10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

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1 Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält ma eie Puktmege. Begit ma diese Vorgag darüberhiaus mit = ud durchläuft alle weitere aus de atürliche Zahle bis zu eiem Wert = k, ergibt sich eie Puktmege, die sich folgedermaße aschreibe läßt: f: N k R, f() {(,f()), (,(f()), (3,f(3)),..., (k,f(k )), (k,f(k))} Die Mege N k steht i diesem Zusammehag für die Mege N = {,, 3,..., k, k}. Durch die Wahl der Argumete aus de atürliche Zahle ist i der obige Puktmege gleichzeitig eie Reihefolge der Pukte festgelegt. Es würde also geüge, ur die Fuktioswerte f() azuschreibe, um die obige Puktmege eideutig zu bestimme. Diese Fuktioswerte f() lege somit eie sogeate Folge vo Zahle fest, wobei durch das Argumet eie Platzummer ud somit eie Reihefolge festgelegt ist. Ma bezeichet die Mege N k auch als Idexmege. Da sich Fuktioswerte wiederhole köe, ka eie Folge vo Fuktioswerte icht wie eie Mege ageschriebe werde. Ma verwedet stattdesse sogeate Folgeklammer ud, um eie Folge azugebe: f(), f(), f(3),..., f(k ), f(k) Ist die Idexmege ubegrezt, also N, so spricht ma vo eier uedliche Folge, asoste vo eier edliche Folge. Die Elemete der Folge werde auch als Glieder der Folge bezeichet, etspreched ihrer Positio auch als -tes Glied. Um die Zugehörigkeit zu eier Folge zu verdeutliche werde die Glieder eier Folge als a (oder b usw.) ageschriebe. Eie Fuktio f über eiem Abschitt N k als Defiitiosmege et ma eie edliche Folge: a, a, a 3,..., a k, a k Eie Fuktio f über eiem Abschitt N als Defiitiosmege et ma eie uedliche Folge: a, a, a 3,..., a k, a k,

2 Folge, Reihe, Grezwerte (b) Festlege vo Folge Es gibt folgede Möglichkeite Folge festzulege: Agabe aller Glieder der Folge (bei edliche Folge) Beispiele:, 3, 5, 7,, 3 Folge der Primzahle kleier 5 a, e, i, o, u Folge der Vokale des Alphabets Agabe des erzeugede Terms Ist die Folge durch eie Term darstellbar, erhält ma jedes Glied der Folge durch Belege des Terms mit der jeweilige Idexummer. Beispiele: für N 4, 0,, 4 5 ( ) für N 0, 0, 40, 80,... für N,,,... Die letzte Folge bezeichet ma auch als kostate Folge. Ist bei eier Folgeagabe durch eie Term keie Idexmege agegebe, so gilt vereibarugsgemäß N als Idexmege. Agabe durch eie Rekursiosformel Das Erzeuge vo Folge erfolgt machmal schrittweise, idem eie Vorschrift agegebe ist, ach der das ächstfolgede Glied aus eiem oder mehrere voragehede Glieder zu bereche ist. Eie solche Vorschrift et ma Rekursiosformel. Zusätzlich müsse zumidest die otwedige Afagsglieder bekat sei. Beispiele: a+ = a +, a = 3 3,,, 3,... a+ = a + a, a =, a =,,, 3, 5, 8, 3,

3 Folge, Reihe, Grezwerte (c) Arithmetische Folge Wir betrachte die lieare Fuktio f: y = k x+d. Diese Fuktio hat ihre Name icht zuletzt aufgrud der Tatsache, daß bei fortschreitede Werte vo x die Fuktioswerte y um de gleiche lieare Faktor zuehme. Aders ausgedrückt: gleicher Zuwachs bzw. Abahme der Werte vo x - z.b. um h - bewirkt immer gleiche Äderug der Werte vo y. Größe dieser Äderug ist da k h. Greift ma ämlich zwei beliebige Pukte auf dem Fuktiosgraphe heraus, so köe diese Pukte P, P folgede Koordiate P (x y ) ud P (x y ) habe, wobei x = x +h gewählt wird, damit x x = h gilt. Setzt ma die Koordiate dieser Pukte i die Fuktiosgleichug ei ud subtrahiert sie voeiader um das d zu elimiiere, so erhält ma: y = k (x+h) + d y = k x + d y y = k (x+h) k x ud ach dem Zusammefasse y y = k h Der Graph dieser Fuktio f: y = k x+d für gazzahlige x ist eie Puktemege, wobei die eizele Pukte auf der reelle Fuktio y = kx+d, eier Gerade, liege. Wählt ma ei Itervall aus de x-werte aus ud umeriert die x-werte mit begied durch, so ergibt sich für die y-werte eie Folge, die die charakteristische Eigeschaft hat, daß die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder dieser Folge immer gleich groß ist (siehe obe für h = ). Eie Folge dieser Art bezeichet ma als arithmetische Folge. Jede Folge, bei der die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist, heißt arithmetische Folge. Üblicherweise hat sich für die Bezeichug der Glieder eier arithmetische Folge eie eigee Schreibweise ergebe, die jedoch vo der Schreibweise der lieare Fuktioe abweicht. Um die obe geate Eigeschafte zu verdeutliche wurde folgede Bezeichuge gewählt: a... Afagsglied,... Idexummer des jeweilige Gliedes, d... Differez zweier Glieder Da a = a +d, a 3 = a +d = a +d,..., a = a +d = a +( ) d gilt, ergibt sich: Eie arithmetische Folge hat die Form a, a +d, a +d,..., a +( ) d,

