Martingal-Pricing-Theorie

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1 Seminararbeit Martingal-Pricing-Theorie von: Christina Riedel

2 I Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis... III Abkürzungsverzeichnis... IV 1. Einleitung Martingale Stochastische Grundlagen Stochastischer Prozess Filtration Bedingter Erwartungswert Definition von Martingalen Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Martingal Identifikation stetiger Martingale Martingal-Pricing-Theorie Nutzung von Martingalen zur Preissetzung von Vermögenswerten Doob-Meyer-Zerlegung Doop-Meyer-Theorem Nutzung der Doob-Meyer-Zerlegung Girsanov Theorem Maße und Numeraire Normalverteilte Zufallsvariablen Äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Aussage und Anwendung des Girsanov Theorems Anwendung äquivalenter Martingal-Maße zur Bestimmung von Anlagepreisen Umwandlung von Anlagewerten in Martingale Ableitung der Black-Scholes-Lösungsformel zur Optionspreisbestimmung Black-Scholes-Merton-Modell Grundlagen des Basismodells von Black, Scholes und Merton Die Black-Scholes-Merton- Differentialgleichung Lösung der Black-Scholes-PDE Vergleich der Ableitung der Black-Scholes-Formel mit PDE und Martingalansatz Äquivalenz der beiden Ansätze Ergebnis des Vergleichs... 34

3 II 6. Martingale als Grundlage für Monte-Carlo-Simulationen Einführung in die Monte-Carlo-Simulation des Kapitalwertes Der Martingale Ansatz in der MC-Simulation Zusammenfassung Anhang Literaturverzeichnis... 44

4 III Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Brownsche Bewegung mit verschiendenen Drifts und Volatilitäten... 6 Abbildung 2: Zwei Monte-Carlo-Iterationen der Stückkosten mit der Martingalen Methode 37

5 IV Abkürzungsverzeichnis EMM Äquivalentes Martingal-Maß KW Kapitalwert MC Monte-Carlo PDE Partielle Differentialgleichung RNM risikoneutrales Maß SDG Stochastische Differentialgleichung

6 1 1. Einleitung Die Abstammung des Begriffs Martingal ist bis heute noch nicht vollständig geklärt. KLEN- KE (vgl. 2008, S ) leitet das Wort la martingale aus dem Französischen für einen im Reitsport beim Spring- und Geländereiten als Teil des Zaumzeugs verwendeten Hilfszügel her und so im Sinne der Martingale, als das Bestreben einer Spielstrategie, den Zufall im Zaume zu halten (KLENKE 2008, S. 197). Zudem sieht er die verzweigte Form besonders des Jagdmartingals allegorisch für die Verdopplungsstrategie im Petersburger Spiel 1. Eine wichtige Bedeutung hat das Martingal als Spielstrategie beim Roulette. Dabei wird bei einem Verlust versucht diesen zu kompensieren, indem man den Einsatz verdoppelt, um ihn dann zu einem bestimmten Zeitpunkt wieder auszugleichen und dabei zusätzlich einen gesicherten Gewinn zu erzielen (vgl. WIEBE 2008, S. 96). In den folgenden Kapiteln wird die Bedeutung von Martingalen in der modernen Finanzmathematik aufgezeigt. Dabei werden zunächst wichtige stochastische Grundlagen erörtert, anschließend Martingale näher definiert und anhand eines Beispiels verdeutlicht. Dabei wird auch auf die Möglichkeiten zur Identifikation stetiger Martingale eingegangen. Im Kapitel 3 werden nach der Erläuterung des Nutzens von Martingalen für Anlagewerte zwei Verfahren vorgestellt, um Anlagen so umzuwandeln, dass sie die Eigenschaften von Martingalen übernehmen. Daraufhin werden die gewonnenen Ergebnisse dazu genutzt den Preis für Anlagen zu bestimmen. Dabei erhält man die Black-Scholes-Lösungsformel für den Preis von europäischen Optionen, welche im darauf folgenden Kapital 4 erläutert wird. Nach der Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung wird diese abgeleitet, um abermals die eben genannte Lösungsformel zu erhalten. Im Anschluss daran werden im fünften Kapitel beide Verfahren zur Optionspreisbestimmung miteinander verglichen. Nachfolgend wird noch die Bedeutung der Martingale bei der Monte-Carlo-Simulation anhand eines Beispiels dargestellt und abschließend die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit im Kapitel 7 kurz zusammengefasst. 2. Martingale Im folgenden Kapitel wird nach einer Einführung in stochastische Grundlagen der Begriff der Martingale definiert. Anschließend werden einige Beispiele für Martingale gegeben, wobei auf eines näher eingegangen wird. Letztlich folgt die Herleitung und Erklärung der Martingal- Pricing-Theorie. 1 Das Petersburger Spiel geht auf das Gedankenexperiment des Mathematikers Daniel Bernoulli zurück, der die Grundlagen der heutigen Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelte. Dabei kann ein Spieler eine Münze so lange werfen, bis diese zum ersten Mal Zahl zeigt. Er erhält dabei 2 wenn beim ersten Wurf Zahl erscheint, 4 wenn Zahl beim zweiten Mal, 8 wenn Zahl beim dritten Mal usw. erscheint. Somit verdoppelt dich bei jedem Wurf der Gewinn, so dass der Spieler beim n-ten Wurf einer Zahl erhält. Die Frage ist nun, wie viel würde der Spieler zahlen um an dem Gewinnspiel teilnehmen zu können (vgl. JOST 2008, S. 139).

7 Stochastische Grundlagen Zunächst werden wichtige Grundlagen erläutert, welche für die Martingale bedeutend sind Stochastischer Prozess Ein Stochastischer Prozess mit dem Parameterraum und dem Zustandsraum ist eine Folge von Zufallsvariablen, wobei die Menge aller Zustände/Werte darstellt, die die Zufallsgrößen für alle annehmen können (vgl. SCHLITTGEN/STREITBERG 2001, S. 90). Dabei wird von einem stochastischen Prozess mit diskreter Zeit gesprochen, falls die Menge der Parameter endlich oder abzählbar unendlich ist. Ist ein Intervall, dann spricht man von einem stochastischen Prozess mit stetiger Zeit (BEICHELT/MONTGOMERY 2003, S. 108) Filtration Sei ein stochastischer Prozess bzw. eine Folge von Zufallsvariablen in diskreter Zeit und sei eine Menge an Informationen aus der Vergangenheit (t-vergangenheit von ( 2.1 ) dann heißt die Menge Filtration, wenn gilt ( 2.2 ) Analog gilt für stochastische Prozesse in stetiger Zeit, dass eine Filtration ist, wenn gilt mit ( 2.3 ) und die Menge an Informationen (vgl. NEFTCI 2000, S. 120). Jedes einzelne ist eine - Algebra, die genau die Menge umfasst, für die zum Zeitpunkt bekannt ist, ob der wahre in eintretende Zustand in ihnen liegt oder nicht (BRANGER/SCHLAG 2004, S. 44). In den Modellen der folgenden Kapitel wird der Wissenszuwachs im Laufe der Zeit über eine Filtration modelliert (HAUSMANN et al. 2002, S. 353) Bedingter Erwartungswert Um die Martingale Preissetzungstheorie besser verstehen zu können, muss man sich zunächst die wichtigen Eigenschaften von bedingten Erwartungswerten vergegenwärtigen. 1. ( 2.4 )

8 3 Dies sagt aus, dass, wenn man einen Erwartungswert basierend auf nicht vorliegende Informationen bildet, eine einfache Erwartung erhält. 2. mit ( 2.5 ) Diese als Tower Law bekannte Eigenschaft des bedingten Erwartungswertes besagt, dass, wenn man zuerst die bedingte Erwartung zum Zeitpunkt gefolgt von der bedingten Erwartung zum Zeitpunkt nimmt, es das Gleiche ist, wie die bedingte Erwartung zum Zeitpunkt zu nehmen. Mit dem Tower Law und der Eigenschaft eines stetigen Martingals, für alle, ( 2.6 ) lässt sich eine einfache Methode ableiten um Martingale zu erstellen: ( 2.7 ) mit als Martingal. 3. ( 2.8 ) Wenn man auf eine Information bedingt, welche unabhängig vom Wert der Zufallsvariablen ist, dann erhält man denselben Wert, als würde man auf keine Information bedingen (vgl. JOSHI 2007, S. 145) Definition von Martingalen In diskreter Zeit ist ein stochastischer Prozess, der erfüllt, ein Martingal, wenn gilt, dass ( 2.9 ) Unter denselben Voraussetzungen ist ein Stochastischer Prozess ein Supermartingal, wenn gilt, dass ( 2.10 ) und ein Submartingal, wenn gilt, dass ( 2.11 ) Gleichbedeutend zur ersten Gleichung ist

