Euklidische und unitäre Vektorräume
|
|
- Miriam Salzmann
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein inneres Produkt auf V ist eine Abbildung ( ) : V V K, die folgende Eigenschaften für alle v, u, w V, γ K, hat: (IP1) (IP) (IP3) (v + w u) = (v u) + (w u) (vγ w) = (v w)γ (v w) = (w v) (IP4) (v v) > 0 für alle v 0. Ein Vektorraum mit innerem Produkt wird in diesem Skript auch innerer Produktraum genannt. Das ist im Deutschen eher ungewöhnlich, im Englischen ist inner product space aber eine weit verbreitete Terminologie. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass komplexe Konjugation auf C wie folgt definiert ist: a + b i = a b i. Ist γ = a + b i, so gilt γ = γ genau dann, wenn b = 0 ist, wenn also γ R. Deshalb ist (IP4) sinnvoll, denn wegen (IP3) gilt (v v) = (v v), d.h. (v v) R, 101
2 und deshalb können wir davon sprechen, dass (v v) größer als Null sein soll. Ist a, b R, γ = a + b i C, so nennen wir a den Realteil von γ und b den Imaginärteil, Notation R(γ) und I(γ). (IP1) und (IP) haben auch folgende Konsequenz: Lemma 7.1. Ist ( ) ein inneres Produkt, so gilt (v wγ) = (wγ v) = (w v)γ = (v w)γ = (v w)γ. Beachten Sie, dass ein inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum linear in beiden Komponenten ist, im komplexen Fall haben wir die Linearität nur in der ersten Komponente (siehe (IP)). Das Studium allgemeiner Abbildungen, die in beiden Komponenten linear sind, folgt später. Man nennt solche Abbildungen Bilinearformen. Im reellen Fall spricht man statt von einem inneren Produkt auch von einem Skalarprodukt. Ein reellervektorraum mit Skalarprodukt heißt Euklidischer Vektorraum, ein komplexer Vektorraum mit innerem Produkt heißt unitär. Beispiel (1.) V = R 3, ( x 1 x ) = x 1 x + y 1 y + z 1 z. y 1 z 1 Im Fall V = C 3 wäre ( x 1 y 1 x y ) = x 1 x + y 1 y + z 1 z z 1 y z z ein Beispiel. Beachten Sie dabei xx = 0 genau dann wenn x = 0, und x x 0 für alle x C. Deshalb gilt (IP4). (.) Für allgemeines V = R n oder C n ist ein inneres Produkt. x 1 (., y 1. y n ) = x i y i (3.) Sei V ein beliebiger n-dimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum. Ferner sei B = (b 1,..., b n ) eine Basis von V. Dann wird durch ( b i γ i, b i µ i ) = γ i µ i ein inneres Produkt definiert. Ist V = R n oder C n und B die kanonische Basis, so erhalten wir das Beispiel (.). 10
3 (4.) Sei W ein beliebiger innerer Produktraum. Ist T Hom(V, W), T invertierbar, so ist durch (v w) := (Tv Tw) ein inneres Produkt auf V erklärt. Ein Ziel dieses Kapitels ist es zu zeigen, dass man so alle inneren Produkte auf endlichdimensionalen Vektorräumen erhält. Definition Ist ( ) ein inneres Produkt auf V, so heißt := (v v) die zum inneren Produkt ( ) gehörende Norm oder Länge von v. Im allgemeinen wird eine Norm auf einem Vektorraum über R oder C wie folgt definiert: Definition Eine Abbildung : V R auf einem K-Vektorraum V mit K = R oder K = C heißt eine Norm, wenn folgendes gilt: (N1) = 0 v = 0 (N) vλ = λ für alle v V und λ K. (N3) v + w + w für alle v, w V. (Dreiecksungleichung) Dabei ist λ = λλ = a + b, wenn λ = a + b i. Im reellen Fall ist das der gewöhnliche Betrag. Nicht jede Norm wird von einem inneren Produkt erzeugt. Wenn man weiß, dass eine Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird, kann man das Skalarprodukt aus der Norm rekonstruieren: Lemma Ist V ein reeller Vektorraum und = (v v) für ein inneres Produkt ( ), so gilt (v w) = 1 4 v + w 1 4 v w. Ist V ein komplexer Vektorraum, so gilt (v w) = 1 4 v + w 1 4 v w + i 4 v + iw i 4 v iw. Beweis Siehe Vorlesung. Korollar v ± w = ± R(v w) + w. 103
