exp βɛ expβµ exp βh[i] µn [i] βh[i] µn [i] ln Zβ, µ i = T µ N k BT ln Zβ, µ expβµ βɛ = k B exp βɛ expβµ expβɛ βµ exp βɛ k B ln exp βɛ expβµ Umformen von Gleichung führt zu expβµ = expβɛ + / N, und somit erhalten wir für das chemische Potential µ = β ln expβɛ + / N

6 b Aus dem Gesetz der Thermodynamik d = T ds+µdn folgt für das chemische Potential N Berechne µ in der kanonischen Gesamtheit und zeige, dass der Ausdruck im thermodynamischen Limes N mit demjenigen aus der grosskanonischen Gesamtheit übereinstimmt Wie in der Aufgabenstellung schon erwähnt lässt sich das chemische Potential in der kanonischen Gesamtheit berechnen durch N Die ntropie von N Teilchen auf einer Leiter ist βɛ S = k B N ln [ exp βɛ] expβɛ Die mittlere nergie ɛ = N expβɛ expβɛ = + Nɛ, und somit lässt sich die ntropie schreiben als S = k B N + ln + Nɛ k B N ln Nɛ ɛ Die Ableitung von S nach N in der Formel für das chemische Potential kann nun durchgeführt werden: N = k B T ln [ exp βɛ] Im thermodynamischen Limes N stimmt der Ausdruck für die kanonische Gesamtheit mit derjenigen der grosskanonischen Gesamtheit überein c Führe dieselbe Rechnung auch für die mikrokanonische Gesamtheit durch Die Zustandssumme kennen wir bereits; sie ist Die ntropie ist gegeben durch ZM, N = M + N! M!N! S = k B I ln 2 = k B ln ZM, N Im thermodynamischen Limes können wir die Stirling sche Formel benützen und erhalten S = k B [M + N lnm + N M ln M N ln N]

7 Die nergie = Mɛ ist fix, also ist = Mɛ, und für das chemische Potential erhalten wir N M = k B T ln + M N Mit der in Serie 6, Aufgabe 3b hergeleiteten Beziehung + M N = eβɛ e βɛ erhalten wir e βɛ µ = k B T ln e βɛ = k B T ln e βɛ e βɛ = k B T ln [ exp βɛ] Das chemische Potential der mikrokanonischen Gesamtheit entspricht im thermodynamischen Limes dem der kanonischen bzw der grosskanonischen Gesamtheit