4 Folge, Reihe, Grezwerte Diese Folge hat eiige charakteristische Eigeschafte: Ausgehed vo eiem Afagsglied, werde die Folgeglieder immer durch Additio ei ud derselbe Zahl ermittelt. Daher muß die Differez aufeiaderfolgeder Glieder kostat sei. Es gilt: a a = (a + d) a = d a 3 a = (a + d) a = d... a + a = (a + d) a = d Das sogeate arithmetische Mittel, der übliche Mittelwert, der Nachbarglieder jedes Folgeelemets ergibt das jeweilige Folgeelemet. Es gilt: a + a+ ( a+ ( ) d) + ( a+ d) a+ ( ) d = = = a + ( ) d = a Zwische zwei Glieder a r ud a s eier arithmetische Folge besteht die Beziehug a s = a r + (s r) d de a r = a + r d, a s = a + s d = a + r d + (s r) d = a r +(s r) d Somit ist auch folgede Defiitio für arithmetische Folge möglich: Jede Folge, die durch eie lieare Term i über N k oder N erzeugt wird, heißt arithmetische Folge. Beispiel: Ei Skriptum mit 500 Seite ist 5 mm dick, wobei der Eibad mm stark ist. Bereche Sie, wie dick ei Skriptum mit 30 Seite bzw. mit 780 Seite ist. Da azuehmederweise die Seite des Skriptums stets gleich dick sid, ergibt sich eie arithmetische Folge mit der Dicke des Eibads als Afagswert a ud der Dicke eier Seite als Differez d, welche och zu ermittel ist. a =, a = a d = 5 50 a a = 500 d = 50, d = 0, 50 a a 3 78 = , = 34 = , = 80 Das eie Skriptum ist 34mm, das adere 80mm dick

5 Folge, Reihe, Grezwerte Beispiel: Eie m lage Eisebahschiee deht sich bei Erwärmug um o C um, 0 5 m aus. Bereche Sie die Ausdehug eier 40 Meter lage Schiee ach eier Erwärmug um 0, um 0 ud um 300 Celsius. Da Eisebahschiee i der Natur verlegt icht über eie bestimmte Wert (z.b. 700 C bei Schellbremsug des Zuges) erhitzt werde köe, bilde die temperaturabhägige Lägeäderuge eie edliche arithmetische Folge. a = 40, d = 40, 0 = 4, a = a + 0 d = , 8 0 = 40, a = a + 0 d = , 8 0 = 40, a = a d = , 8 0 = 40, Die Schiee dehe sich bei 0 C Temperaturerhöhug um 4,8 mm, bei 0 um 57,6 mm ud bei 300 um 44 mm aus. Beispiel: Im Jahr 0 behadelte der italieische Mathematiker Leoardo vo PISA eie Zahlefolge, die durch die Vermehrug eies Kaichepaares beschriebe werde ka. Das Paar wirft vom 3. Lebesmoat a i jedem Lebesmoat ei weiteres Kaichepaar, ebeso wie alle seie Nachkomme. Überprüfe Sie, ob es sich bei der moatliche Azahl der Kaichepaare um eie arithmetische Folge hadelt. Aus mathematischer Sicht ist dieser Vermehrug keie Greze gesetzt. Die Folge ist über also über N defiiert. Ma ket a = ud a =, da es erst ab dem 3. Moat Nachwuchs gibt. Somit ergebe sich die weitere Folgeglieder: a 3 = a + a =, a 4 = a + a 3 = 3, a 5 = a 3 + a 4 = 5, a 6 = a 4 + a 5 = 8, a 7 = a 5 + a 6 = 3, usw. Ud gesamt:,,,3,5,3,,34,55,... bzw. a + = a + a Ma erket, daß es sich bei diesem Beispiel um keie arithmetische Folge hadelt