4 Wir können jetzt leicht ein Beispiel einer Norm angeben, die nicht von einem Skalarprodukt induziert ist. Man rechnet leicht nach, dass auf R n und C n die sogenannte Maximumsnorm x 1 x.. max := max( x 1,..., ) eine Norm ist. Angenommen, diese Norm wird von einem Skalarprodukt ( ) erzeugt. Dann gilt z.b. im Fall R wegen Lemma ( ( 1 1 ( ) = 0) 1) = 3 4 und es müsste aber ( ) ( ) 1 ( ) = = 5 4, ( ( ( ( ( ) = ( ) 0) ) 0) 1) gelten. Der nächste Satz zeigt, dass die zu einem inneren Produkt gehörende Norm noch eine weitere schöne Eigenschaft hat: Satz Sei ( ) ein inneres Produkt auf V. Dann gilt für die nach Definition erklärte Abbildung (N1), (N) und (N3) und (v w) w. (7.1) Es gilt Gleichheit in (7.1) genau dann, wenn v und w linear abhängig sind. Beweis (N1) und (N) folgen aus der Definition von ( ). Um (7.1) zu zeigen, definieren wir u = w (w v) v. Es gilt 0 u = (w (w v) (w v) v w v) = (w w (w v) (w v) (w v) v) (v w v) = (w w) (w v)(w v) = w (w v). 104 (w v) (w v)(w v) (v w) + 4 (v v)
5 Das zeigt (7.1) sowie die Charakterisierung des Falles der Gleichheit (beachten Sie: wenn w = vλ, dann (w v) = λ, d.h. λ = (w v), d.h. u = 0. Die Dreiecksungleichung erhält man nun wie folgt: Nun ist aber v + w = (v + w v + w) = + w + (w v) + (v w). (7.) (w v) + (v w) = R(v w) (v w) w, wobei die letzte Ungleichung wegen (7.1) gilt. Einsetzen in (7.) liefert v + w ( + w ). Die Ungleichung (7.1) heißt die Cauchy-Schwarz sche Ungleichung. Jebe Norm auf V erzeugt auf V eine Metrik. Ist der so definierte Vektorraum vollständig (im Sinne der Analysis), so spricht man von einem Hilbert-Räume, wenn die Norm (und damit die Metrik) durch ein inneres Produkt definiert ist, und von einem Banach-Raum, wenn die Metrik durch eine Norm erklärt wird. In der Analysis zeigt man, dass alle Normen auf R n und C n äquivalent sind, und dass somit alle endlichdimensionalen Vektorräume mit innerem Produkt vollständig sind. Deshalb kann man im endlichdimensionalen Fall stets von Hilbert-, bzw, Banach-Räumen V sprechen, wenn es auf V ein inneres Produkt, bzw. eine Norm gibt. Endlichdimensionale Vektorräume mit innerem Produkt heissen auch Hilbert-Räume, wolche mit einer Norm nennt man Banach- Räume. Zu jedem inneren Produkt gehört eine Matrix G, die sogenannte Gram-Matrix: Definition Sei ( ) ein inneres Produkt auf einem reellen oder komplexen Vektorraum mit Basis (b 1,..., b n ). Die Matrix G = (γ i,j ) i,j=1,...,n mit γ i,j := (b i b j ) heißt die zu ( ) gehörende Gram-Matrix. Im reellen Fall ist G symmetrisch, d.h. G = G, im komplexen Fall gilt G = G, d.h. γ i,j = γ j,i. Eine solche Matrix heißt hermit sch. Genauer: 105