9 4 ( 2.12 ) Der stochastische Prozess, gilt ist ein Martingal in stetiger Zeit, wenn für alle 1. ist bekannt, gegeben mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 für alle. Ein Stochastischer Prozess heißt Sub- bzw. Supermartingal, wenn weiter gilt, dass bzw. ( 2.13 ) (vgl. RINNE 2008, S. 421; NEFTCI 2000, S. 121). Oder mit Filtrationen formuliert, dann ist ein Martingal, wenn, für alle ( 2.14 ) und ein Sub- bzw. Supermartingal falls bzw. ( 2.15 ) Für Gleichung ( 2.14 ) kann man auch schreiben: ( 2.16 ) Mit zeigt man also auch den Erwartungswert der Variablen unter Nutzung einer Menge an Informationen zum oder vor dem Zeitpunkt (vgl. NEFTCI 2000, S. 121) Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Martingal Als Brownsche Bewegung versteht man im Allgemeinen die Beobachtung von Robert Brown, dass kleine Teilchen einer Flüssigkeit unter dem Einfluss rasch aufeinander folgender zufälliger Zusammenstöße mit Nachbarpartikeln eine unregelmäßige Bewegung ausführen (HULL 2009, S. 320). Sie wird auch als Wiener Prozess bezeichnet, da die Änderung der Va-

10 5 riable im Zeitverlauf charakteristische Merkmale aufweist, die in einer stochastischen Modellierung von Norbert Wiener 2 erarbeitet wurde. Der Prozess ist ein Brownscher Prozess, wenn folgendes gilt: 1. ist stetig und 2. ist normalverteil mit 3. mit ist normalverteilt mit und unabhängig von (der Vergangenheit des Prozesses bis zum Zeitpunkt ) (vgl. BAXTER/RENNIE 2007, S. 48 und 77). Um zu zeigen, dass der Brownsche Prozess ein Martingal ist, muss man zeigen, dass ( 2.17 ) Mit den oben genannten Eigenschaften kann man sagen, dass. Dadurch, dass = folgt. Mit Hilfe der linearen Transformation für Erwartungswerte kann man schreiben: ( 2.18 ) Womit bewiesen wäre, dass der Brownsche Prozess ein Martingal ist (vgl. BAXTER/ RENNIE 2007, S. 77; JOSHI 2007, S. 92). Im Allgemeinen kann man sagen, dass ein Martingal eine Brownsche Bewegung mit einem Drift von null ist. Folgende Abbildung 1 zeigt drei Diagramme mit jeweils unterschiedlichen Drift- (rate) und Volatilitätswerten (sigma), wobei jene fünf Prozesse, die eine rate von null haben, Martingale sind. Die ersten Werte repräsentieren dabei jeweils die roten Linien, die Zweiten haben die Farbe Blau und die grünen Graphen sind entsprechend für die dritten Werte. 2 Ein stochastischer Prozess,, heißt Wiener Prozess, wenn gilt : 1. hat stationäre und unabhängige Zuwächse 2. Für jedes ist normalverteilt mit und 3. (vgl. BEICHELT/ MONTGOMERY 2003, S. 199).

11 6 Abbildung 1: Brownsche Bewegung mit verschiendenen Drifts und Volatilitäten 2.4. Identifikation stetiger Martingale In Abschnitt 2.3. wurde gezeigt, dass der Brownsche Prozess ein Martingal ist und somit kann man sagen, dass zu jeder beliebigen Zeit der Erwartungswert von gleich seinem gegenwärtigem Wert ist. Um stetige Martingale zu identifizieren, muss man die Definition für stochastische se aus Abschnitt erweitern, indem man ihn durch die kurzfristige Weiterentwicklung in jeder möglichen Situation beschreibt. Das heißt, man stellt für ihn eine stochastische Differentialgleichung folgender Form auf, bei welcher ein Brownscher Prozess ist und eine Familie 146): von Zufallsvariablen (vgl. HAUSMANN et al. 2002, S. 381; JOSHI 2007, S. 95 &

12 7 ( 2.19 ) 3 Dabei beschreibt die Gleichung eine sehr kleine Änderung der Größe (, die Änderung der Zeit und die Änderung, die eine Brownsche Bewegung vollzieht. Die Gleichung bedeutet, dass zu jedem Zeitpunkt, bei dem und somit auch (Driftterm) und (Diffusionsterm) bekannt sind, die Veränderung von in einem kleinen Zeitintervall als Zufallsvariable näherungsweise durch eine Normalverteilung mit Erwartungswert [ und Varianz [ ²] beschrieben werden kann (HAUS- MANN et al. 2002, S. 381): ( 2.20 ) Jetzt wird gezeigt, dass diese Prozesse Martingale sind. Es wurde vorausgesetzt, dass für alle und sehr klein ist. kann man auch definieren als ( 2.21 ) mit einem sehr kleinem error-term und einer Driftrate von Null. Eine Driftrate von null bedeutet, dass der Prozess eine erwartete Änderung in Höhe von null pro Zeiteinheit aufweist (vgl. HULL 2009, S. 331). Um die Martingale Eigenschaft zu versorgen, gibt es einen Bias nach oben oder nach unten und man erhält (vgl. JOSHI 2007, S. 146): ( 2.22 ) Allgemein heißt das, dass ein Martingal ein stochastischer Prozess mit einem Drift von null ist und eine Variable einem Martingal folgt, wenn ihr Prozess die obige Form hat (vgl. HULL 2001, S. 715). Somit sind Martingale Zufallsvariablen, deren künftige Änderung, gegeben der augenblicklichen Information, vollständig unvorhersehbar sind. Dies kann man zum Beispiel wie folgt erkennen: man geht davon aus, dass von über ein Intervall der Länge betrachtet: ein Martingal ist und man die geschätzte Änderung ( 2.23 ) ist allerdings die Prognose einer Zufallsvariable, deren Wert bereits bekannt (vgl. Abschnitt 2.2. Definition für stetige Martingale) und somit gleich ist. Wenn ein Martingal ist, ist auch gleich Somit ist, also damit die beste Vorhersage der Änderung in über ein beliebiges Intervall. Somit kann man sagen, dass die 3 Im Folgenden wird diese Art von Gleichung wie folgt vereinfacht dargestellt:

13 8 künftigen Bewegungen bei Martingalen nicht vorhersehbar sind. Dies ist die wesentliche Eigenschaft von Prozessen, die sich wie Martingale verhalten (vgl. NEFTCI 2000, S. 121). 3. Martingal-Pricing-Theorie Für das folgende Kapitel muss man sich vergegenwärtigen, dass Martingale immer bezogen auf eine Menge an Informationen definiert werden aber ebenso hinsichtlich einiger Wahrscheinlichkeitsmaße. Wenn man den Inhalt der Information oder die Wahrscheinlichkeit ändert, kann es dazu kommen, dass kein Martingal mehr existiert. Anders herum ist dies jedoch auch möglich. Gegeben einen Prozess, der sich nicht wie ein Martingal verhält, kann es möglich sein, dass man durch die Änderung des Maßes in ein Martingal umwandelt (vgl. NEFTCI 2000, S. 122). Martingale spielen eine zentrale Rolle bei der Bewertung von Derivaten. Gerade dieser Aspekt ist für die Martingal-Pricing-Theorie von essentieller Bedeutung wie man in den folgenden Abschnitten erkennen wird (vgl. HULL 2001, S. 715). Bezogen wird sich dabei auf die stetige Zeit Nutzung von Martingalen zur Preissetzung von Vermögenswerten Wie im Abschnitt 2.4. erläutert ist ein Prozess ein Martingal, wenn die künftige Bewegung unvorhersehbar ist gegeben einer Menge an Informationen. Es ist jedoch bekannt, dass Aktien- oder Bondpreise eben nicht vollständig unberechenbar sind, sondern man geht davon aus, dass die abgezinsten Preise über die Zeit gesehen steigen (vgl. NEFTCI 2000, S. 122). Sei nun der Preis eines diskontierten Bonds der zum Zeitpunkt ( ausläuft ( 3.1 ) Hier ist klar, dass sich der Preis des diskontierten Bonds nicht wie ein Martingal verhält. Ähnlich geschieht dies bei einer Aktie die einen positiven Ertrag besitzt und deswegen kein Martingal sein kann. Dies kann auch geschrieben werden als: ( 3.2 ) mit als positivem Ertrag. Ähnliche Aussagen kann man auch über Optionen treffen. Sie haben einen Zeitwert und wenn Zeit vergeht, wird der Preis einer europäischen Option sinken. Dieser Prozess ist ein Supermartingal (vgl. NEFTCI 2000, S. 122).

