Euklidische und unitäre Vektorräume

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1 Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein inneres Produkt auf V ist eine Abbildung ( ) : V V K, die folgende Eigenschaften für alle v, u, w V, γ K, hat: (IP1) (IP) (IP3) (v + w u) = (v u) + (w u) (vγ w) = (v w)γ (v w) = (w v) (IP4) (v v) > 0 für alle v 0. Ein Vektorraum mit innerem Produkt wird in diesem Skript auch innerer Produktraum genannt. Das ist im Deutschen eher ungewöhnlich, im Englischen ist inner product space aber eine weit verbreitete Terminologie. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass komplexe Konjugation auf C wie folgt definiert ist: a + b i = a b i. Ist γ = a + b i, so gilt γ = γ genau dann, wenn b = 0 ist, wenn also γ R. Deshalb ist (IP4) sinnvoll, denn wegen (IP3) gilt (v v) = (v v), d.h. (v v) R, 101

2 und deshalb können wir davon sprechen, dass (v v) größer als Null sein soll. Ist a, b R, γ = a + b i C, so nennen wir a den Realteil von γ und b den Imaginärteil, Notation R(γ) und I(γ). (IP1) und (IP) haben auch folgende Konsequenz: Lemma 7.1. Ist ( ) ein inneres Produkt, so gilt (v wγ) = (wγ v) = (w v)γ = (v w)γ = (v w)γ. Beachten Sie, dass ein inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum linear in beiden Komponenten ist, im komplexen Fall haben wir die Linearität nur in der ersten Komponente (siehe (IP)). Das Studium allgemeiner Abbildungen, die in beiden Komponenten linear sind, folgt später. Man nennt solche Abbildungen Bilinearformen. Im reellen Fall spricht man statt von einem inneren Produkt auch von einem Skalarprodukt. Ein reellervektorraum mit Skalarprodukt heißt Euklidischer Vektorraum, ein komplexer Vektorraum mit innerem Produkt heißt unitär. Beispiel (1.) V = R 3, ( x 1 x ) = x 1 x + y 1 y + z 1 z. y 1 z 1 Im Fall V = C 3 wäre ( x 1 y 1 x y ) = x 1 x + y 1 y + z 1 z z 1 y z z ein Beispiel. Beachten Sie dabei xx = 0 genau dann wenn x = 0, und x x 0 für alle x C. Deshalb gilt (IP4). (.) Für allgemeines V = R n oder C n ist ein inneres Produkt. x 1 (., y 1. y n ) = x i y i (3.) Sei V ein beliebiger n-dimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum. Ferner sei B = (b 1,..., b n ) eine Basis von V. Dann wird durch ( b i γ i, b i µ i ) = γ i µ i ein inneres Produkt definiert. Ist V = R n oder C n und B die kanonische Basis, so erhalten wir das Beispiel (.). 10

3 (4.) Sei W ein beliebiger innerer Produktraum. Ist T Hom(V, W), T invertierbar, so ist durch (v w) := (Tv Tw) ein inneres Produkt auf V erklärt. Ein Ziel dieses Kapitels ist es zu zeigen, dass man so alle inneren Produkte auf endlichdimensionalen Vektorräumen erhält. Definition Ist ( ) ein inneres Produkt auf V, so heißt := (v v) die zum inneren Produkt ( ) gehörende Norm oder Länge von v. Im allgemeinen wird eine Norm auf einem Vektorraum über R oder C wie folgt definiert: Definition Eine Abbildung : V R auf einem K-Vektorraum V mit K = R oder K = C heißt eine Norm, wenn folgendes gilt: (N1) = 0 v = 0 (N) vλ = λ für alle v V und λ K. (N3) v + w + w für alle v, w V. (Dreiecksungleichung) Dabei ist λ = λλ = a + b, wenn λ = a + b i. Im reellen Fall ist das der gewöhnliche Betrag. Nicht jede Norm wird von einem inneren Produkt erzeugt. Wenn man weiß, dass eine Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird, kann man das Skalarprodukt aus der Norm rekonstruieren: Lemma Ist V ein reeller Vektorraum und = (v v) für ein inneres Produkt ( ), so gilt (v w) = 1 4 v + w 1 4 v w. Ist V ein komplexer Vektorraum, so gilt (v w) = 1 4 v + w 1 4 v w + i 4 v + iw i 4 v iw. Beweis Siehe Vorlesung. Korollar v ± w = ± R(v w) + w. 103