6 Definition Sei H = (γ i,j ) C (n,n). Die Matrix H := H, also die Matrix, die man durch transponieren und komplex-konjugieren aus H erhält, heißt die Adjungierte von H. Bezeichnung: H. Eine Matrix ist hermit sch, wenn H = H gilt. Beachten Sie, dass eine reelle Matrix genau dann hermit sch ist, wenn sie symmetrisch ist. Die Gram-Matrix kann als eine Darstellungsmatrix des inneren Produktes aufgefasst werden: Satz Sei ( ) ein inneres Produkt auf einem reellen oder komplexen Vektorraum V, und sei (b 1,...,b n ) eine Basis von V. Wenn G die zu ( ) gehörende Gram-Matrix ist, so gilt ( b i γ i b i µ i ) = ( ) γ 1... γ n G µ 1. µ n. Beweis Nachrechnen, bzw. Vorlesung. Korollar Die Matrix G erfüllt x Gx > 0 für alle x K n, x 0. Hier x 1 x 1 ist K = R oder C, und x =.. für x =... Verschiedene Basen liefern verschiedene Gram-Matrizen. Es stellt sich heraus, dass man stets eine Basis so finden kann, dass die Gram-Matrix die Einheitsmatrix ist. Definition Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit innerem Produkt ( ). Vektoren v, w 0 heißen orthogonal, wenn (v w) = 0 gilt. Eine Menge B = {b 1,...,b m }, b i 0, heißt orthogonal, wenn (b i b j ) = 0 für i j gilt. Wenn zusätzlich gilt (b i b i ) = 1 für i = 1,...,m, also b i = 1, so nennen wir die Menge orthonormal. Ist B eine Basis, so nennen wir sie eine Orthogonalbasis, bzw. Orthonormalbasis. Der wichtige Begriff in diesem Satz ist die Orthogonalität. Wir können jeden Vektor v 0 normalisieren, denn v = 1, 106
7 wir können also jede orthogonale Menge problemlos zu einer orthonormalen Menge machen. Es ist klar, dass die Gram-Matrix bezüglich einer Orthonormalbasis die Einheitsmatrix ist. Wir werden jetzt ein Verfahren angeben, wie man eine solche Orthonormalbasis finden kann. Zunächst ein Lemma: Lemma Ist B eine orthogonale Menge, dann ist B linear unabhängig. Beweis Angenommen, 0 = i b iλ i. Dann ist 0 = ( i b i λ i b j ) = (b j b j )λ j, also λ j = 0. Dieser Beweis zeigt auch, wie man die Koeffizienten eines Vektors v = n b iλ i findet, der bzgl. einer Orthonormalbasis (b 1,...,b n ) dargestellt ist: (v b j ) = ( b i λ i b j ) = λ j. Satz (Gram-Schmidt sches Orthogonalisierungsverfahren) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum, und sei {b 1,..., b n } eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren. Dann gibt es eine Menge orthogonaler Vektoren v 1,..., v n derart, dass b 1,..., b s = v 1,..., v s für alle s = 1,...,n gilt. Beweis Setze v 1 = b 1, v := b (b v 1 ) v 1 v 1, dann ist v b 1, b, und (v 1 v ) = 0, also sind v 1 und v linear unabhängig. Beachte: v 0, weil b 1 (= v 1 ) und b linear unabhängig sind. Allgemein setzen wir m (b m+1 v i ) v m+1 := b m+1 v i v i. Auch hier gilt v m+1 0, v m+1 ist orthogonal zu v 1,..., v m und b 1,...,b m+1 = v 1,...,v m+1. Wenn die Vektoren hier noch normalisiert werden, spricht man vom Orthonormalisierungsverfahren. Korollar Jeder endlichdimensionale euklidische oder unitäre Vektorraum hat eine Orthonormalbasis. 107