14 9 Viele Anlagen verhalten sich also wie Sub- oder Supermartingale. Die Meisten lassen sich jedoch in Martingale umwandeln. Zum Beispiel kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung finden, mit der die durch den risikofreien Zins diskontierten Bond- oder Aktienpreise, Martingale werden. Wenn dies vollzogen wurde, können Paritäten wie ( 3.3 ) für Bonds oder ( 3.4 ) für Aktien sehr nützlich sein, um derivative Finanzinstrumente 4 preislich zu schätzen. Für die Umwandlung von Submartingalen in Martingale gibt es zwei Möglichkeiten. Die Erste ist eher offensichtlich. Man zieht von oder einfach den erwarteten Trend ab. Damit würde man die Abweichung um den Trend unvorhersehbar machen und die transformierten Variablen wären somit Martingale. Diese Methode ist das sogenannte Martingal Repräsentationstheorem. Unter bestimmten Voraussetzungen impliziert die Doop-Meyer- Zerlegung die Zerlegung eines willkürlichen Prozesses in Martingal und ansteigenden oder auch fallenden Prozess. Eliminiert man Letzteres, erhält man das gewünschte Martingal (NEFTCI 2000, S. 123) Die zweite Möglichkeit ist komplexer aber auch nützlicher als die Erste. Anstatt das Sub- oder Supermartingal direkt zu ändern, transformiert man, wie bereits erwähnt, stattdessen seine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Hat man zum Beispiel ( 3.5 ) mit als die berechnete bedingte Erwartung unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung, könnte man versuchen, eine äquivalente Wahrscheinlichkeit zu finden, so dass der neue Erwartungswert ( 3.6 ) erfüllt und ein Martingal wird. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Gleichungen wie ( 3.5 ) in Gleichungen wie ( 3.6 ) umwandeln bezeichnet man als Äquivalentes Martingalmaß (EMM). Zur Umwandlung benutzt man das Girsanov Theorem, welches bei 4 Ein derivatives Finanzinstrument ist im Wert abhängig von einem zugrunde liegenden Basiswert (sogenanntes underlying). Darüber hinaus handelt es sich dabei um Termingeschäfte, bei denen Vertragsabschluss und Erfüllung zeitlich auseinander liegen. Ein Beispiel wäre die Option als bedingtes Termingeschäft (vgl. SCHWARZ 2006, S. 10&19).

15 10 der Preissetzung von Vermögenswerten vielversprechender als die Doop-Meyer-Zerlegung ist (vgl. NEFTCI 2000, S ). Diese Verfahren werden in den beiden kommenden Abschnitten vorgestellt Doob-Meyer-Zerlegung Zunächst muss man sich darüber klar werden, was es mit den Wahrscheinlichkeiten auf sich hat. Man nimmt an, dass ein Händler zu verschiedenen Zeiten ( 3.7 ) die Preise einer finanziellen Anlage beobachtet. Wenn das Intervall zwischen und sehr klein und der Markt liquide ist, wird der Preis der Anlage voraussichtlich einen Kursauf-, oder abschlag während haben. Dies formuliert man folgendermaßen: Man sagt, dass es zu jedem Augenblick nur zwei Möglichkeiten für gibt sich zu ändern: ( 3.8 ) Die Änderungen sind unabhängig voneinander. Für, ist der erwartete Wert von gleich null (vgl. NEFTCI 2000, S. 137). Nun kann die Wahrscheinlichkeit für einen Kursaufschlag zu jedem Zeitpunkt auch etwas größer sein als der Abschlag für eine bestimmte Anlage, so dass man einen gewissen Aufwärtstrend in der Kurve erwartet und man somit ein Submartingal hätte. Die Doob-Meyer- Zerlegung zerlegt nun einen willkürlichen Prozess in Martingal und ansteigenden oder auch fallenden Prozess. Nach der Eliminierung des Prozesses erhält man das gewünschte Martingal Doop-Meyer-Theorem Das Doop-Meyer-Theorem sagt nun folgendes: Sei eine Menge an Informationen. Wenn ein rechtsstetiges Submartingal in Bezug auf ist und wenn für alle, dann lässt folgende Zerlegung ( 3.9 )

16 11 zu, wobei ein rechtsstetiges Martingal 5 hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit und ein messbarer steigender Prozess bezüglich ist (vgl. NEFTCI 2000, S. 141; BAGDONAVIČIUS/ NIKULIN 2002, S. 293). Dieses Theorem zeigt also, dass man, selbst wenn der durchgehend beobachtete Anlagepreis Sprünge enthält und sein Trend aufwärts geht, ihn in ein Martingal umwandeln kann, wenn man den beobachteten Prozess zum Zeitpunkt abzieht. Wenn der Prozess nur stetig ohne Sprünge ist, ist das resultierende Martingal auch stetig Nutzung der Doob-Meyer-Zerlegung Durch die Doob-Meyer-Zerlegung kann man also einen Prozess nehmen, der kein Martingal ist und ihn in ein solches umwandeln. Dies ist in der Preissetzung von finanziellen Anlagen sehr nützlich. Hier wird dies an einem Beispiel verdeutlicht (vgl. NEFTCI 2000, S ). Die Zeit sei stetig und der Wert für eine Call-Option auf das Basisobjekt ist durch die Funktion ( 3.10 ) gegeben mit Ablaufdatum. Wenn der Basiswert über dem Basispreis liegt, dann nimmt die Option den Wert der Preisdifferenz an. Wenn der Basiswert kleiner als ist hat die Option den Wert null. Zu einer früheren Zeit ist der Wert von unbekannt. Allerdings kann man eine Prognose errechnen, indem man die Information zum Zeitpunkt nutzt.. ( 3.11 ) Man nimmt also die Erwartung hinsichtlich der Verteilungsfunktion, die die Preisbewegung steuert. Entgegen der Erwartung kann man auch fragen, ob der übliche Marktpreis diskontierten Wert von dem richtigem gleichen wird. Nimmt man zum Beispiel an, dass man den konstanten risikofreien Zins nutzt um abzuzinsen, dann schreibt man ( 3.12 ) 5 Ein rechtsstetiges Martingal zeigt durch einen unregelmäßigen Kurvenverlauf der durch Sprünge unterbrochen ist aber weiterhin keinen Trend ausweist (vgl. NEFTCI 2000, S. 124). 6 Ein stetiges Martingal zeigt einen unregelmäßigen Kursverlauf wobei der Kursverlauf stetig ist im Sinne das. Dabei zeigt jedoch weiterhin keinen Trend (vgl. NEFTCI 2000, S. 124).