6 Folge, Reihe, Grezwerte (d) Geometrische Folge Im folgede Abschitt solle ähliche Betrachtuge u für die Expoetialfuktio agestellt werde. Betrachtet ma zwei Pukte P (x c a x ) ud P (x c a x ) der Expoetialfuktio y = c a x ud errechet de relative Uterschied der Fuktioswerte (d.h. de Quotiete der Fuktioswerte), so erhält ma für x = x +h: y y y y c a = c a = c a = c a x + h x x x + h h = a Ma erket, daß gleicher Zuwachs der x-werte (hier um h) immer gleiche relative Äderug der Fuktioswerte y im Verhältis a h zur Folge hat. Oder aders ausgedrückt: der Fuktioswert des um h vergrößerte Argumets uterscheidet sich vom ursprügliche um de Faktor a h, also y = y a h. Der Graph der Fuktio f: y = c a x für gazzahlige x ist eie Puktemege, wobei die eizele Pukte auf der Trägerkurve der reelle Fuktio y = c a x liege. Wählt ma ei Itervall aus de x-werte aus ud umeriert die x-werte mit begied durch, so ergibt sich für die y-werte eie Folge, die die charakteristische Eigeschaft hat, daß der Quotiet zweier aufeiaderfolgeder Glieder dieser Folge immer gleich groß ist (siehe obe für h = ). Eie Folge dieser Art bezeichet ma als geometrische Folge. Jede Folge, bei der der Quotiet zweier aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist, heißt geometrische Folge. Üblicherweise hat sich für die Bezeichug der Glieder eier geometrische Folge eie eigee Schreibweise ergebe, die jedoch vo der Schreibweise der Expoetialfuktio abweicht. Um die obe geate Eigeschafte zu verdeutliche wurde folgede Bezeichuge gewählt: b... Afagsglied,... Idexummer des jeweilige Gliedes, q... Quotiet Da b = b q, b 3 = b q = b q,..., b = b q = b q usw. gilt, ergibt sich: Eie geometrische Folge hat die Form b, b q, b q,..., b q,

7 Folge, Reihe, Grezwerte Diese Folge hat eiige charakteristische Eigeschafte: Ausgehed vo eiem Afagsglied, werde die Folgeglieder immer durch Multiplikatio mit ei ud derselbe Zahl ermittelt. Daher muß der Quotiet aufeiaderfolgeder Glieder kostat sei. Es gilt: b b b b b b 3 + b q = = q b b q = = q b... b q = = q b Das sogeate geometrische Mittel der Nachbarglieder jedes Folgeelemets ergibt das jeweilige Folgeelemet. Es gilt: b b = b q b q = b q = b q = b + Somit ist auch folgede Defiitio für geometrische Folge möglich: Jede Folge, die durch eie Expoetialterm der Form b q i über N k oder N erzeugt wird, heißt geometrische Folge. Beispiel: Füf i frischer Kuhmilch eigebrachte Keime (z.b. Milchsäure- bakterie) verdoppel sich bei Temperature über 30 o C alle 0 Miute. Bereche Sie die Azahl ach 4 ud Stude. Da sich die Azahl der Keime alle 0 Miute verdoppelt, etspricht dies eier Multiplikatio mit. Um die Azahl ach x Stude zu bereche, müsse die Stude och jeweils auf Vielfache vo 0 umgerechet werde. b = 5, q = b = b q = 5 = b = b q = 5 = Nach 4 Stude sid es 0480 Keime, ach Stude fast 69 Milliarde Keime

8 Folge, Reihe, Grezwerte (e) Mootoie vo Folge Bei de bisherige Folge kote ma meist ei Zuehme oder Abehme der Werte der Folgeglieder mit wachsedem Idex feststelle. Allgemei läßt sich dieser Sachverhalt folgedermaße formuliere: Eie Folge vo Zahle a heißt streg mooto zuehmed bzw. abehmed, we für alle a, a + gilt: a < a + bzw. a >a + Eie Folge vo Zahle a heißt mooto zuehmed bzw. abehmed, we für alle a, a + gilt: a a + bzw. a a + Mit dieser Defiitio gleichwertig ist das Kriterium, ob die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder eier Folge größer bzw. kleier (streg mooto) oder größer gleich bzw. kleier gleich (mooto) Null ist. Folge, auf die keies der obe geate Kriterie zutrifft, bezeichet ma als icht mootoe Folge. Folge, bei dee darüberhiaus aufeiaderfolgede Glieder jeweils uterschiedliches Vorzeiche aufweise (z.b. ( ) ), bezeichet ma als alterierede Folge. Als ei Soderfall ist och die kostate Fuktio (z.b. ) azuführe, die sowohl mooto zuehmed als auch mooto abehmed ist. Beispiel: Überprüfe Sie, ob die Folge + streg mooto zuimmt. a < a + ( + ) < + ( + ) + + < + + ( )( + ) < ( + )( + ) + 3 < + 3+ < Die Folge ist streg mooto zuehmed. Da die Berechuge zu eier für alle N wahre Aussage führe, ist die Voraussetzug - ämlich, daß die Folge streg mooto zuimmt - als bewiese azusehe