8 Im Prinzip können wir jetzt schon sagen, dass es nur ein inneres Produkt auf R n und C n geben kann, nämlich das natürliche Skalarprodukt x i y i. Wir wollen das aber noch zurückstellen. Korollar Ist G C (n,n) Gram-Matrix eines inneren Produktes, dann gibt es eine invertierbare Matrix T mit T T = G. Ist umgekehrt G = T T für eine invertierbare Matrix T, so wird durch ein inneres Produkt auf C n definiert. ( y1 y n ) G Beweis Sei G die Gram-Matrix eines inneren Produktes, ausgedrückt bzgl. einer Basis (c 1,..., c n ) (die keine Orthonormalbasis sein muss). Dann gibt es eine Orthonormalbasis (b 1,..., b n ) für dieses innere Produkt. Wir schreiben Dann ist j=1 c i = (c i c k ) = ( λ j,i b j λ j,k b j ) = j=1 λ j,i b j. j=1 j,j =1 x 1. λ j,kλ j,i (b j b j ) = λ j,k λ j,i. Das ist genau der (i, k)-eintrag von T T, wobei T = (λ s,t ): Wir müssen dazu die i-te Zeile von T mit der k-ten Spalte von T multiplizieren (das ist der Spaltenvektor λ 1,k. λ n,k j=1 ). Die i-te Zeile von T ist die i-te Spalte von T (nur als Zeile geschrieben), also der Zeilenvektor ( λ 1,i... λ n,i ) 108
4.4 Simultane Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit
4.4 Simultane Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit Definition 4.41. Eine Familie F linearer Operatoren heißt vertauschbar oder kommutierend, wenn für je zwei Operatoren U,T in F gilt: UT = TU.
Mehr7.3 Unitäre Operatoren
Wir können jeden Operator T wie folgt schreiben: Dabei gilt T = 1 2 (T + T ) + i( 1 2 i (T T )) (T + T ) = T + T sowie ( 1 2 i (T T )) = 1 2 i (T T) = 1 2 i (T T ). Wir können T also in zwei lineare Operatoren
Mehr7.2 Die adjungierte Abbildung
7.2 Die adjungierte Abbildung Definition 7.2.1 Eine lineare Abbildung f : V K heißt lineares Funktional oder Linearform. (Diese Definition gilt für beliebige K-Vektorräume, nicht nur für innere Produkträume.)
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrUnter einem reellen inneren Produktraum verstehen wir einen Vektorraum V über
9 Innere Produkte In diesem Kapitel betrachten wir immer Vektorräume über dem Körper der reellen Zahlen R oder dem Körper der komplexen Zahlen C. Definition 9.1: Sei V ein Vektorraum über R. Ein inneres
Mehr8 Euklidische und unitäre Vektorräume. Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen
8 Euklidische und unitäre Vektorräume Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen 8 Euklidische und unitäre Vektorräume Skalarprodukte Orthogonalität Matrizen In diesem Kapitel werden nur endlich dimensionale
MehrSkalarprodukt, Norm & Metrik
Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1
Mehr9 Vektorräume mit Skalarprodukt
9 Skalarprodukt Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 79 9 Vektorräume mit Skalarprodukt 9.1 Normierte Körper Sei K ein Körper. Definition: Eine Norm auf K ist eine Abbildung : K R 0, x x mit den folgenden
MehrKapitel 11. Bilinearformen über beliebigen Bilinearformen
Kapitel 11 Bilinearformen über beliebigen Körpern Wir können in diesem Kapitel rasch vorgehen, weil die meisten Konzepte im Zusammenhang mit Sesquilinearformen bereits eingeführt wurden. In diesem Abschnitt
MehrOrthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen
Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).
MehrMathematik I. Vorlesung 18. Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen. µ λ = dim(eig λ (ϕ))
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 18 Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen Satz 18.1. Es sei K ein Körper und es sei V ein endlichdimensionaler K- Vektorraum.