17 12 Ob der Marktwert auch wirklich der Call-Option entspricht, hängt davon ab, ob ein Martingal hinsichtlich und ist. Wenn das so ist, dann hat man ( 3.13 ) bzw. nach der Multiplikation beider Seiten mit ( 3.14 ) und wäre ein Martingal. Nun stellt sich die Frage, ob auch ein Martingal unter der wahren Wahrscheinlichkeit ist. Unter der Annahme, dass Investoren risikoavers sind, kann man schreiben, dass, ( 3.15 ) wobei ein Submartingal ist. In Anlehnung an die Doob-Meyer-Zerlegung kann man nun so teilen, dass man = ( 3.16 ) erhält, wobei eine steigende mit messbare Zufallsvariable ist und ein Martingal bezüglich der Information Wenn die Funktion deutlich beobachtet werden kann, dann kann man die Zerlegung in Gleichung ( 3.16 ) zusammen mit ( 3.15 ) dazu nutzen, den Marktwert einer Call-Option zum Zeitpunkt zu bekommen Girsanov Theorem Für die zweite Möglichkeit zur Umwandlung von Submartingalen in Martingale transformiert man die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dies ist jedoch ein komplexer Prozess der einiger Vorbearbeitung bedarf. Im folgenden Abschnitt werden zunächst einige Grundlagen erläutert und dann Schritt für Schritt das gewünschte Martingal bestimmt Maße und Numeraire Im Allgemeinen kann man einen Prozess in zwei verschiedenen Welten betrachten. Sei zum Beispiel eine Aktie, die einer geometrischen Brownsche Bewegung folgt. In der realen Welt folgt sie dem Prozess ( 3.17 )

18 13 in der risikoneutralen dem Prozess ( 3.18 ) (Beweis siehe Anhang 1). In einer risikoneutralen Welt ist der Marktpreis des Risikos gleich null, während in der realen Welt der Marktpreis des Risikos gegeben ist durch: ( 3.19 ) Die Gleichungen ( 3.17 ) und ( 3.18 ) veranschaulichen, dass sich bei z.b. einer Aktie die erwartete Rendite beim Übergang von der risikoneutralen zur realen Welt ändert, aber die Volatilität gleich bleibt (HULL 2009, S. 314). Wenn man sich von einer Welt mit bestimmten Risikopräferenzen zu einer anderen Welt mit anderen Risikopräferenzen beweg[t], verändern sich die erwarteten Wachstumsraten in den Variablen, aber ihre Volatilitäten bleiben dieselben (HULL 2009, S. 314). Diesen Wechsel der Präferenzen des Risikos bezeichnet man auch als Maßwechsel, wobei das Maß für die reale Welt dabei als P-Maß und das der risikoneutralen Welt als Q-Maß bezeichnet wird. Der Marktpreis des Risikos einer Variablen bestimmt dabei die Wachstumsraten aller Wertpapiere, die von dieser abhängen. Bewegt man sich von Einem Marktpreis des Risikos zum Anderen, ändern sich dabei die erwarteten Wachstumsraten der Weltpapierpreise während dessen die Volatilitäten gleich bleiben. Die Wahl eines bestimmten Marktpreises des Risikos wird auch als Definieren des Wahrscheinlichkeitsmaßes bezeichnet (HULL 2001, S. 716). Im obigen Fall (bzw. für einen genauen Nachweis, vgl. Anhang 1) wurde der Preis der Aktie mit einem Bond mit stetiger Verzinsung und einem risikofreien Zinssatz normiert: ( 3.20 ) ist der relative Preis von bezogen auf, bzw. ein Maß für den Preis in Einheiten von, statt zum Beispiel in der Währung Euro. wird dabei als Numeraire bezeichnet. Man spricht dabei auch von einer Normierung (vgl. HULL 2001, S. 716; DEUTSCH 2008, S. 207). In diesem Fall sind die normierten Preise unter dem risikoneutralen Maß Martingale (RNM). Damit kann der heutige Preis eines Derivats als Erwartungswert der mit dem kurzfristigen Zins diskontierten zukünftigen Zahlungen unter dem RNM berechnet werden (BRANGER/SCHLAG 2004, S. 34). Dieses Konzept lässt sich auf beliebige Numeraire ver-

19 14 allgemeinern 7, indem man zu einem gegebenen Numeraire wieder ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß sucht, welches die normierten Preise zu Martingalen macht. Dieses Maß bezeichnet man als äquivalentes Martingalmaß Normalverteilte Zufallsvariablen Bevor man jedoch näher auf das EMM eingehen kann, bedarf es noch weiterer Grundlagen (vgl. NEFTCI 2000, S ). Sei fix und die Zufallsvariable sei normalverteilt: ( 3.21 ) Die Dichte von sei und das unterstellte Wahrscheinlichkeitsmaß, so dass ( 3.22 ) wird. Als nächstes formuliert man eine neue Funktion ( 3.23 ) Multipliziert man mit erhält man eine neue Wahrscheinlichkeit ( 3.24 ) bzw. ( 3.25 ) Bei der Multiplikation von mit ändert sich der Mittelwert von, aber die Varianz bleibt unverändert. Während unter dem Maß die Zufallsvariable den Mittelwert und Varianz hatte, hat die normalverteilte Zufallsvariable verbunden mit dem neuen Maß nun einen Mittelwert von und rianz. Es existiert also eine Funktion so dass man bei der Multiplikation mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß mit ihrer Funktion eine neue Wahrscheinlichkeit erhält. Diese Transformation ist auch wieder umkehrbar (vgl. NEFTCI 2000, S ). 7 Beispiele hierzu siehe HULL 2001, S

20 15 Diese Methode ist äußerst nützlich, da man somit auch einen Mittelwert von null erreichen kann. Im Prozess bei Beispiel musste, um die diskontierten Preise in Martingale umzuwandeln, die Maßeinheit verändert werden. Dies wird durch eine Änderung des Wahrscheinlichkeitsraumes der Brownsche Bewegung, die der Verschiebung der Aktienpreise unterliegt, erreicht. So eine Änderung muss die Wahrscheinlichkeitsausprägungen 0 und 1 erhalten (vgl. JOSHI 2007, S. 147) 8. Gegeben sei z.b. seine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsmaß so erhält man mit Multiplikation von eine neue Wahrscheinlichkeit, somit ( 3.26 ) Nun kann man auch das äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaß formulieren Äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß BEDINGUNG: Gegeben sei ein Intervall, dann sind die Wahrscheinlichkeiten genau dann umkehrbar, wenn und ( 3.27 ) Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann existiert (im Finanzbereich auch bekannt als Radon-Nikodym Derivat) und man kann immer zwischen den Wahrscheinlichkeiten und hin und her wechseln unter Verwendung folgender Relation: ( 3.28 ) ( 3.29 ) Das heißt somit, dass für alle praktischen Zielsetzungen bzw. Zwecke beide Maße äquivalent sind. Man spricht hier von äquivalenten Wahrscheinlichkeitsmaßen (vgl. NEFTCI 2000, S. 329). 8 Es stellt sich heraus, dass eine Maßtransfomation der Brownschen Bewegung im Prinzip dasselbe ist, wie den Drift des Brownschen Bewegungsprozesses zu ändern. Man kann also mit der Änderung des Wahrscheinlichkeitsmaßes die Brownsche Bewegung je nach dem Drift ändern, den man sich wünscht (vgl. JOSHI 2007, S. 147).

21 Aussage und Anwendung des Girsanov Theorems Im den bisherigen Abschnitten wurde nur mit einer einzigen Zufallsvariablen anstatt einem zufälligen Prozess gearbeitet. Das Girsanov Theorem ermöglicht die Voraussetzung, unter der das Radon-Nikodym Derivat auch für Fälle existiert, in denen ein stetiger stochastischer Prozess ist. THEOREM: Sei ein Prozess wie folgt definiert ( 3.30 ) über einem Intervall, wobei durch die Menge an Informationen genau bekannt und ein Wiener Prozess mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, dann ist ein Wiener Prozess ( 3.31 ) bezüglich und in Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben mit ( 3.32 ) ist ein Ereignis bedingt auf und ist die Indikatorfunktion des Ereignisses. Mit heuristischer Methode kann man auch schreiben, dass dieses Theorem aussagt, dass gegeben einen Wiener Prozess, die Wahrscheinlichkeitsverteilung von diesem multipliziert mit, man dann einen neuen Wiener Prozess mit Wahrscheinlichkeitsverteilung erhält. Beide Prozesse sind durch ( 3.33 ) miteinander verbunden. Man kann auch sagen, dass man durch Abziehen eines durch geeigneten Drifts erhält (vgl. NEFTCI 2000, S ). Was dabei passiert ist folgendes: Man gibt dem Weg, der eine bestimmte Richtung verfolgt zusätzliches Gewicht und denen, die eine andere Richtung verfolgen ein Geringeres (vgl. JOSHI 2007, S. 148). Wichtig ist noch zu sagen, dass sowohl unter als auch unter keinen Drift haben, da sie beide Standard Wiener Prozesse sind (vgl. NEFTCI 2000, S. 332). Man benutzt das Girsanov Theorem vor allem, um beliebige Prozesse in Martingale zu ändern (vgl. NEFTCI 2000, S. 123).