9 Folge, Reihe, Grezwerte 0.. Reihe (a) Defiitio I mache Fälle sid icht ur die eizele Glieder eier Folge iteressat, soder auch die Summe eizeler Glieder dieser Folge. Beispiel: Die achstehede Folge gibt die Niederschlagsmege i mm vo Jäer bis Dezember eier Stadt wieder: 8,, 5, 33, 65, 37, 05,, 63, 48, 75, 8. Bereche Sie jeweils die Niederschlagssumme bis zum Ede jedes Quartals. Die Niederschlagssumme bis zum Ede jedes Quartals ist offesichtlich die Summe der eizele Moatsiederschlagsmege bis zum 3., 6., 9. ud. Moat. s s 9 s 6 s 3 = = 08 = = 43 = = 53 = = 673 Im obige Beispiel wurde der Folge der Moatsiederschläge a die Folge s zugeordet, wobei s jeweils die Summe der erste Glieder der Folge a ware. Die eizele s sid also Teilsumme. Die so etstehede Folge der Teilsumme bezeichet ma als die der Folge a zugeordete Reihe. Uter eier Reihe vo Zahle versteht ma die Folge der Teilsumme s, s, s 3,...,s,..., die der Folge a, a, a 3,..., a,... zugeordet wird. Je achdem ob die Azahl der Glieder der Folge a edlich ist oder uedlich, spricht ma vo eier edliche oder eier uedliche Reihe. Die Summatio s = s +s +...+s läßt sich mit dem Summesymbol Σ vereifacht aschreibe: Summe s aller a i vo i = bis s = a + a a = a i i= - 0 -

10 Folge, Reihe, Grezwerte (b) Arithmetische Reihe Die eier arithmetische Folge zugeordete Reihe heißt arithmetische Reihe. Da die eizele Glieder eier arithmetische Folge durch de lieare Term a = a +( ) d gebildet werde, ka ma sich zurecht die Frage stelle, ob sich die Teilsumme s icht ebefalls durch eie Termdarstellug gewie lasse. Allgemei gilt für das Glied s eier arithmetische Reihe s = a +a +a a - +a. Laut Bildugsterm gilt weiters s = a +(a +d)+(a +d)+...+(a +( )d)+(a +( )d). Faßt ma u das erste ud das letzte Glied zusamme, daach das zweite ud das vorletzte, usw., so ergebe sich immer wieder glieche Teilsumme: a +a a +a = a +a = (a +d)+(a +( )d) = a +(a +( )d) = a +a a 3 +a = (a +d)+(a +( 3)d) = a +(a +( )d) = a +a... a +a a +a = (a +( )d)+(a +d)=a +(a +( )d) = a +a = a +a Addiert ma u alle Zeile, so steht liks zweimal die Summe aller Glieder, also s. Auf der rechte Seite wird -mal die Summe a +a addiert. Es ergibt sich also: s = (a +a ) Die Summe der erste Glieder eier arithmetische Folge beträgt: s a a = ( + ) a d bzw. s = [ + ( ) ] Beispiel: Bereche Sie die Summe der atürliche Zahle vo bis 00. a =, a = 00, d = 00 ( + 00 ) s = = ( + 99 ) s = = 5050 Diese Aufgabe ist berühmt geworde, da Carl Friedrich GAUSS, eier der größte Mathematiker der Geschichte, sie im Alter vo 4 Jahre ohe Aleitug löse kote

11 Folge, Reihe, Grezwerte (c) Geometrische Reihe Die eier geometrische Folge zugeordete Reihe heißt geometrische Reihe. Da die eizele Glieder eier geometrische Folge durch de lieare Term b = b q gebildet werde, ka ma sich auch hier die Frage stelle, ob sich die Teilsumme s icht ebefalls durch eie Termdarstellug gewie lasse. Allgemei gilt für das Glied s eier geometrische Reihe s = b +b +b b +b. Laut Bildugsterm gilt weiters s = b +b q+b q +...+b q +b q. Multipliziert ma diese Gleichug mit q, so erhält ma q s = b q+b q +b q b q +b q. Subtrahiert ma u die beide Gleichuge voeiader, so falle die meiste Glieder weg s q s = b +b q+b q +...+b q +b q (b q+b q +b q b q +b q ) = b b q. Für s ergibt sich dadurch s ( q) = b ( q ) Die Summe der erste Glieder eier geometrische Folge beträgt: s q = b q bzw. s b q = q jeweils für q Für q = erhält ma die offesichtliche Summe s = b. Es ist zweckmäßig, die erste Formel für 0<q< zu verwede ud die zweite für q>. Beispiel: Eiem Quadrat mit der Seiteläge 6cm wird ei weiteres Quadrat so eige- schriebe, daß seie Eckpukte i die Seitemitte des gegebe Quadrats falle. I das zweite Quadrat wird auf gleiche Weise wieder ei Quadrat eigeschriebe ud so fort. Bereche Sie die Summe der Flächeihalte der erste Quadrate. A b b A = b = 6 = 36 + b A b b q, =, = =, = = A s 36 = 05, = 7984,... 05, Der Flächeihalt der erste Quadrate beträgt 7,98cm

