Mathematik Klasse 11 Maximilian Ernestus 1

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1 QUADRATISCHE FUNKTIONEN UND PARABELN Mathematik Klasse 11 Maximilian Ernestus 1

2 1. Geraden und ihre Gleichungen Zu jeder Geraden lässt sich in einem Koordinatensystem eine Gleichung angeben. Diese Gleichung enthält neben der x- und der y-koordinate eines Geradenpunktes weitere Parameter, die Eigenschaften der Gerade widerspiegeln: y-achse b P(x y) a = x-achsenabschnitt b = y-achsenabschnitt m = Steigung x-achse a AAG AGG HG Mathematik Klasse 11 2

3 2. Die Konstruktion der Parabel Wir setzen den Brennpunkt F 2 cm über die Leitlinie l. Wir setzen den Punkt L 1 links von F auf l. Wir zeichnen eine Senkrechte über L 1. Wir verbinden L 1 und F und suchen auf der entstandenen Linie den Mittelpunkt M. Im Schnittpunkt zwischen der Senkrechte über M und der Senkrechte über L 1 finden wir den Punkt P. Diese Schritte wiederholen wir mehrmals, wobei wir jedes mal L x um 1 cm nach rechts verschieben. Wir finden mehrere Punkte P, die wir verbinden. Es entsteht eine Parabel Mathematik Klasse 11 3

4 Beobachtung Je größer der Faktor p ist, desto breiter wird die Parabel. Je kleiner der Faktor p ist, desto schmaler wird die Parabel. Begründung Je Größer der Abstand von F zu l ist, desto steiler wird die Verbindungslinie zwischen F und L; die Senkrechte über dieser Verbindungslinie kippt nach unten und schneidet sich näher an L. Der Punkt P liegt tiefer. 3. Die Parabelgleichung Wir wenden im schraffierten Dreieck den Satz des Pythagoras an. dann 1. oder 2. binomische Formel anwenden: Mathematik Klasse 11 4

5 Wertetabe"e X Y ±5 ±4 ±3 ±2 ±1 0 6,25 4 2,25 1 0,25 0 Bemerkung: Zur Parabelkurve gehört die Gleichung. Die x-achse liegt genau zwischen dem Brennpunkt F und der Leitgeraden l. Die x-koordinate eines Parabelpunktes kommt quadratisch vor ( ) im Unterschied zur Geradengleichung ( ). Der Faktor vor dem wird meistens mit einem Buchstaben k abgekürzt; Frage: Wo liegt der Brennpunkt der Parabel mit der Gleichung? Antwort: Mathematik Klasse 11 5

6 D E R E I N F L U S S V O N K A U F D I E P A R A B E L F O R M Der Wert K in der Gleichung bestimmt die Parabelform 1. Fall k = 1: Normalparabel 2. Fall k > 1: Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel, weil die y-werte größer als die y- Werte der Normalparabel sind 3. Fall 0 < k < 1: Die Parabel ist breiter als die Normalparabel, weil die y-werte kleiner als die y- Werte bei der Normalparabel sind. 4. Fall k = 0: Die Parabel wird zu einer waagerechten Geraden 4. Fall k < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet, weil die y-werte negativ sind. 4. Anwendungsbeispiele Ein Radioteleskop hat etwa das Aussehen eines Parabolspiegels mit dem Durchmesser d = 100m und der Höhe h = 15,625m. Herleitung der Gleichung: Ergebnis: Mathematik Klasse 11 6

7 X Y ,625 2,5 5, , Rotierende Flüssigkeit Rotiert eine Flüssigkeit in einem Zylindrischen Gefäß um die Längsachse, nimmt die O- berfläche die Form einer Parabel an. Zeichnen Sie diese Parabel, wenn der Durchmesser des Gefäßes 4 cm und die Tiefer der Wassermulde 3 cm beträgt! Rechnung Genaue Zeichnung Ergebnis: 6.Die Verwendung von Vierecken Wir legen Punkte auf der Parabel fest und ziehen mit ihnen Rechtecke. Nahe am Koordinatenursprung ist die Breite größer als die Höhe. Wenn wir uns vom KO-Ursprung entfernen wird der Unteschied zwischen Breite und Höhe geringer. In einem bestimmten Punkt entsteht ein Quadrat (mithilfe der 1. Winkelhalbierenden). entfernen wir uns noch weiter wird die Höhe länger als die Breite. Berechnung von S1: Mathematik Klasse 11 7

8 Parabelgleichung: Gleichsetzung: Allgemeine Berechnung von Umschlagpunkten Mathematik Klasse 11 8

9 8. Die Konstruktion des Brennpunktes aus einer gegebenen Parabel Wir zeichnen zuerst die erste Winkelhalbierende. Wir erhalten somit S1(2p 2p) auf der Parabel. Wir ziehen eine Senkrechte durch S1 auf die x-achse. Wir halbieren die x-koordinate auf der x-achse. Dann wird die Hälfte noch einmal halbiert. Wir erhalten damit den Brennpunkt F auf der y-achse. und Mathematik Klasse 11 9