4 Wir können jetzt leicht ein Beispiel einer Norm angeben, die nicht von einem Skalarprodukt induziert ist. Man rechnet leicht nach, dass auf R n und C n die sogenannte Maximumsnorm x 1 x.. max := max( x 1,..., ) eine Norm ist. Angenommen, diese Norm wird von einem Skalarprodukt ( ) erzeugt. Dann gilt z.b. im Fall R wegen Lemma ( ( 1 1 ( ) = 0) 1) = 3 4 und es müsste aber ( ) ( ) 1 ( ) = = 5 4, ( ( ( ( ( ) = ( ) 0) ) 0) 1) gelten. Der nächste Satz zeigt, dass die zu einem inneren Produkt gehörende Norm noch eine weitere schöne Eigenschaft hat: Satz Sei ( ) ein inneres Produkt auf V. Dann gilt für die nach Definition erklärte Abbildung (N1), (N) und (N3) und (v w) w. (7.1) Es gilt Gleichheit in (7.1) genau dann, wenn v und w linear abhängig sind. Beweis (N1) und (N) folgen aus der Definition von ( ). Um (7.1) zu zeigen, definieren wir u = w (w v) v. Es gilt 0 u = (w (w v) (w v) v w v) = (w w (w v) (w v) (w v) v) (v w v) = (w w) (w v)(w v) = w (w v). 104 (w v) (w v)(w v) (v w) + 4 (v v)

5 Das zeigt (7.1) sowie die Charakterisierung des Falles der Gleichheit (beachten Sie: wenn w = vλ, dann (w v) = λ, d.h. λ = (w v), d.h. u = 0. Die Dreiecksungleichung erhält man nun wie folgt: Nun ist aber v + w = (v + w v + w) = + w + (w v) + (v w). (7.) (w v) + (v w) = R(v w) (v w) w, wobei die letzte Ungleichung wegen (7.1) gilt. Einsetzen in (7.) liefert v + w ( + w ). Die Ungleichung (7.1) heißt die Cauchy-Schwarz sche Ungleichung. Jebe Norm auf V erzeugt auf V eine Metrik. Ist der so definierte Vektorraum vollständig (im Sinne der Analysis), so spricht man von einem Hilbert-Räume, wenn die Norm (und damit die Metrik) durch ein inneres Produkt definiert ist, und von einem Banach-Raum, wenn die Metrik durch eine Norm erklärt wird. In der Analysis zeigt man, dass alle Normen auf R n und C n äquivalent sind, und dass somit alle endlichdimensionalen Vektorräume mit innerem Produkt vollständig sind. Deshalb kann man im endlichdimensionalen Fall stets von Hilbert-, bzw, Banach-Räumen V sprechen, wenn es auf V ein inneres Produkt, bzw. eine Norm gibt. Endlichdimensionale Vektorräume mit innerem Produkt heissen auch Hilbert-Räume, wolche mit einer Norm nennt man Banach- Räume. Zu jedem inneren Produkt gehört eine Matrix G, die sogenannte Gram-Matrix: Definition Sei ( ) ein inneres Produkt auf einem reellen oder komplexen Vektorraum mit Basis (b 1,..., b n ). Die Matrix G = (γ i,j ) i,j=1,...,n mit γ i,j := (b i b j ) heißt die zu ( ) gehörende Gram-Matrix. Im reellen Fall ist G symmetrisch, d.h. G = G, im komplexen Fall gilt G = G, d.h. γ i,j = γ j,i. Eine solche Matrix heißt hermit sch. Genauer: 105