12 Folge, Reihe, Grezwerte 0.3. Awedug Folge ud Reihe Aus der Vielfalt der Awedugsbereiche vo Folge ud Reihe - Folge ud Reihe i Verbidug mit Grezwertberechuge bilde die Grudlage der höhere Mathematik - soll hier der Awedugsbereich der Fiazmathematik herausgegriffe werde. Geau geomme habe die bisherige Ausführuge über Zise ud Ziseszise bereits ege Zusammehag zum Abschitt Folge gezeigt. Betrachtet ma ämlich ei Kapital ud sei jährliches Wachse bei eiem bestimmte Zissatz, so ergebe die Kapitalbeträge am Jahresede bei eifacher Verzisug eie arithmetische Folge; bei Verzisug uter Berücksichtigug der Ziseszise führt die obige Kapitalfolge zu eier geometrische Folge. (a) Reterechug Der folgede Abschitt beschäftigt sich mit der Berechug sogeater Rete. Als Rete bezeichet ma eie Folge vo Zahluge gleicher Größe i gleiche Zeitabstäde. Die Aufgabe der Reterechug besteht u dari, de Wert aller Reterate für eie bestimmte Zeitpukt zu ermittel. Beispiel: Jemad zahlt 4 Jahre lag jeweils am Ede eies jede Jahres ÖS 0000,- auf ei Sparkoto ei. Wie groß ist der Wert der Eizahluge am Ede des 4. Jahres, we die Eizahluge mit p = 6% p.a. Ziseszis verzist werde? Bezeichet ma mit t = 0 de Begi dieser Rete, so wird zum Zeitpukt t =, t =, t = 3 ud t = 4 jeweils die Reterate eibezahlt. Der Betrag zum Zeitpukt t = wird bis zum Ede der Rete, also t = 4, über 3 Periode verzist, der Betrag zum Zeitpukt t = wird über Periode verzist, usw. Der letzte Betrag zum Zeitpukt t = 4 wird also ur mehr dem Kapital uverzist hizugezählt , = 90, , = , = Summe 43746,6 Nach 4 Jahre ist der Wert der Rete ÖS 43746,

13 Folge, Reihe, Grezwerte Im vorige Beispiel wurde der Wert der Rete für das Ede t = der Rete bestimmt. Diese Wert bezeichet ma als de Edwert E eier Rete. Wird im Gegesatz dazu der Wert der Rete für de Zeitpukt t = 0 bestimmt, so et ma diese Betrag de Barwert B der Rete. Der Wert eier Rete zu eiem Zeitpukt t ist als der Betrag zu verstehe, de ma zum Zeitpukt t eimalig zu bezahle hätte, um alle bis dahi geleistete Zahluge samt Ziseszise abzugelte. Der Edwert ist da also der Gesamtwert der Rete am Ede der Rete; der Barwert ist jeer Betrag, de ma am Begi der Rete als eimalige Betrag eizahle muß, um ach Zisperiode zum gleiche Edwert zu gelage. Im Rahme der Reterechug uterscheidet ma darüberhiaus verschiedee Arte vo Rete, abhägig vom Zeitpukt der Zahlug der Reterate. Wird die Reterate wie im vorige Beispiel jeweils am Ede der Reteperiode bezahlt, so spricht ma vo eier achschüssige (postumerado) Rete; die erste Zahlug erfolgt somit zum Zeitpukt t =. Wird die Reterate jeweils am Begi der Reteperiode bezahlt, so spricht ma vo eier vorschüssige (präumerado) Rete; die erste Zahlug erfolgt also zum Zeit-pukt t = 0. Prizipiell köte darüberhiaus och zwische vor- ud achschüssige (atizipativ ud dekursiv) Zissätze uterschiede werde; da sich aber ei vorschüssiger Zissatz jederzeit i eie achschüssige umreche läßt ud umgekehrt, beschräke sich die folgede Ausführuge, falls icht aders agegebe, immer auf dekursive Zissätze. Im vorige Beispiel kote ma darüberhiaus feststelle, daß die eizele Reterate zum Ede der Rete higerechet eie geometrische Folge bilde. Die Summe der Werte der eizele Reterate zum Zeitpukt t =, also de Edwert, hätte ma mit der etsprechede Summeformel für geometrische Folge leichter erreche köe. Die Folge der Edwerte eier Rete ach jeweils eier weitere Reteperiode bilde also eie geometrische Reihe. Für das vorige Beispiel heißt das: s 4 b = 0000, q = 06,, = 4, = 06, = , Nach 4 Jahre ist der Wert der Rete ÖS 43746,