MehrMathematik für Anwender II
Prof Dr H Brenner Osnabrück SS 22 Mathematik für Anwender II Vorlesung Euklidische Vektorräume Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge,
Mehr1 Euklidische und unitäre Vektorräume
1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen
MehrLineare Algebra I Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß
Lineare Algebra I - 26. Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Donnerstag 8.12.: 8:30 Uhr - Vorlesung 10:15 Uhr - große Übung / Fragestunde Klausur: Mittwoch, 14.12. 14:15 Uhr, A3 001 Cauchy-Schwarz
Mehr3.3 Skalarprodukte 3.3. SKALARPRODUKTE 153
3.3. SKALARPRODUKTE 153 Hierzu müssen wir noch die Eindeutigkeit (Unabhängigkeit von der Wahl der Basis bzw. des Koordinatensystems) zeigen. Sei hierzu β eine Bilinearform und q die entsprechende quadratische
MehrHenning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich
Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es
MehrTechnische Universität München
Technische Universität München Michael Schreier Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Montag WS 2008/09 1 komplexe Zahlen Viele Probleme in der Mathematik oder Physik lassen sich nicht oder
MehrEinführung in die Grundlagen der Numerik
Einführung in die Grundlagen der Numerik Institut für Numerische Simulation Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Wintersemester 2014/2015 Normierter Vektorraum Sei X ein R-Vektorraum. Dann heißt
Mehr10 Unitäre Vektorräume
10 Unitäre Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 98 10 Unitäre Vektorräume Die Theorie komplexer Vektorräume mit Skalarprodukt folgt denselben Linien wie die Theorie reeller Vektorräume mit Skalarprodukt;
Mehr6. Normale Abbildungen
SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische
Mehr4.3 Reelle Skalarprodukte, Hermitesche Formen, Orthonormalbasen
196 KAPITEL 4. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT 4. Reelle Skalarprodukte, Hermitesche Formen, Orthonormalbasen In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume über IR und über C. Ziel ist es, in solchen Vektorräumen
Mehr8 Euklidische und unitäre Vektorräume
8 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Kapitel werden nur endlich dimensionale Vektorräume über à = Ê oder à = betrachtet. Der Querstrich bezeichnet die komplexe Konjugation (z = x+iy, z = x iy).
MehrSesqui- und Bilinearformen
Kapitel 8 Sesqui- und Bilinearformen 8.1 Sesquilinearformen Definition 8.1.1 Sei V ein reeller oder komplexer K-Vektorraum (also K = R oder C). Eine Abbildung f : V V K heißt eine Sesquilinearform wenn
MehrL3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) Sei Länge von nach Pythagoras: Länge quadratisch in Komponenten! - Für : Skalarprodukt
Mehr4.4 Hermitesche Formen
44 Hermitesche Formen Wie üblich bezeichnen wir das komplex konjugierte Element von ζ = a + bi C (a, b R) mit ζ = a bi Definition 441 Sei V ein C-Vektorraum Eine hermitesche Form (HF) auf V ist eine Abbildung
MehrDiagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen
¾ Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen a) Eigenwerte und Eigenvektoren Die Matrix einer linearen Abbildung ³: Î Î bezüglich einer Basis ( Ò ) ist genau dann eine Diagonalmatrix wenn jeder der Basisvektoren
MehrDas innere Produkt von zwei Vektoren in V entspricht dem standard Skalarprodukt ihrer Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von V.