22 17 Das Theorem kann man nun praktisch anwenden um den Prozess von einem Submartingal in ein Martingal umzuwandeln, indem man zu einem äquivalenten Maß wechselt, damit der Drift letztlich null wird. Angenommen weist eine zunehmende Änderung im Aktienpreis auf. Diese Änderungen basieren auf winzig kleinen Vorstößen die normalverteilt sind, so dass man unter Anwendung von der SDG und bedingt durch den Wiener Prozess schreiben kann als ( 3.34 ) Um das gewünschte Ergebnis zu erreichen, muss man die ursprüngliche Verteilung mit der Funktion multiplizieren. Man geht davon aus, dass ein Submartingal unter ist, ( 3.35 ) man braucht aber als Martingal ( 3.36 ) Die Dichte von ist gegeben mit ( 3.37 ) bezogen auf das Maß (vgl. NEFTCI 2000, S. 334). Man definiert durch ( 3.38 ) und nach der Multiplikation von mit erhält man ( 3.39 ) bzw. nach Umstellung der Exponenten ( 3.40 )

23 18 Dies ist nun ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit einem normalverteilten Prozess mit Drift null und Streuung. Somit schreibt man für den Zuwachs von unter Bedingung des treibenden Terms : ( 3.41 ) Und damit ist der Prozess nun ein Martingal, wobei der Wiener Prozess hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit definiert ist (vgl. NEFTCI 2000, s ). Diese Methode um Submartingale in Martingale umzuwandeln, wie es auch schon bei der Doob-Meyer-Zerlegung passiert ist, ist komplizierter aber auch vielversprechender (vgl. NEFTCI 2000, S. 124) Anwendung äquivalenter Martingal-Maße zur Bestimmung von Anlagepreisen In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, wie äquivalente Martingal-Maße am Beispiel der Preisfindung von Optionen angewendet werden können. Dabei wird, nach Definition geeigneter Annahmen, gezeigt, wie durch die Ermittlung eines geeigneten Maßes, die Umwandlung von Anlagewerten in Martingale möglich ist. Diesmal wird, um letztlich zur Black-Scholes- Gleichung zur Bewertung von Optionen zu gelangen, das Girsanov Theorem nicht explizit benutzt Umwandlung von Anlagewerten in Martingale sei ein stetiger Prozess, der auch als genereller Wiener Prozess bezeichnet werden kann, da er die Eigenschaften ( 3.42 ) bzw. ( 3.43 ) mit als normalverteilte Zufallsvariable besitzt, mit gegebenem. ist ein geometrischer Prozess ( 3.44 ) mit als Startpunkt von (vgl. NEFTCI 2000, S. 348). Die bedingte Erwartung eines geometrischen Prozesses ist definiert als

24 19 ( 3.45 ) (vgl. NEFTCI, S. 349). Wie in Abschnitt 3.1. beschrieben verhalten sich viele Anlagen bezogen auf die wahre Wahrscheinlichkeit wie Submartingale, demnach ( 3.46 ) 9 zu finden, so dass die berechneten Erwartung- Das Problem ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß en die Form ( 3.47 ) aufweisen, damit ein Martingal wird. Um dieses Maß zu finden, definiert man zunächst allgemein das neue Maß unter ( 3.48 ) mit einem beliebigen als einzigen Unterschied zwischen und. Damit kann man unter Berücksichtigung der Bedingung ( 3.45 ) 10 die bedingte Erwartung wie folgt evaluieren ( 3.49 ) Da der Parameter beliebig ist, kann man ihn, solange die Erwartung bezüglich der Martingalen Eigenschaft folgt, so bestimmen wie man ihn benötig. Definiert man folgendermaßen ( 3.50 ) ist er nun fixiert unter der Volatilität und dem risikolosem Zins. Das Wichtige dabei ist, dass mit diesem der Exponent in Gleichung ( 3.49 ) null wird durch 9 Diese Formel ist dieselbe wie die in Gleichung ( 3.5 ), nur wegen der folgenden Rechnungen wie oben dargestellt. 10 Bzw. unter Berücksichtigung der Entstehung der Gleichung. Dafür sei verwiesen auf NEFTCI 2000, S

25 20 ( 3.51 ) und man für die Gleichung ( 3.49 ) somit ( 3.52 ) erhält. Nach der Transformation von auf die rechte Seite ergibt sich ( 3.53 ) womit unter somit ein Martingal wurde. Indem man somit einen bestimmten Wert für gewählt hat, erhält man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, unter der die Erwartungen für Anlagewerte die Eigenschaft für Martingale besitzen. Hier hat man dann eine Normalverteilung mit der Form ( 3.54 ) die sich nur durch den Mittelwert von der ursprünglichen Verteilung unterscheidet (vgl. NEFTCI 2000, S ). Die gewonnenen Erkenntnisse können nun zur Bestimmung des Optionspreises mit dem Martingal-Ansatz genutzt werden Ableitung der Black-Scholes-Lösungsformel zur Optionspreisbestimmung Sei im Folgenden der Aktienpreis, der Basis- bzw. Strikepreis und der Preis für eine europäische Call-Option unter den Black-Scholes-Rahmenbedingungen (vgl. Abschnitt 4.1.). Die Basisbeziehung ist die Martingale Eigenschaft, dass unter dem Maß ( 3.55 ) erfüllen muss, wobei das Ablaufdatum der Call-Option ist. Für die Randbedingung für gilt folgende Bedingung:

26 21 ( 3.56 ) (vgl. Abschnitt ) und mit Gleichung ( 3.56 ) ergibt sich für die Eigenschaft von ( 3.57 ) Um die Black-Scholes-Lösungsformel zur Optionspreisbestimmung zu erreichen, wird diese Erwartung nun direkt berechnet. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass man 1., den Optionspreis also ab dem Zeitpunkt null berechnet 2. und die derzeitige Menge an Informationen zu wird. Dadurch kann man den Operator für unbedingte Erwartungen nutzen und rechnet weiter mit ( 3.58 ) Dabei nutzt man das Wahrscheinlichkeitsmaß, was man durch Nutzung der bereits erwiesenen Gleichungen ( 3.40 ) und ( 3.50 ) erhält: ( 3.59 ) mit ( 3.60 ) Damit kann man direkt den Ausdruck ( 3.60 ) errechnen, den man auch schreiben kann als ( 3.61 ) Nach dem Einsetzen von ( 3.59 ) und ( 3.60 ) in ( 3.61 ) erhält man ( 3.62 ) Um die Maximierungsfunktion innerhalb des Integrals zu eliminieren, muss man die Grenzen des Integrals ändern. Dies kann man hier zum Beispiel machen, indem man sagt, dass das Integral nur dann nicht gleich null ist, wenn ( 3.63 ) bzw.