14 Folge, Reihe, Grezwerte Verallgemeiert ma diese Zusammehäge, so ka ma für Barwert ud Edwert eier achschüssige Rete allgemeie Formel erstelle, da der Barwert durch Abzise über alle Reteperiode aus dem Edwert hervorgeht. Für eie achschüssige Rete mit der Reterate R, dem Zissatz p (pro Reteperiode) ud der Retedauer (i Reteperiode) gilt mit q = + : p 00 Edwert: E R q = q Barwert: B q = R q ( q ) mit: E = B q Das hochgestellte bei de Formel soll verdeutliche, daß es sich um die Berechug eier achschüssige Rete hadelt. Für eie vorschüssige Rete gilt, daß die eizele Reterate jeweils um eie Reteperiode läger verzist werde, da sie früher bezahlt wurde. Verzist ma also Barwert ud Edwert eier achschüssige Rete für eie Periode, so erhält ma Barwert ud Edwert der vorschüssige Rete. Für eie vorschüssige Rete mit der Reterate R, dem Zissatz p (pro Reteperiode) p ud der Retedauer (i Reteperiode) gilt mit q = + : 00 Edwert: v E R q q = q Barwert: v B = R q q ( q ) mit: v v E = B q Diesmal zeigt das hochgestellte v a, daß es sich um die Berechug eier vorschüssige Rete hadelt. Zusammehag vorschüssig-achschüssig v E = E q ud v B = B q Die obige Formel sid uabhägig vo der Läge der Reteperiode. Die Formel behalte also ihre Gültigkeit, we die Reteperiode icht wie im Beispiel ei Jahr beträgt. Zu berücksichtige ist jedoch, daß der Zissatz für die jeweilige Reteperiode gelte muß; ist dies icht der Fall, so muß der Zissatz (wie im Kapitel Ziseszisrechug beschriebe) umgerechet werde. Die derzeitige mathematische Mittel ermögliche u die wesetliche Berechuge im Rahme der Reterechug, wie die folgede Beispiele zeige

15 Folge, Reihe, Grezwerte Beispiel: Bereche Sie de Barwert eier 5-jährige vorschüssige Rete mit der Reterate ÖS 6600,- zu p = 5% p.a. R = 6600, q = 05, v B , = 6600 = 30003, , ( 05, ) Der Barwert beträgt ÖS 30003,7. Beispiel: Jemad zahlt durch 0 Jahre achschüssig ÖS 000,- jährlich bei eier Versicherug ei ud möchte dafür vom Begi des 5. Jahres a bis zum Begi des 0. Jahres eischließlich eie etsprechede Rete ausbezahlt bekomme. Wie hoch ist diese Reterate bei p = 6% p.a.? Die Aufgabe verlagt zuerst die Berechug des Edwertes der eibezahlte Rete. E 0 R = 000, q = 06, = , = 5869, 54 ( 06, ) Dieser Betrag wird bis zum Ede des 4. Jahres, also 4 Jahre, zu p = 6% verzist. 5869, 54 06, 4 = 99685, 40 Dieser Betrag ist u als Barwert der auszubezahlede Rete, die u vorschüssig vom 5. bis zum 0. Jahr, also 6 Jahre lag, erwartet wird. Die Formel für de Barwert ist also so umzuforme, daß die Reterate explizit zu bereche ist. R B q q v ( ) = q 5 06, ( 06, ) R = 99685, 4 = 38309, , Die Reterate beträgt ÖS 38309,

16 Folge, Reihe, Grezwerte Beispiel: Statt eier im 4. Jahr begiede vorschüssige Rete vo ÖS 50000,- durch 6 Jahre möchte jemad eie sofort begiede achschüssige Rete durch Jahre. Wieviel wird er bei p = 4% p.a. als Reterate bekomme? = v B , = 759,, (, ) Dieser Betrag ist über 3 Jahre abzuzise, um de Wert zum Zeitpukt t = 0 zu bereche. 759, = 433, , Die eue Reterate ergibt sich ach Umforme der Barwertformel für eie achschüssige Rete. 04, R = 433, 5 04 = 67, 76, Die Reterate beträgt ÖS 67,76. Beispiel: Der Prokurist eier Firma wird i 8 Jahre i Pesio gehe. Die Firma will ihm da weitere 0 Jahre lag eie vorschüssige Firmepesio vo ÖS 80000,- jährlich bezahle. Welche Betrag muß diese Firma jetzt auf ei mit 8% p.a. verzistes Sparbuch eizahle, um die Pesio vo diesem Sparbuch bezahle zu köe? = v B , = 76766, 5, (, ) Dieser Betrag ist über 8 Jahre abzuzise, um de jetzt ötige Betrag zu ermittel , 5 08, 8 = , Die Firma beötigt ÖS ,

