Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /08/12 09:49:46 hk Exp $ c a b = 1 3. tan(2φ) =

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1 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 $Id: quadratischtexv 18 13/08/1 09:49:46 hk Exp $ 4 Kegelschnitte 41 Quadratische Gleichungen Nachdem wir in der letzten Sitzung die Hauptachsentransformation quadratischer Gleichungen in zwei Variablen allgemein vorgeführt haben wollen wir uns jetzt auch noch ein konkretes Beispiel für diese anschauen Wir betrachten die folgende quadratische Gleichung 4x + y xy x y = 0 also a = 4 b = 1 c = d = e = 1 und f = in der Notation der letzten Sitzung Die Diskriminante = c 4ab ergibt sich als = = 15 also ist die Lösungsmenge unserer Gleichung nach Satz 1 eine Ellipse oder eventuell eine höchstens einelementige Menge Folgen wir unserem Verfahren so müssen wir zunächst das Koordinatensystem drehen um den gemischten Term zu eliminieren wir müssen also neue Koordinaten x y mit x = cos(φ)x sin(φ)y y = sin(φ)x + cos(φ)y einführen wobei der Winkel φ durch die Bedingung bestimmt ist Also ist tan(φ) = c a b = 1 3 φ = 1 arctan es ist allerdings nicht praktisch mit diesem krummen Winkel weiterzurechnen Die transformierte Gleichung ist mit a x + b y + d x + e y + f = 0 a = a cos φ + b sin φ + c sin φ cos φ = a cos φ + b sin φ + c sin(φ) b = a sin φ + b cos φ c sin φ cos φ = a sin φ + b cos φ c sin(φ) d = d cos φ + e sin φ e = e cos φ d sin φ 17-1

2 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 wir müssen also die hier auftretenden trigonometrischen Werte sin φ cos φ und so weiter in Termen von tan(φ) ausrechnen Benutzen wir die Formel 1 + tan ψ = 1 + sin ψ cos ψ = sin ψ + cos ψ cos ψ = 1 cos ψ so wird und cos (φ) = tan (φ) = = 9 sin (φ) = 1 cos (φ) = 1 9 = 1 Wegen π/ < φ < 0 sind weiter sin(φ) = 1 und cos(φ) = 3 Benutzen wir jetzt die Verdopplungsformel des Cosinus aus so wird und ebenso cos φ 1 = cos(φ) = 3 also cos φ = 3 + = sin φ = cos(φ) = 3 also sin φ = 3 = 3 Wegen π/4 < φ < 0 ergeben sich letztlich sin φ = 3 und cos φ = + 3 Setzen wir diese Werte jetzt in die Formeln für a b d e ein so ergeben sich a = b = 4 3 d + 3 = e + 3 = = 5 + = 5

3 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 im gedrehten Koodinatensystem ist die Gleichung damit 5 + x + 5 y x y = 0 wobei wir wieder x y statt x y schreiben Im zweiten Schritt wird jetzt Ursprung des Koordinatensystems verschoben wir schreiben x = x d a und y = y e b wobei auch a b d e jetzt für die aktualisierten Koeffizienten stehen und haben ax + dx = ax d 4a sowie by + ey = y e 4b nach Verschiebung des Koordinatenursprungs nach ( d/(a) e/(b)) wird unsere Gleichung also zu ax + by + f = 0 mit In unserer Situation sind d = + 3 = f = f d 4a e 4b = = 1 = und die Rechnung für e unterscheidet sich in einem Vorzeichen und ergibt Damit werden e = + d 4a = ( + ) = ( )( ) 600 =

4 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 und also wird e 4b = + ( ) = ( + )( + ) 600 = 4 + f = = 1 5 in den Koordinaten zum neuen Ursprung ist die Gleichung also 5 + x + 5 y = 1 5 es handelt sich also um eine Ellipse mit Hauptachsen der Längen + a = b = Die Parabel Die allgemeine Gleichung des Kegelschnitts der numerischen Exzentrität ɛ > 0 mit Parameter p > 0 war gegeben als (1 ɛ )x + y pɛx p = 0 Wie nennen den Kegelschnitt eine Parabel wenn seine numerische Exzentrität ɛ = 1 ist dies bedeutete das die Schnittebene parallel zu einer Mantellinie unseres Kegels ist Die Gleichung einer Parabel mit Parameter p > 0 ist damit y px p = 0 Schreiben wir ( px + p = p x + p ) so wird die Gleichung zu ( y p x + p ) = 0 Legen wir also den Koordinatenursprung in den Punkt ( p/ 0) so nimmt unsere Gleichung die übliche Gestalt y = px an Wir wollen jetzt eine alternative geometrische Beschreibung der Parabeln herleiten eine Parabel ist die Menge der Punkte die von einer gegebenen Geraden denselben Abstand wie zu einem gegebenen Punkt haben Die Gerade nennt man dann die Leitgerade der Parabel und der Punkt ist der Brennpunkt der Parabel Da ein ähnliches Phänomen auch bei Ellipsen und Hyperbeln auftritt geben wir gleich eine allgemeine Definition für diese Leitgeraden und Brennpunkte an 17-4