27 22 ( 3.64 ) ist. Nach Einsetzen in ( 3.62 ) ( 3.65 ) kann man das Integral in zwei Teile teilen ( 3.66 ) (vgl. NEFTCI 2000, S ). Nun definiert man eine neue Variable x mit ( 3.67 ) bzw. ( 3.68 ) Dies erfordert eine Korrektur der unteren Grenzen in den Integralen, die nun mit bezeichnet werden mit: ( 3.69 ) Das Integral hat nun folgende Terme:

28 23 Term 1 ( 3.70 ) Term 2 ( 3.71 ) Term 2 ist durch eine Eigenschaft von Normalverteilungen relativ leicht zu lösen. Diese lautet, dass man für Standard-Normalverteilungen folgendes schreiben kann: ( 3.72 ) Dadurch lautet der zweite Term: ( 3.73 ) ( 3.74 ) Somit bleibt noch der erste Term. Mit folgender Substitution lässt sich jedoch auch dieser Teil lösen: ( 3.75 ) und man erhält: ( 3.76 ) ( 3.77 )

29 24. ( 3.78 ) Durch Zusammenfügen beider Terme ergibt sich für den Preis einer Call-Option: ( 3.79 ) mit ( 3.80 ) ( 3.81 ) (vgl. JOSHI 2007, S ; NEFTCI 2000, S ). Dies ist die Lösung der Black-Scholes-Merton Gleichung, welche im folgenden Kapitel näher beschrieben wird. 4. Black-Scholes-Merton-Modell Das Modell von Fischer Black, Maron Scholes und Robert C. Merton aus den 70er Jahren ist ein häufig genutztes Modell zur Bewertung von Optionen. Diese Optionsbewertungsformel, die im Allgemeinen als Black-Scholes-Formel bezeichnet wird, hat sich zum Industriestandard entwickelt, da sie der Ausgangspunkt vieler optionspreistheoretischer Überlegungen ist (RUDOLPH/SCHÄFER 2005, S. 244). Im Folgenden Kapitel werden zunächst die Grundlagen des Modells erläutert. Danach wird die Differentialgleichung hergeleitet und anschließend gelöst Grundlagen des Basismodells von Black, Scholes und Merton In ihrem Ansatz modellieren Black, Scholes und Merton über einen geometrischen Brownschen Prozess, welcher die Annahme normalverteilter Aktienrenditen impliziert, die Aktienkursbewegung. Die Formel selbst beruht auf folgenden Annahmen: 1. Das logarithmierte Verhältnis der Aktienkurse bzw. die Aktienrenditen ist/sind normalverteilt. Die momentane Varianz ist konstant. 2. Optionen und Aktien werden ständig gehandelt.

30 25 3. Der Kapitalmarkt ist vollkommen und vollständig. 4. Die Ausübung der Optionen können nur an einem bestimmten Termin durchgeführt werden, deswegen werden ausschließlich europäische Optionen betrachtet. 5. Während der Laufzeit der Option fallen auf die zugrunde liegenden Aktien keine Dividendenzahlungen an. Für europäische Kaufoptionen (Call) auf Aktien ohne Dividenden sowie einer europäischen Verkaufsoption (Put) auf eine dividendenlose Aktie zum Zeitpunkt null, lautet die klassische Formel von Black, Scholes und Merton wie folgt (vgl. RUDOLPH/SCHÄFER 2005, S. 244): ( 4.1 ) ( 4.2 ) mit ( 4.3 ) ( 4.4 ) Die Funktion ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung, also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Variable mit einer Standardnormalverteilung kleiner als oder gleich ist (vgl. HULL 2009, S. 365). Die restlichen Variablen sind aus dem vorherigen Kapitel bereits bekannt, werden aber zur Vervollständigung wiederholt. C und P steht jeweils für den Preis der Kauf- bzw. Verkaufsoption einer europäischen Aktie. entspricht dem Aktienkurs zum Zeitpunkt null, dem Basispreis, dem risikolosen Zinssatz bei stetiger Verzinsung, der Volatilität bzw. der Preisschwankung des Aktienkurses und der Restlaufzeit der Option. Eine Möglichkeit zur Herleitung der Formel besteht im Martingalansatz, wie im vorherigen Kapitel gezeigt wurde. Des Weiteren kann man diese Gleichung auch durch die Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung herleiten, wie nun in den nächsten Abschnitten gezeigt wird Die Black-Scholes-Merton- Differentialgleichung Zunächst müssen für die Herleitung der Differentialgleichung folgende Annahmen festgelegt werden (vgl. HULL 2009, S. 359):

31 26 1. Bei vollständiger Verwendung der resultierenden Einnahmen ist ein Leerverkauf von Wertpapieren möglich. 2. Es gibt weder Transaktionskosten noch Steuern. Alle Wertpapiere sind ohne Einschränkung teilbar und ein Handel mit ihnen findet fortlaufend statt. 3. Es gibt während der Laufzeit des Derivates keine Dividendenzahlungen. 4. Es existieren keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten. 5. Der risikolose Zinssatz ist für alle Laufzeiten identisch und konstant. Ein häufig verwendetes Modell für Aktienkurse, welches auch schon im Abschnitt benutzt wurde und die Grundlage des Black-Scholes-Ansatzes darstellt, ist die geometrische Brownsche Bewegung. Der Aktienkurs erfüllt bei Annahme des Modells folgende Gleichung: ( 4.5 ) beschreibt die Änderung des Kurses der Aktie in einem kleinen Zeitintervall. ist ein Wiener Prozess. Der Driftparameter stellt die erwartete Rendite der Aktie pro Zeiteinheit dar. Die Volatilität (Preisschwankung) ist ein Maß für die zufälligen Schwankungen des Aktienkurses, und sind dabei konstant (vgl. HULL 2009, S. 334; FRANKE et al. 2003, S. 69). Der Wert von sollte vom Risiko der Aktie abhängen, da ein rationaler Anleger bei einem höheren Risiko eine höhere erwartete Rendite erwartet. Allerdings muss man sich tatsächlich nicht weiter mit dieser Determinante befassen, da der Wert eines von einer Aktie abhängigen Derivats im Allgemeinen unabhängig von ist. Im Gegensatz dazu ist der Parameter [ ] von kritischer Bedeutung für die Bestimmung des Wertes der meisten Derivate (vgl. HULL 2009, S. 336). Der Preis einer Aktienoption ist eine Funktion des Preises der zugrunde liegenden Aktie und der Zeit (HULL 2009, S. 337). Somit kann man auch sagen, dass der Preis eines beliebigen Derivats eine Funktion der dem Derivat zugrunde liegenden stochastischen Variablen und der Zeit ist (HULL 2009, S. 337). Für die weitere Entwicklung der Differentialgleichung muss deswegen auch das Verhalten der Funktion, durch das von dem Mathematiker Kiyosi Itô entdeckte Resultat, auch bekannt als Itôs Lemma, dargestellt werden. Folgt der Wert einer Variablen dem Itô-Prozess ( 4.6 ) wobei ein Wiener Prozess ist, und Funktionen von und darstellen und den Drift und die Varianz hat. Itôs Lemma zeigt dann, dass eine weitere Funktion G von und folgendem Prozess folgt:

32 27 ( 4.7 ) wobei derselbe Wiener Prozess wie in Gleichung ( 4.6 ) ist und daher ebenfalls einem Itô- Prozess folgt mir Drift ( 4.8 ) und Varianz ( 4.9 ) Sei nun der Preis einer Kaufoption (oder auch eines anderen Derivates) einer Aktie, dann muss die Variable eine Funktion von und sein. Unter Verwendung der Gleichung ( 4.5 ) und dem Itô-Prozess aus ( 4.7 ) folgt: ( 4.10 ) Zur weiteren Berechnung braucht man die diskreten Versionen von Gleichung ( 4.5 ) und ( 4.10 ): ( 4.11 ) und ( 4.12 ) wobei und eine Änderung in einem kurzen Zeitintervall darstellen. Wie bereits erwähnt, ist der Wiener Prozess in beiden Gleichungen identisch. Somit kann man aus der Aktie und der Option ein Portfolio so zusammenstellen, dass diese Variable eliminiert wird. Ein geeignetes Portfolio setzt sich wie folgt zusammen: -1: Option + Anteile der Aktie.