17 Folge, Reihe, Grezwerte Beispiel: Jemad hat Aspruch auf eie achschüssige Rete vo 8000,- Schillig moatlich über 0 Jahre. Er möchte die Reterate auf 5000,- Schillig seke, um so die Retedauer zu erhöhe. Wie lage ka er diese Rete bei p = 8% p.a. bekomme? Bei diesem Beispiel muß zuerst der jährliche Zissatz i eie moatliche Zissatz umgerechet werde. B 0 08, = ( + i ), p = 0, ,... = 8000 = , 0 006,... ( 006,... ) 006, , = ,... ( 006,... ) Diese Aufgabe führt also zur Berechug eier ubekate Hochzahl. Dazu ist es otwedig, die Gleichug so umzuforme, daß sich die Poteze mit dieser Hochzahl isoliert auf eier Seite der Gleichug fide. 006, ,... = 006,... 0, ,... = 006, ,... 0, ,... = 006,... ( 0, ) = 006,... = 7, Diese Gleichug ist durch Logarithmiere lösbar. lg( 70866,...) = = 305, 33 lg( 006,...) Die eue Retedauer beträgt 305 Moate

18 Folge, Reihe, Grezwerte 0.4. Grezwerte vo Zahlefolge (a) Problemstellug Im Abschitt Mootoie wurde bereits eie wesetliche Eigeschaft vo Folge aufgezeigt. Betrachtet ma mootoe bzw. streg mootoe Folge geauer, so ka ma weitere Eigeschafte feststelle. Beispiele: Formuliere Sie weitere Eigeschafte achsteheder Folge: a) 0; 0,5; 0,66; 0,75; 0,8;... b) 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;... c) ;,5;,33;,5;,;... d) 0,; 0,0; 0,00; 0,000;... e) ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;... f ) ; 4; 9; 6; 5; 36; 49;... Die obige Folge weise folgede Eigeschafte auf: Die Zahle der Folge a) ud b) ehme fortwähred zu, wachse aber icht über alle Greze hiaus, soder äher sich der Zahl. Im Beispiel c) ud d) werde die Glieder der Folge immer kleier ud äher sich dem Wert i b) bzw. 0 i c) je weiter ma i der Folge fortschreitet. I de Beispiele e) ud f) schließlich (atürliche Zahle ud dere Quadrate) wachse die Glieder bekatermaße ubegrezt. Darüberhiaus ka ma die Folge durch ihre erzeugede Term agebe. a) c) 0 b) + d) 0 e) f) Der folgede Abschitt beschäftigt sich mit Folge, die Eigeschafte wie jee im Beispiel a)-d) aufweise. Solche Folge et ma koverget, ud uterscheidet sie, je achdem ob sie sich eiem bestimmte Wert vo liks äher - wie i a) ud b) - oder vo rechts äher - wie i c) ud d) - i liks kovergete bzw. rechts kovergete Folge. Zur geaue Defiitio der Kovergez müsse jedoch och eiige Begriffe festgelegt werde

19 Folge, Reihe, Grezwerte (b) Beschräkte Folge Betrachtet ma die Folge aus Beispiel a), so ergibt sich offesichtlich eie Folge vo lauter echte Brüche, da jedes Glied der Folge kleier als ist. Diese Aussage läßt sich i auch leicht recherisch achweise. Dazu löst ma die Ugleichug a < über N. < < < 0 Da die Aussage für alle N wahr ist, gilt: a < Ferer gilt für alle Glieder der Folge a 0 ud somit: 0 a < Die Folge ist also sowohl ach obe als auch ach ute beschräkt; das heißt, daß die Glieder der Folge de Wert ie übersteige ud de Wert 0 ie uterschreite. Die Werte 0 ud werde i diesem Zusammehag als Schrake bezeichet. Auch für die Beispiele b)-d) lasse sich Schrake fide. Eie Folge a ist ach obe beschräkt, we eie Zahl M existiert, sodaß alle Elemete der Folge kleier oder gleich M sid. M heißt da obere Schrake der Folge. a M... a ist ach obe beschräkt mit der obere Schrake M Eie Folge a ist ach ute beschräkt, we eie Zahl m existiert, sodaß alle Elemete der Folge größer oder gleich m sid. Da heißt m utere Schrake der Folge. a m... a ist ach ute beschräkt mit der utere Schrake m Wie bereits das ageführte Beispiel gezeigt hat, muß die Schrake M bzw. m selbst icht ei Folgeglied sei. Jede Zahl, die größer als die obere Schrake M ist, ist ebefalls eie obere Schrake der Folge. Umgekehrt gilt, daß jede Zahl, die kleier als die utere Schrake m ist, wieder eie utere Schrake der Folge ist. Eie ach obe beschräkte (ach ute beschräkte) Folge besitzt daher uedlich viele obere (utere) Schrake. Eie Folge, die ach obe ud ach ute beschräkt ist, heißt beschräkt. Stellt ma eie solche Folge auf der Zahlegerade dar, so liege die Bildpukte i eiem ediche Itervall. - -