5 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 Definition 41 (Leitgeraden und Brennpunkte) Sei M R eine Menge von Punkten der Ebene Ein Leitpaar von M ist ein Paar (l F ) bestehend aus einer Geraden l genannt die Leitgerade mit l M = und einem Punkt F / l genannt der Brennpunkt für das eine Konstante κ > 0 mit für alle A M existiert AF d(a l) = κ Das Verhältnis des Abstands der Punkte von M zum Brennpunkt zum Abstand der Punkte von M zur Leitgeraden soll also ein konstanter Wert κ sein Zur rechnerischen Auswertung dieser Bedingung wollen wir uns erst einmal klarmachen wie der Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnet wird Seien also l eine Gerade und A ein Punkt Schon in 15 hatten wir gesehen das d(a l) = AA ist wobei A der Lotfußpunkt von A auf l ist Nehmen wir nun an die Gerade l ist in Hessescher Normalform l = {x R n x = c} mit einem Normalenvektor n normiert auf n = 1 gegeben Dann ist A = A + d n wobei d = AA = d(a l) ist Der Betrag ist hier nötig da der Normalenvektor in die zu A entgegengesetzte Richtung zeigen kann Wegen A l ist n A = c also folgt n A = n A + d n n = c + d dh d = n A c und der gesuchte Abstand berechnet sich als d(a l) = n A c Wir behaupten jetzt das eine Parabel ein eindeutiges Leitpaar hat Zu diesem Zweck setzen wir ein Leitpaar (l F ) der als y = px gegebenen Parabel mit Brennpunkt F = (x 0 y 0 ) und Leitgerade l = {(x y) R ax + by = c} in Hessescher Normalform mit a + b = 1 an Dabei können wir den Normalenvektor auf a 0 normieren Dass (l F ) ein Leitpaar der Parabel ist bedeutet das es eine Konstante κ > 0 mit AF = κ d(a l) 17-5

6 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 für jeden Punkt A der Parabel gibt Die Punkte der Parabel schreiben wir als A = (y /(p) y) mit y R und erhalten ( ) y AF ( = p x 0 + (y y 0 ) = y4 4p + 1 x ) 0 y y 0 y + x 0 + y0 p sowie ( ) ay d(a l) = p + by c = a 4p y4 + ab p y3 + ( b ac ) y bcy + c p Dass (l F ) ein Brennpaar der Parabel ist bedeutet das für alle y R stets AF = κ d(a l) ist und ein Koeffizientenvergleich ergibt die fünf Bedingungen ( ) a (1) κ = 1 () abκ = 0 (3) κ b ac 4p 4p p p (4) κ bc = y 0 (5) c κ = x 0 + y0 = 1 x 0 p Wegen (1) muss a 0 sein und () liefert ab = 0 also b = 0 Damit ist a = 1 und wegen a 0 sogar a = 1 Gleichung (1) wird damit zu κ = 1 Weiter liefert Gleichung (4) jetzt y 0 = 0 und es verbleiben nur noch (3) c p = 1 x 0 p (5) c = x 0 Gleichung (3) ergibt x 0 = c + p und in (5) eingesetzt wird c = (c + p) = c + pc + p also p(c + p) = 0 und dies bedeutet c = p x 0 = c + p = p l p/ S p/ F 17-6