33 28 Der Inhaber dieses Portfolios hat eine Short-Position in einem Derivat sowie eine Long- Position mit Aktien (HULL 2009, S. 360) bzw. er hat ein Derivat leerverkauft und Aktien gekauft (HULL 2001, S. 351). Mit wird der Wert des Portfolios definiert. Somit gilt: ( 4.13 ) Eine Änderung von, also dem Wert des Portfolios im Zeitintervall, ist gegeben durch ( 4.14 ) Nach dem Einsetzen der Gleichungen ( 4.11 ) und ( 4.12 ) in ( 4.14 ) erhält man ( 4.15 ) Wie man erkennen kann, ist nicht mehr Bestandteil der Gleichung, weshalb das Portfolio über den Zeitraum risikolos sein muss. Am Anfang dieses Abschnittes wurden Annahmen getroffen, die implizieren, dass dieses Portfolio denselben Ertrag wie weitere kurzfristige risikolose Anlagen erzielen muss, um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen. Somit folgt, dass ( 4.16 ) mit als risikoloser Zins ist. Durch Einsetzen der Gleichungen ( 4.13 ) und ( 4.15 ) in ( 4.16 ) erhält man ( 4.17 ) und schließlich ( 4.19 ( 4.18 ) ) was die bekannte Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung darstellt, welche auch Black- Scholes-PDE genannt wird.

34 29 Sie hat zahlreiche Lösungen, je nachdem welches Derivat man mithilfe von als zugrundeliegende Variable definiert. Um eine spezielle Lösung für ein Derivat zu erlangen, muss man die entsprechenden Randbedingungen definieren, welche die Werte an den Grenzen des Derivats bestimmen. Für eine europäische Kauf- bzw. Verkaufsoption lauten sie: falls ( 4.20 ) falls ( 4.21 ) (vgl. HULL 2009, S ). Wichtig ist noch zu erwähnen, dass das verwendete Portfolio nicht permanent risikofrei ist, denn dies gilt nur für unendlich kleine Zeiträume. Verändern sich und, dann wird sich auch ändern, was aber ein Bestandteil der Black-Scholes-PDE ist. Damit das Portfolio risikofrei bleibt, ist es nötig, das Verhältnis von Derivat und Aktie öfters zu ändern (vgl. HULL 2001, S ) Lösung der Black-Scholes-PDE Für die Lösung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung muss zunächst zur Vereinfachung die Substitution bzw. vorgenommen werden (vgl. JOSHI 2007, S. 109; WILKENS 2000, S. 165). Nach Einsetzen von und Umschreiben der Gleichung ( 4.19 ) erhält man ( 4.22 ) mit konstanten Koeffizienten. Um die Gleichung weiter zu vereinfachen nimmt man an, dass nicht die aktuelle Zeit den Preis einer Option beeinflusst, sondern die Summe der vergangenen Zeit. Mit man erhält ( 4.23 ) Da man versucht, den Preis des Wertes eines möglichen Cashflows in der Zukunft zu errechnen, kann man schreiben, dass ist, womit man ausdrückt, dass der mögliche künftige Zahlungsfluss in die augenblickliche Zeit diskontiert wird. Damit erhält man ( 4.24 )

35 30 Als nächstes eliminiert man den erstrangigen Term. Nun sei der Mittelwert von zum Zeitpunkt. Um dies mit in Betracht zu ziehen schreibt man die Koordinaten um in, ( 4.25 ) womit Gleichung ( 4.24 ) zu ( 4.26 ) wird (vgl. JOSHI 2007, S. 109). Dies ist die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung. Für diese Gleichung kann man eine Theorie entwickeln, die der Potentialtheorie für die Laplacesche Differentialgleichung entspricht; auf diese Weise kann man die Randwertprobleme der Wärmeleitungsgleichung in Integralgleichungsprobleme überführen (SMIRNOV 1989, S. 397). Die Nebenbedingungen sind zum Einen Gleichung ( 4.20 ) und zum Anderen falls, also, wenn die Aktie keinen Wert besitzt, ist auch die Kaufoption wertlos (vgl. KACHAKLIEV 2009, S. 11). Beim Lösen der Differentialgleichung unter diesen Bedingungen erhält man nun die Formel zur Bewertung von europäischen Kaufoptionen (vgl. JOSHI 2007, S ; BLACK/SCHOLES 1973, S ):, ( 4.27 ) wobei die kumulierte Normalverteilung darstellt mit ( 4.28 ) ( 4.29 ) Hier müssen noch zwei Gegebenheiten erwähnt werden. Zum Einen erscheint die erwartete Rendite nicht in der Gleichung ( 4.27 ). Somit ist der Wert der Option als Funktion des Aktienpreises unabhängig von der erwarteten Rendite der Aktie. Die erwartete Rendite der Option hängt allerdings von der erwarteten Rendite der Aktie ab. Die Verfallszeit Anderen kommt in ( 4.27 ) nur multipliziert mit oder vor. Somit hat eine Steigung der Restlaufzeit den gleichen Effekt auf den Wert der Option wie eine gleiche prozentuale Erhöhung in Beiden, und (vgl. BLACK/SCHOLES 1973, S. 644). zum

36 31 5. Vergleich der Ableitung der Black-Scholes-Formel mit PDE und Martingalansatz Wie man in Abschnitt und im Kapitel 4 gesehen hat, lässt sich die Black-Scholes- Formel zur Bestimmung von Optionspreisen auf zwei Arten herleiten, nämlich mit dem Lösen der Black-Scholes-Differentialgleichung und dem Martingalansatz. Der erste Ansatz erzielt den erwünschten Preis durch Gestaltung risikofreier Portfolios. Der Zweite basierte auf der Behauptung, dass man ein Wahrscheinlichkeitsmaß finden kann, unter dem die Wahrscheinlichkeit ein Martingal wird, also ( 5.1 ) bzw. dass der Drift des stochastischen Differentials ( 5.2 ) gleich null ist (vgl. NEFTCI 2000, S. 358). Obwohl beide Ansätze sehr unterschiedlich sind, müssen sie auf irgendeine Art und Weise verwandt sein. Im Folgenden wird diese Beziehung zueinander hergestellt Äquivalenz der beiden Ansätze Um zu zeigen, wie beide Ansätze zusammenhängen, muss man schrittweise vorgehen. Als Erstes wird gezeigt, wie man in ein Martingal umformt, indem man den Wiener Prozess und das verbundene Wahrscheinlichkeitsmaß auswechselt und anschließend wird dasselbe für ein Derivat vollzogen (vgl. NEFTCI 2000, S ). Umformung von in ein Martingal Man beginnt mit dem Basismodell, das die Dynamik des zugrundeliegenden Aktienpreises untersucht. Der Aktienpreis folgt der stochastischen Differentialgleichung mit, ( 5.1 ) wobei der Drift und der Diffusionsterm nur vom beobachteten Aktienpreis abhängen. ist der normale Wiener Prozess mit Wahrscheinlichkeitsmaß. Um die Notation klar zu machen vereinfacht man die Gleichung und schreibt stattdessen: ( 5.2 )

37 32 Man kann die SDG durch, dem durch den risikofreien Zins diskontierten Preis, unter Anwendung von Itô s Lemma berechnen und erhält: 11 ( 5.3 ) Nach dem Einsetzen von aus Gleichung ( 5.2 ) erhält man: ( 5.4 ) Normalerweise wird diese Gleichung keinen Drift von null eine risikoreiche Anlage ist und somit wird kein Martingal. haben, da Aber man kann wie in Abschnitt das Girsanov Theorem benutzen um Martingal zu überführen. Indem man die Gleichung ( 3.33 ) in die Gleichung ( 5.4 ) einfügt erhält man in ein ( 5.5 ) Nach dem Theorem wird unter der neuen Wahrscheinlichkeit ein Standard Wiener Prozess sein. wird ein Martingalmaß sein, wenn der Drift gleich null ist. Dafür nimmt man äquivalent zu der Gleichung ( A.8 ) (siehe Beweis Anhang 1) für den Marktpreis des Risikos: ( 5.6 ) und erhält die stochastische Differentialgleichung ( 5.7 ) Somit hat man ein Martingalmaß, einen neuen Wiener Prozess und die dazugehörige Driftanpassung, so dass ein Martingal ist, was man für den folgenden Abschnitt benötigt. Umformung von in ein Martingal Um den Preis für ein Derivat bzw. eine Option bestimmen zu können, muss man zeigen, dass die Martingale Eigenschaft unter besitzt. Man vollzieht im Prinzip die gleichen Schritte wie zu Beginn des Abschnitts und fängt an, unter Zuhilfenahme von Itô s Lemma, eine stochastische Differentialgleichung für zu entwickeln. 11 Zum Nachvollziehen wird auf folgende Literatur verwiesen: NEFTCI 2000, S. 240.

