Klasse 9b. Mathematische Überlegungen zum Fußball

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1 Klasse 9b Mathematische Überlegungen zum Fußball Was hat Mathe mit einem Fußball zu tun? Diese Frage beschäftigt nicht gerade viele Menschen, ausgenommen Mathelehrer und die Schüler der 9b. So zum Einstieg falls ihr nicht wisst, wie ein Fußball aussieht: In der Nähe müsste übrigens einer herumliegen. Schaut ihn euch doch mal genauer an! Natürlich sind heute auch andere Formen für den Fußball gebräuchlich, der Aufbau aus Fünfecken und Sechsecken war jedoch lange Zeit der einzig verwendete. Der Ball ist rund und ein Spiel dauert 90 Minuten. (Sepp Herberger) Dieses Sprichwort kennt wohl jeder, doch ist es auch richtig? Rechnet man die Nachspielzeit mit, übersteigt die Spielzeit 90 Minuten. Und ist der Ball auch wirklich rund? Wir haben uns mal näher mit diesem Thema beschäftigt und herausgefunden, dass ein Fußball gar nicht so rund ist! Tatsächlich besteht der Ball aus zahlreichen ebenen Flächen. In der Mathematik sagt man dazu Polyeder.

2 Die Schwierigkeit beim Herstellen eines kugelrunden Balles liegt ganz einfach in der Tatsache, dass eine ebene Fläche, in unserem Fall das Leder, zwar um eine Kugel herumgelegt werden kann, dieses dann aber stets Falten schlägt. Der Fußball besteht deshalb aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken, die miteinander vernäht werden. Dabei grenzen jeweils drei Fünfecke und drei Sechsecke an ein Sechseck und fünf Sechsecke grenzen an ein Fünfeck. Wenn man sich einigermaßen geschickt anstellt, kann man dies leicht durch Nachzählen bestätigen. Und wie siehts mit der Anzahl an Kanten und Ecken aus? Könnt ihr die auch zählen? und? Hab ihr s?? Oder war es euch zu mühsam? Also, wir hatten mächtig Schwierigkeiten und eigentlich waren wir auch zu faul. Deswegen haben wir nach Alternativen gesucht. Tatsächlich lässt sich die Zahl der Ecken mit Hilfe einer leichten Überlegung finden. Da die zwölf Fünfecke keine Ecken miteinander gemeinsam haben, ergibt sich die Gesamtzahl der Ecken zu 12 5 = 60. Auf der Suche nach der Kantenzahl stießen wir auf einen Mathematiker namens Leonhard Euler ( ), der bestimmt nicht faul war wie wir, aber dafür genial. Mit der berühmten Eulerschen Polyederformel können wir die Kantenzahl ohne Schwierigkeiten bestimmen.

3 Diese lautet: Seien E die Anzahl der Ecken, F die Anzahl der Flächen und K die Anzahl der Kanten eines konvexen Polyeders, dann gilt: E+F-K= 2 Mit E = 60 und F = 32 ergibt sich F zu 90. Der Ball hat somit 90 Kanten. Für den aufmerksamen Leser stellt sich natürlich die Frage, warum man für die Herstellung von Fußbällen Fünf- und Sechsecke verwendete. Es wären doch theoretisch auch Dreiecke, Quadrate, u.ä. möglich. Tatsächlich finden sich viele Körper, die einer Kugel sehr nahe kommen. Bei unserer Suche nach ballähnlichen Formen stießen wir auf die Platonischen und Archimedischen Körper. Im Folgenden ein kurzer Überblick: Die fünf Platonischen Körper:

4 Schneidet man von diesen die Ecken ab, erhält man bereits kugelähnliche Körper: Weitere für uns interessante Formen sind die Folgenden:

5 Unter diesen Körpern wählt man nun die aus, die möglichst rund sind, oder, genauer gesagt, bei denen das Verhältnis von Inkugelradius zu Umkugelradius möglichst groß ist. Dann sind sich die beiden Kugeln am ähnlichsten, der Körper erscheint dann am rundesten. Die Inkugel ist dabei die größte Kugel, die in den jeweiligen Körper passt, die Umkugel, die kleinste Kugel, in die der Körper passt. Man erhält folgende Tabelle: Körper Inkugelradius/ Anzahl der Flächen Umkugelradius pro Ecke Rhombenikosidodekaeder % 4 abgeschrägtes Dodekaeder % 5 abgestumpftes Ikosaeder % 3 abgestumpftes Ikosidodekaeder % 3 Bei allen anderen aufgeführten Körpern werden die Verhältnisse noch kleiner. Es ist nachteilig, viele Flächen an einer Ecke zusammennähen zu müssen. Daher wird man unter den rundesten Körper diejenigen bevorzugen, bei denen nur drei Flächen an einer Ecke zusammentreffen. Außerdem ist es vorteilhaft, wenn der Körper nicht zu viele Flächen und Kanten besitzt. Durch die Zahl der Kanten wird ja die Zahl der benötigten Nähte bestimmt. Unter Berücksichtigung dieser Randbedingungen fällt die Wahl auf das abgestumpfte Ikosaeder mit seinen 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 regelmäßigen Sechsecken. Dieser Fußball wurde zum ersten Mal bei der WM 1970 in Mexico eingesetzt.

6 Tatsächlich haben auch fast alle Fußbälle die Grundform eines abgestumpften Ikosaeders. Selten kann man auch einen Fußball in Form eines Rhombenikosidodekaeders mit seinen 20 regelmäßigen Dreiecken, 30 Quadraten und 12 regelmäßigen Fünfecken antreffen. Fazit: Lieber Sepp Herberger, damit ist bewiesen: Der Ball ist eckig und das Spiel dauert keine 90 Minuten! Wissenswertes über die Produktion heutiger Fußbälle Fußbälle bestehen überwiegend aus Kunstleder, das mit einem Stoffbelag unterklebt wird. Die Kunstlederstücke werden in fünfeckige und sechseckige Panels gestanzt. Für einen Fußball benötigt man 12 Fünfecken und 20 Sechsecken. Ein Sechseck bekommt ein Loch für das Ventil. Das Zusammennähen der Panels ist mühsame Arbeit und kann nicht mit Maschinen erledigt werden. Zuerst werden Löcher mit der Hand in die Panels gestochen, durch die später Nadel und Faden gezogen werden. Insgesamt werden 1000 Löcher gestochen. Wenn noch ein Panel übrig bleibt, wird der Ball nach außen gewendet, sodass man die richtige Seite sieht. Dies ist sehr kompliziert zu nähen, denn man darf die Naht nicht sehen (blinder Stich).

7 Zum Schluss werden die Bälle aufgepumpt und kontrolliert, das heißt, dass sie gewogen werden und der Durchmesser überprüft wird. Er muss zwischen 420g und 445g wiegen und der Durchmesser muss zwischen 68,5cm und 69,5 cm liegen. Seit kurzem drängen neue Fußballformen auf den Markt: Erstmals ersetzen zungenförmige und propellerähnliche Elemente die seit Jahrzehnten bekannten Fünf- und Sechsecke. Zudem wurden die Einzelflächen von 32 auf 14 reduziert. Weniger Schnittkanten und mehr Rundungen bedeuten auch weniger Nahtstellen und Ecken in der Außenhaut, die Spieler treffen häufiger eine glatte Fläche. Diese neue Form hat nur noch eine Abweichung von 1 zur perfekten Kugel. Quellen: u.ä.