7 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 Die Parabel hat also eine eindeutige Leitgerade l gegeben durch x = p/ und einen eindeutigen Brennpunkt F = (p/ 0) Fassen wir dies in einem Satz zusammen Satz 4 (Leitgerade und Brennpunkt der Parabel) Sei P eine Parabel Dann besitzt P eine eindeutige Brenngerade l und einen eindeutigen Brennpunkt F Die Parabel besteht dann aus den Punkten deren Abstand zum Brennpunkt F gleich ihren Abstand zur Leitgeraden l ist also P = {A R : AF = d(a l)} Die Senkrechte auf l durch F ist die Achse der Parabel und schneidet die Parabel in ihrem Scheitelpunkt S wobei S der Mittelpunkt von F und dem Lotfußpunkt von F auf l ist Beweis: Wir haben bereits gesehen das wir das Koordinatensystem so wählen können dass die Parabel P als P = {(x y) R y = px} mit einem p > 0 gegeben ist Damit liefert die obige Rechnung alle Behauptungen Wir wollen jetzt die Schnitte von Parabeln mit Geraden untersuchen Die Parabel P sei weiterhin in der Form y = px gegeben Wir hatten Schnitte von Geraden mit Kegelschnitten schon im allgemeinen Fall untersucht und wollen die hergeleiteten Formeln speziell im Fall ɛ = 1 anwenden Dabei müssen wir beachten das sich diese Formeln auf die Form y px p = 0 der Parabelgleichung beziehen und wir inzwischen die transformierte Variable x = x + p/ verwenden Zunächst hatten wir gesehen das jede waagerechte Gerade die Parabel P in genau eim Punkt trifft ist c R und betrachten wir die durch y = c gegebene waagerechte Gerade so ist dieser Schnittpunkt in (x y) = (c /(p) y) Nun sei l eine nicht waagerechte Gerade etwa gegeben durch x = my+t mit m t R beziehungsweise x = my+t p/ = my+t mit t = t p/ Unsere allgemeinen Überlegungen ergeben das l genau dann eine Passante von P ist wenn t < (m + 1)p/ = m p/ p/ gilt und dies ist gleichwertig zu t < m p/ Damit haben wir alle Passanten bestimmt und wir kommen nun zu den die Parabel P treffenden nicht waagerechten Geraden Nehme also an dass l durch einen Punkt (x y) P geht dh es sind y = px und t = x my beziehungsweise t = x my p/ Unsere allgemeinen Rechnungen zeigen dann das l genau dann keine Sekante von P ist wenn t = (m +1)p/ = m p/ p/ gilt dh wenn t = m p/ ist Setzen wir t = x my und x = y /(p) ein so wird diese Bedingung zu 0 = pm my + x = pm y my + p = p (m ) yp y m + = p ( m y p p) dh geanu dann ist l keine Sekante wenn Steigung und Achsenabschnitt von l als m = y p und t = x my = x y p 17-7

8 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 gegeben sind Es gibt also durch jeden Punkt der Parabel genau eine Gerade die weder eine Sekante noch parallel zur Achse beziehungsweise senkrecht auf der Leitgeraden ist und diese Gerade nennen wir eine Tangente an die Parabel Definition 4 (Tangenten einer Parabel) Seien P eine Parabel und A P Die Tangente t an P in A ist dann die nicht zur Achse von P parallele Gerade mit P t = {A} Diese Definition der Tangente stimmt mit der differentialgeometrisch definierten Tangente überein da die Parabelgleichung y = px durch Ableiten zu y dy = p dx wird Wir wollen jetzt noch einen Satz über die Tangenten einer Parabel beweisen dies wird uns dann auch auf die Bedeutung des Brennpunkts führen Satz 43 (Tangentenwinkel an einer Parabel) Sei P eine Parabel mit Leitgerade l und Brennpunkt F Weiter sei A ein Punkt auf P und bezeichne F den Lotfußpunkt von A auf l und t die Tangente von P in A Dann ist t die Winkelhalbierende bei A im Dreieck F F A Beweis: Es ist AF = d(a l) = AF also ist das Dreieck F F A bei A gleichschenklig Nach Aufgabe (9a) ist die Winkelhalbierende g des Dreiecks F F A bei A damit gleich der Mittelsenkrechten von F F Da AF senkrecht auf der Leitgeraden F l ist ist AF parallel zur Achse von P also ist g nicht parallel zur Achse von P Wir behaupten jetzt das g keine Sekante von P ist Andernfalls S gäbe es einen Punkt B A auf P und g und wir t F F l bezeichnen den Lotfußpunkt von B auf l als F Da B auf der Mittelsenkrechten von F F liegt ist BF = BF und da B auch auf der Parabel liegt haben wir BF = d(b l) = BF = BF dh B liegt auch auf der Mittelsenkrechten von F F Damit muss F = F und somit A = B sein ein Widerspruch Also ist g keine Sekante von P und dies bedeutet das g = t die Tangente von P im Punkt A ist A B Diesen Satz kann man jetzt physikalisch interpretieren Angenommen ein Lichtstrahl g fällt parallel zur Achse der Parabel in die Parabel ein und wird an einem Punkt A der Parabel reflektiert Bei einer solchen Reflektion ist der Ausfallswinkel des reflektierten Lichtstrahls g gleich dem Einfallswinkel von g dh der Winkel zwischen g und g wird von der Tangente t halbiert Da g parallel zur Achse der Parabel ist trifft die Fortsetzung von g über A hinaus senkrecht auf die Leitgerade und damit ist die Tangente t 17-8

9 Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 nach dem eben bewiesenen Lemma auch die Winkelhalbierende von g und AF dh g ist AF und somit läuft g durch den Brennpunkt F g t α F F g α α A Spiegelung an der Parabel S Parabolspiegel Dies erklärt den Namen Brennpunkt wird die Parabel zur Sonne ausgerichtet so fallen alle Lichtstrahlen parallel zur Achse ein und bündeln sich damit nach Reflektion an der Parabel im Brennpunkt Rotiert man die Parabel um ihre Achse so erhält man einen Parabolspiegel und da alle gedrehten Parabeln dieselbe Achse und denselben Brennpunkt haben bündeln sich nach Ausrichtung zur Sonne alle eingehenden Lichtstrahlen im Brennpunkt 17-9