L5.6 Orthogonale und unitäre Matrizen (invertierbare Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen) Reelles inneres Produkt in -Vektorraum [siehe L3.1b]: 'reeller Vektorraum' (i)
Mehr3 Bilinearform, Basen und Matrizen
Lineare Algebra II 2. Oktober 2013 Mitschrift der Vorlesung Lineare Algebra II im SS 2013 bei Prof. Peter Littelmann von Dario Antweiler an der Universität zu Köln. Kann Fehler enthalten. Veröentlicht
Mehr3 Vektorräume abstrakt
Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Vektorräume abstrakt Lineare Unabhängigkeit Definition: Sei V Vektorraum W V Dann heißt W := LH(W := Menge aller Linearkombinationen aus W die lineare
Mehrund Unterdeterminante
Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,
Mehrund Unterdeterminante
Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,
Mehr42 Orthogonalität Motivation Definition: Orthogonalität Beispiel
4 Orthogonalität 4. Motivation Im euklidischen Raum ist das euklidische Produkt zweier Vektoren u, v IR n gleich, wenn die Vektoren orthogonal zueinander sind. Für beliebige Vektoren lässt sich sogar der
Mehr2 Euklidische Vektorräume
Sei V ein R Vektorraum. 2 Euklidische Vektorräume Definition: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung σ : V V R, (v, w) σ(v, w) mit folgenden Eigenschaften ( Axiome des Skalarprodukts) (SP1) σ ist bilinear,
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
Mehr5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale
MehrEuklidische und unitäre Vektorräume
Euklidische und unitäre Vektorräume In allgemeinen Vektorräumen gibt es keine Möglichkeit der Längenmessung von Vektoren und der Winkelmessung zwischen zwei Vektoren. Dafür ist eine zusätzliche Struktur
MehrVektorräume. Kapitel Definition und Beispiele
Kapitel 3 Vektorräume 3.1 Definition und Beispiele Sei (V,,0) eine abelsche Gruppe, und sei (K, +,, 0, 1) ein Körper. Beachten Sie, dass V und K zunächst nichts miteinander zu tun haben, deshalb sollte
MehrLineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m
Kapitel 4 Lineare Abbildungen In diesem Abschnitt lernen Sie erstmals eine Klasse von strukturerhaltenden Abbildungen kennen. Diese Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Algebra. Grob gesagt geht
MehrFerienkurs zur Linearen Algebra Bilinearformen, Euklidische Vektorräume und Endomorphismen
Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs zur Linearen Algebra Bilinearformen, Euklidische Vektorräume und Endomorphismen Freitag, 16.03.2012 Sascha Frölich Ferienkurs Lin. Alg. -
Mehr6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.
Um zu zeigen, dass die irreduziblen Teiler eines reellen Polynoms höchstens den Grad 2 haben, fassen wir nun (x γ) und (x γ) zusammen und stellen fest, dass (x (a + b i))(x ((a b i)) = x 2 2a + (a 2 +
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
MehrL3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) Sei Länge von nach Pythagoras: Länge quadratisch in Komponenten! - Für : Skalarprodukt
Mehr3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen
Determinanten, Eigenwerte, Normalformen.1 Determinanten Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R 2 : y (a + c, b + d) (c, d) (a, b) x Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
Mehr4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau
312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind
Mehr4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt
MehrMatrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 206 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 33 Das Kreuzprodukt Eine Besonderheit im R 3 ist das sogenannte Kreuzprodukt, das zu zwei gegebenen Vektoren
MehrHM II Tutorium 1. Lucas Kunz. 24. April 2018
HM II Tutorium 1 Lucas Kunz 24. April 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Körper...................................... 2 1.2 Gruppen..................................... 2 1.3 Vektorraum...................................