6 Definition Sei H = (γ i,j ) C (n,n). Die Matrix H := H, also die Matrix, die man durch transponieren und komplex-konjugieren aus H erhält, heißt die Adjungierte von H. Bezeichnung: H. Eine Matrix ist hermit sch, wenn H = H gilt. Beachten Sie, dass eine reelle Matrix genau dann hermit sch ist, wenn sie symmetrisch ist. Die Gram-Matrix kann als eine Darstellungsmatrix des inneren Produktes aufgefasst werden: Satz Sei ( ) ein inneres Produkt auf einem reellen oder komplexen Vektorraum V, und sei (b 1,...,b n ) eine Basis von V. Wenn G die zu ( ) gehörende Gram-Matrix ist, so gilt ( b i γ i b i µ i ) = ( ) γ 1... γ n G µ 1. µ n. Beweis Nachrechnen, bzw. Vorlesung. Korollar Die Matrix G erfüllt x Gx > 0 für alle x K n, x 0. Hier x 1 x 1 ist K = R oder C, und x =.. für x =... Verschiedene Basen liefern verschiedene Gram-Matrizen. Es stellt sich heraus, dass man stets eine Basis so finden kann, dass die Gram-Matrix die Einheitsmatrix ist. Definition Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit innerem Produkt ( ). Vektoren v, w 0 heißen orthogonal, wenn (v w) = 0 gilt. Eine Menge B = {b 1,...,b m }, b i 0, heißt orthogonal, wenn (b i b j ) = 0 für i j gilt. Wenn zusätzlich gilt (b i b i ) = 1 für i = 1,...,m, also b i = 1, so nennen wir die Menge orthonormal. Ist B eine Basis, so nennen wir sie eine Orthogonalbasis, bzw. Orthonormalbasis. Der wichtige Begriff in diesem Satz ist die Orthogonalität. Wir können jeden Vektor v 0 normalisieren, denn v = 1, 106

7 wir können also jede orthogonale Menge problemlos zu einer orthonormalen Menge machen. Es ist klar, dass die Gram-Matrix bezüglich einer Orthonormalbasis die Einheitsmatrix ist. Wir werden jetzt ein Verfahren angeben, wie man eine solche Orthonormalbasis finden kann. Zunächst ein Lemma: Lemma Ist B eine orthogonale Menge, dann ist B linear unabhängig. Beweis Angenommen, 0 = i b iλ i. Dann ist 0 = ( i b i λ i b j ) = (b j b j )λ j, also λ j = 0. Dieser Beweis zeigt auch, wie man die Koeffizienten eines Vektors v = n b iλ i findet, der bzgl. einer Orthonormalbasis (b 1,...,b n ) dargestellt ist: (v b j ) = ( b i λ i b j ) = λ j. Satz (Gram-Schmidt sches Orthogonalisierungsverfahren) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum, und sei {b 1,..., b n } eine Menge von n linear unabhängigen Vektoren. Dann gibt es eine Menge orthogonaler Vektoren v 1,..., v n derart, dass b 1,..., b s = v 1,..., v s für alle s = 1,...,n gilt. Beweis Setze v 1 = b 1, v := b (b v 1 ) v 1 v 1, dann ist v b 1, b, und (v 1 v ) = 0, also sind v 1 und v linear unabhängig. Beachte: v 0, weil b 1 (= v 1 ) und b linear unabhängig sind. Allgemein setzen wir m (b m+1 v i ) v m+1 := b m+1 v i v i. Auch hier gilt v m+1 0, v m+1 ist orthogonal zu v 1,..., v m und b 1,...,b m+1 = v 1,...,v m+1. Wenn die Vektoren hier noch normalisiert werden, spricht man vom Orthonormalisierungsverfahren. Korollar Jeder endlichdimensionale euklidische oder unitäre Vektorraum hat eine Orthonormalbasis. 107

8 Im Prinzip können wir jetzt schon sagen, dass es nur ein inneres Produkt auf R n und C n geben kann, nämlich das natürliche Skalarprodukt x i y i. Wir wollen das aber noch zurückstellen. Korollar Ist G C (n,n) Gram-Matrix eines inneren Produktes, dann gibt es eine invertierbare Matrix T mit T T = G. Ist umgekehrt G = T T für eine invertierbare Matrix T, so wird durch ein inneres Produkt auf C n definiert. ( y1 y n ) G Beweis Sei G die Gram-Matrix eines inneren Produktes, ausgedrückt bzgl. einer Basis (c 1,..., c n ) (die keine Orthonormalbasis sein muss). Dann gibt es eine Orthonormalbasis (b 1,..., b n ) für dieses innere Produkt. Wir schreiben Dann ist j=1 c i = (c i c k ) = ( λ j,i b j λ j,k b j ) = j=1 λ j,i b j. j=1 j,j =1 x 1. λ j,kλ j,i (b j b j ) = λ j,k λ j,i. Das ist genau der (i, k)-eintrag von T T, wobei T = (λ s,t ): Wir müssen dazu die i-te Zeile von T mit der k-ten Spalte von T multiplizieren (das ist der Spaltenvektor λ 1,k. λ n,k j=1 ). Die i-te Zeile von T ist die i-te Spalte von T (nur als Zeile geschrieben), also der Zeilenvektor ( λ 1,i... λ n,i ) 108

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