38 33 Für ein vereinfachtes Verhalten von Derivaten erhält man ( 5.8 ) 12 Wenn man unter Anwendung von Itô s Lemma austauscht, erhält man die PDE ( 5.9 ) Nun muss man sich überlegen, was man für substituiert. Man kann entweder Gleichung ( 5.7 ) nutzen, bei dem unter ein Martingal ist, oder das original aus der ursprünglichen Gleichung ( 5.2 ). Hier wird die zweite Möglichkeit genutzt. Man eliminiert, indem man ( 5.2 ) in ( 5.9 ) einsetzt: ( 5.10 ) und nach einer neuen Anordnung erhält man ( 5.11 ) Erneut kann man nun das Girsanov Theorem nutzen. Man definiert den Wiener Prozess ( 5.12 ) und transformiert Gleichung ( 5.11 ) unter Nutzung des Girsanov Theorems zu: ( 5.13 ) Auch hier ist der Term nur unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß ein Standard Wiener Prozess. Folglich wird die relevante Wahrscheinlichkeit. 12 Man vereinfach auf der rechten Seite zu.

39 34 Unter erneuter Nutzung von mit, ( 5.14 ) wie in Gleichung ( 5.6 ) und einsetzen in Gleichung ( 5.13 ), erhält man ( 5.15 ) und somit ( 5.16 ) Damit unter und 13 ein Martingal ist muss der Driftterm null sein, also ( 5.17 ) Dieser Ausdruck ist die Black-Scholes-Differentialgleichung. Mit dieser Wahl von folgt der durch den risikofreien Zins abdiskontierte Preis des Derivates der stochastischen Differentialgleichung: ( 5.18 ) Der Driftparameter ist null Ergebnis des Vergleichs Wie gezeigt wurde, gibt es eine gewisse Äquivalenz zwischen dem Martingalansatz für die Preissetzung von Derivaten und dem PDE. Im Martingalansatz arbeitet man mit bedingten Erwartungen hinsichtlich des äquivalenten Martingalmaßes, welches alle durch den risikofreien Zins diskontierten Aktien umwandelt. Diese Erwartungen sind relativ leicht zu entwerfen, wenn man die Idee des Girsanov Theorems verstanden hat. 13 Wenn es keine Arbitragemöglichkeit gäbe, würde eben dieses alle Anlagepreise in Martingale umwandeln (vgl. NEFTCI 2000, S. 363).

40 35 Der Martingalansatz beeinhaltet die gleiche stochastische Differentialgleichung wie der PDE- Ansatz. Der Unterschied besteht darin, dass der Ansatz mit dem Martingal die stochastische Differentialgleichung (Black-Scholes-Differentialgleichung) eine Konsequenz aus einer risikoneutralen Preissetzung ist, währenddessen bei der PDE-Methode man mit der Differentialgleichung beginnt, um risikofreie Preise zu erhalten. 6. Martingale als Grundlage für Monte-Carlo- Simulationen Unter einer Monte Carlo Simulation versteht man das Nachspielen eines Zufallsvorgangs mit Zufallszahlen. Seit einigen Jahren wird diese Methode in vielen betriebswirtschaftlichen Praxisanwendungen eingesetzt, da viele Zufallsexperimente effizient nur mit leistungsfähigen Computern umsetzbar sind (SUHL/MELLOULI 2009, S. 14). Die Zufallszahlen werden dabei mit einem Algorithmus erzeugt. Diese wirken zwar zufällig, sind letztlich aber Pseudozufallszahlen (vgl. ROMEIKE 2003, S. 194). Üblicherweise wird die Monte-Carlo-Simulation in Fällen eingesetzt, in denen aus einer Input-Verteilung eine Output-Verteilung generiert wird. Es kann sich bei Input und Output auch um viele unterschiedliche Verteilungen handeln (SUHL/MELLOULI 2009, S. 15). Im Folgenden wird die Wichtigkeit von Martingalen bei der Monte-Carlo-Simulation anhand eines Beispiels näher erläutert Einführung in die Monte-Carlo-Simulation des Kapitalwertes Zwei wichtige Ansätze zur Risikoanalyse von Investitionsprojekten sind deterministische Techniken, mit Methoden wie Fehleranalyse, aber auch stochastische Methoden, wie die Monte-Carlo-Simulation des Kapitalwertes (KW). Analysten nehmen normalerweise für jede Periode des Projektes Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Parameter an und benutzen diese Verteilungen dann, um daraus die Wahrscheinlichkeit zu errechnen, dass der KW positiv ist. HURLEY (1998, S ) ist jedoch der Meinung, dass diese konventionellen Ansätze der mehrperiodigen Unsicherheit zu unrealistisch für einige Parameter sind. Seine Lösung modelliert die Entwicklung der Parameter als Martingal mit schrumpfenden Varianzfehlertermen. Er beschreibt seine Methode anhand des folgenden Beispiels (vgl. HURLEY 1998, S ). Wenn man eine neue Produktionstechnologie, die verspricht, die variablen Stückkosten zu senken, bewerten soll, dann muss das Management die diskontierten Werte der gesparten Kosten mit dem Preis vergleichen, das das Investment kostet. Auch ist es zu prüfen, wie sich die Stückkosten über die Dauer des Projektes entwickeln. Normalerweise schwanken die Kosten in einem anfänglichen Unsicherheitsbereich, aber über die Zeit gesehen, werden sie sich zu langfristigen Stückkosten ausgleichen. Bei jedem Schritt der Simulation wird der Analyst eine Zeitreihe der Stückkosten generieren, eine für jede Periode der Investitionslaufzeit. Diese

41 36 Zeitreihe wird umgewandelt in eine diskontierte Kosteneinsparungsiteration. Diese Iteration wird dann genutzt um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, dass der diskontierte Wert der Kosteneinsparung die Anfangsinvestition übersteigt. Wie diese Zeitreihe der Stückkosten generiert wird, hängt von der Erwartung des Analysten über den Wert der Unsicherheit des Parameters ab. Eine Methode ist die perfekte Korrelation, die aus der ersten Periode die Stückkosten aus der Verteilung nimmt und dann annimmt, dass diese Kosten auch in den künftigen Perioden passen. Ein anderes Extrem ist die Annahme keiner Korrelation. Dabei zieht der Analyst aus der Verteilung der ersten Periode mal, einmal für jede Periode des Projekts. Manchmal produzieren diese Ansätze Zeitreihen die unrealistisch sind, da beide Annahmen getrennt voneinander eher unwahrscheinlich sind. Darüber hinaus führen beide Herangehensweisen zu einer erheblich unterschiedlichen Varianz des KW und somit zu einer anderen Wahrscheinlichkeit, dass der KW positiv ist. Ein dazwischenliegender Ansatz modelliert die Zeitreihe als Martingal mit einem zusätzlichen Fehlerterm mit schrumpfender Varianz (der Fehlerterm wird mit jeder nachfolgender Periode des Projekts kleiner). Diese Vorgehensweise führt zu einer realistischeren Zeitreihe. Aber was noch wichtiger ist, bei einer Martingalen Zeitreihe wird über den Verlauf des Projekts hinweg, die Unsicherheit beseitigt. A priori weiß der Analyst nicht, wie sich die langfristigen Kosten niederschlagen, er kann aber sicher sein, dass sie sich, wenn das Projekt fortschreitet, ausgleichen. Dies kann man zum Beispiel an folgender Abbildung 2 erkenne, die zwei Iterationen der Stückkosten mit der Martingal-Methode darstellt. Zuerst hüpfen die Kosten umher um sich dann in einem langfristigen Wert nieder zu lassen.

42 37 Abbildung 3: Zwei Monte-Carlo-Iterationen der Stückkosten mit der Martingalen Methode (in Anlehnung an: HURLEY 1998, S. 174) Hierbei wurde ein Startwert von 50 verwendet. Die erste Iteration wurde mit und die Zweite mit erzeugt.