MehrLösung zu Serie 18. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink
Lineare Algebra D-MATH, HS 201 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 18 1. Sei V,, ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum. Zeige, dass zu jeder Sesquilinearform f : V V C eine eindeutige lineare Abbildung
MehrWiederholungsserie II
Lineare Algebra II D-MATH, FS 205 Prof. Richard Pink Wiederholungsserie II. Zeige durch Kopfrechnen, dass die folgende reelle Matrix invertierbar ist: 205 2344 234 990 A := 224 423 990 3026 230 204 9095
MehrLernhilfe Höhere Mathematik I
Lernhilfe Höhere Mathematik I Tim Weber 3. 24 Vielen Dank an Andreas del Galdo für seine Zusammenfassung, Jakob Haufe für seine Musterlösungen, Marco Oster für den Abschnitt über QR- Zerlegung, Robert
MehrKapitel 5. Vektorräume mit Skalarprodukt
Kapitel 5 Vektorräume mit Skalarprodukt 119 120 Kapitel V: Vektorräume mit Skalarprodukt 5.1 Elementare Eigenschaften des Skalarprodukts Dienstag, 20. April 04 Wollen wir in einem Vektorraum wie in der
Mehr7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt
Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 121 7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u
Mehr3.3 Reduzierte Basen nach Lenstra, Lenstra und Lovász
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 15. Juni 2009 221 3.3 Reduzierte Basen nach Lenstra, Lenstra und Lovász Alternativ zu klassischen Konzepten wie dem von Minkowski gibt es seit gut 25 Jahren den Reduktionsbegriff
MehrMathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 12 Lineare Abbildungen Definition 12.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt lineare Abbildung,
MehrLineare Abbildungen und Matrizen
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 31. Mai 2016 Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai 2016 1 / 16 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume
MehrMathematik II. Vorlesung 46. Der Gradient
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2010 Mathematik II Vorlesung 46 Der Gradient Lemma 46.1. Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, der mit einer Bilinearform, versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen
Mehr9 Metrische und normierte Räume
9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 12 Wege entstehen dadurch, dass man sie geht Franz Kafka Invertierbare Matrizen Definition 121 Es sei K ein
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
MehrUniversität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n
Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehr12.3 Kommutierende Abbildungen
12.3 Kommutierende Abbildungen Definition 12.3.1 Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, und sei F eine Familie linearer Abbildungen V V mit UT = TU für alle U, T in F. Dann nennt man F eine Familie
MehrAufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009
I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe
MehrVektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April 2016 1 / 20 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume Erinnerung:
Mehr= ( n x j x j ) 1 / 2
15 Skalarprodukte 77 15 Skalarprodukte 15.1 Einführung. a) Ab jetzt sei stets K = R oder K = C, da Wurzeln eine wichtige Rolle spielen werden. b) Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge eines Vektors
Mehr6 Hauptachsentransformation
6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten
MehrLineare Algebra und Geometrie II, Übungen
Lineare Algebra und Geometrie II, Übungen Gruppe (9 9 45 ) Sei A 2 Bestimmen Sie A und A Finden Sie weiters Vektoren u, v R 2 mit u und Au A, beziehungsweise v und Av A Zunächst die Berechnung der Norm
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
Mehr17. Orthogonalsysteme
17. Orthogonalsysteme 17.1. Winkel und Orthogonalität Vorbemerkung: Sei V ein Vektorraum mit Skalaprodukt, und zugehöriger Norm, dann gilt nach Cauchy-Schwarz: x, y V \ {0} : x, y x y 1 Definition: (a)
MehrLösung 23: Sylvesters Trägheitssatz & Singulärwertzerlegung
D-MATH Lineare Algebra I/II HS 07/FS 08 Dr Meike Akveld Lösung 3: Sylvesters Trägheitssatz & Singulärwertzerlegung Wir wissen, dass eine Basis B von R n existiert, sodass p [β Q ] B I I q 0 n p q gilt
Mehr1 Die Jordansche Normalform
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 4/5 A Die Jordansche Normalform Vierter Tag (9.03.205) Im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme
MehrLineare Algebra 2 (SS 13) Blatt 13: Musterlösung