20 Folge, Reihe, Grezwerte (c) Supremum ud Ifimum Der vorige Abschitt hat gezeigt, daß die Folge die Zahl als obere Schrake besitzt. Jede Zahl, größer als ist ebefalls obere Schrake dieser Folge. Es stellt sich jedoch die Frage, ob es eie Zahl kleier gibt, die obere Schrake dieser Folge ist. Um das zu utersuche - ob etwa die Zahl 0,9 eie obere Schrake - ist, setzt ma: 09, 09, 0, 0 Diese Berechug zeigt, daß ur die erste zeh Glieder der Folge kleier als 0,9 sid; 0,9 ist also keie obere Schrake dieser Folge. Diese Berechug läßt sich für adere Werte, z.b. 0,99 oder 0,999 usw., ebefalls durchführe., es läßt sich jedoch keie Zahl kleier fide, die obere Schrake ist. Verallgemeiert ma diese Berechug ud wählt eie Zahl ε mit ε>0, so läßt sich zeige, daß es tatsächlich keie Zahl kleier gibt, die obere Schrake ist. ε ε ε Dieses Ergebis bedeutet, daß die Glieder der Folge ur für jee kleier als ε sid, solage kleier als der Kehrwert vo ε ist. So klei ma also ε auch wählt ud so groß der Kehrwert vo ε daher auch wird, es gibt stets ur eie edliche Azahl vo Glieder der Folge, die kleier als ε sid. Da es also keie Zahl kleier gibt, die obere Schrake ist, bezeichet ma als kleiste obere Schrake der Folge. Besitzt eie Folge eie kleiste obere Schrake, so heißt diese Zahl obere Greze oder Supremum der Folge. Jede ach obe beschräkte Folge besitzt i R ei Supremum. Besitzt eie Folge eie größte utere Schrake, so heißt diese Zahl utere Greze oder Ifimum der Folge. Jede ach ute beschräkte Folge besitzt i R ei Ifimum. - -

21 Folge, Reihe, Grezwerte (d) Der Umgebugsbegriff (Epsilotik) Die scho mehrfach verwedete Zahlefolge a = = 0; 0,5; 0,66; 0,75; 0,8;..., vo der umehr bekat ist, daß sie streg mooto wachsed ist ud die kleiste obere Schrake besitzt, hat och eie weitere besodere Eigeschaft. Wie auch i der graphische Darstellug ersichtlich, äher sich die Werte der Glieder der Folge immer mehr der Zahl. Es stellt sich zuweile die Frage, ab welchem Folgeglied alle weitere eie Abstad kleier als ei bestimmter Wert - z.b. 0,03 - vo habe. Das führt zu der Ugleichug: < 003, < 003, > 33, 33 Somit uterscheidet sich das 34. Glied der Folge ud alle weitere um weiger als 0,03 vom Wert. Auch hier ka ma allgemei statt dem bestimmte Wert 0,03 de Wert ε >0 beütze. Fragt ma u ob es Elemete der Folge gibt, dere Abstad vo kleier als eie beliebige positive Zahl ε ist, so muß folgede Ugleichug gelöst werde: < ε > ε Das Ergebis zeigt, daß jee Elemete der Folge, für die größer als der Kehrwert vo ε ist, eie gerigere Abstad als ε vo habe. Prizipiell läßt sich diese Berechug für jede beliebige Zahl a ud jede beliebige Abstad ε durchführe. Ist die Zahl a jedoch icht obere oder utere Schrake der Folge, so muß für die Ermittlug jeer Glieder der Folge, für die der Abstad vo a kleier als ε ist, die Berechug für a a < ε durchgeführt werde. Es ergebe sich aufgrud der Betragsugleichug also die Fälle a a < ε ud a a < ε

22 Folge, Reihe, Grezwerte Wie auch die Graphik zeigt, legt ε eie Umgebug um a fest. Die ε-umgebug U (a;ε) der reelle Zahl a ist die Mege aller Zahle x aus R, für die der Betrag der Differez a x kleier als ε ist. Es gilt: U (a;ε) = {x R a ε < x < a+ε} bzw. {x R a x < ε} Die ε-umgebug U (a;ε) ist also das offee Itervall ]a ε;a+ε[. Beispiel: Bestimme Sie, ab welchem Elemet der Folge ( ) sich die Glieder um weiger als 0, vo Null uterscheide. ( ) = 05 ;, ; 03305, ;, ;... Ma erket, daß die Folge alteriered ist, wobei sich für die Elemete mit gerade Idexzahle positive, für jee mit ugerade Idexzahle egative Zahlewerte ergebe. I beide Fälle äher sich die Elemete immer mehr der Zahl Null. Ma führt u folgede Falluterscheidug durch:. Fall a a < ε 0 ( ) < 0, Dieser Fall trifft ur für ugerade zu, da ur da die Elemete a liks vo 0 liege. Das Ergebis der Potezrechug im erzeugede Term der Folge ist also. Aalog wird der zweite Fall im Aschluß behadelt. 0 < 0, > 0 L = { ; 3 ;...}. Fall a a< ε 0 < 0,; > 0 L = [ 4 ; ;...} Die Glieder der Folge uterscheide sich ab dem. Glied um weiger als 0, vo Null