Prof. Dr. B. Hanke Dr. J. Bowden Lineare Algebra 2 (SS ) Blatt : Musterlösung Aufgabe. Es sei C (R) der R-Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf R und : C (R) C (R), f f die Abbildung,
MehrUnitäre und orthogonale Matrix
Unitäre und orthogonale Matrix Eine komplexe n n-matrix A heißt unitär, falls A 1 = A t = A, d.h. falls die Spalten von A eine orthonormale Basis von C n bilden. Unitäre und orthogonale Matrizen 1-1 Unitäre
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 11. Übung: Woche vom
Übungsaufgaben 11. Übung: Woche vom 9. 1.-13. 1. 2017 (Numerik): Heft Ü 1: 12.28.a,b; 12.29.b,c (jeweils mit Fehlerabschätzung); 6.26; 6.27.a (auch mit Lagrange-Interpolationspolynom); 6.25; 6.28 (auch
MehrKontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation
1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematik Prof. Dr. Michael Stiebitz Kontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation Termin: Ort: Determinante
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag $Id: jordantex,v 8 9// 4:48:9 hk Exp $ $Id: quadrattex,v 9// 4:49: hk Exp $ Eigenwerte und die Jordansche Normalform Matrixgleichungen und Matrixfunktionen Eine
MehrLINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER
LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof Dr H Brenner Osnabrück SS 26 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 2 Orthogonalität Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen,
Mehr13. ABBILDUNGEN EUKLIDISCHEN VEKTORRÄUMEN
13. ABBILDUNGEN in EUKLIDISCHEN VEKTORRÄUMEN 1 Orthogonale Abbildungen im R 2 und R 3. Eine orthogonale Abbildung ist eine lineare Abbildung, die Längen und Orthogonalität erhält. Die zugehörige Matrix
MehrL5.6 Symmetrische, hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen)
L5.6 Symmetrische, heresche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen) In diesem Kapitel kommen Matrizen in Zusammenhang Skalarprodukt vor.
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 15. April 2018 1/46 Die Dimension eines Vektorraums Satz 2.27 (Basisergänzungssatz) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter seien v 1,...,
MehrFH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 8 Mathematik 1 für KMUB 5./7. November 2008 Prof. Dr. H.-R. Metz. Matrizen 1. a m1 a m2 a m3 a mn
FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 8 Mathematik 1 für KMUB./7. November 2008 Prof. Dr. H.-R. Metz (Matrix) Matrizen 1 Ein System von Zahlen a ik, die rechteckig in m Zeilen und n Spalten angeordnet
MehrÜbersicht Kapitel 9. Vektorräume
Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 205/206 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 7 Was die Menschen verbin, ist nicht der Glaube, sondern der Zweifel Peter Ustinow Universelle Eigenschaft der
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 42 Normale Endomorphismen Nach Satz 34.1 besitzt eine Isometrie über C eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
MehrEXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Abschnitt wiederholen wir zunächst grundlegende Definitionen und Eigenschaften im Bereich der Matrizenrechnung, die wahrscheinlich bereits in Ansätzen
Mehr3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
MehrKapitel 14. Geometrie Eine kurze Einführung in die affine Geometrie
Kapitel 14 Geometrie Sei V ein Vektorraum, z.b. V = R 3. Wenn wir uns für geometrische Eigenschaften vonr 3 interessieren, so stört manchmal dieausnahmerolle des Nullvektors, die es ja in V gibt. Beispielsweise
MehrVortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern
Seminar: Wie genau ist ungefähr Vortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern Kerstin Bauer Sommerakademie Görlitz, 2007 Definition und Problembeschreibung Definition: Gitter Seien b 1,,b k Q n. Dann heißt die
MehrReelles Skalarprodukt
Reelles Skalarprodukt Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung, : V V R mit folgenden Eigenschaften: Positivität: v, v > 0 für v 0 Symmetrie: Linearität: u, v = v, u λu + ϱv,
Mehr4 Bilinearformen und Skalarprodukte
4 Bilinearformen und Skalarprodukte 4 Grundlagen über Bilinearformen Definition 4 Sei V ein K-Vektorraum Eine Bilinearform b auf V ist eine Abbildung b : V V K mit folgenden Eigenschaften: (B) x, y, z
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen 3 0 0 A = 0 4, B = 3, C = 0 0 0 6 0 0 0 sind über R und welche über C diagonalisierbar? Bestimmen Sie dazu
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
Mehr