ZUFALLSZAHLEN. WPG Informatik / Mathematik. BG/BRG Bad Ischl. A. Lindner

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1 ZUFALLSZAHLEN WPG Informatik / Mathematik BG/BRG Bad Ischl A. Lindner

2 1 BEDEUTUNG VON ZUFALLSZAHLEN Beispiel: Computertip für Lotto in einer Trafik. Wie kann ein (elektronisches) Gerät, das nach einem deterministischen Prinzip arbeitet, zufällig verteilte Zahlen ermitteln? Kann man z.b. mit einem Roulette zufällig verteilte Zahlen erzeugen? Sind diese Zahlen wirklich zufällig verteilt? Was bedeutet zufällig? Anwendungen in der EDV: Simulation von natürlichen Vorgängen, um Phänomene mit zufälligem Verhalten darzustellen. Beispiele: radioaktiver Zerfall von Teilchen Eintreten von Kunden in Bank zufällige Wanderung eines Teilchens in einer Lösung (Diffusion)... Simulationen werden durchgeführt, wenn die tatsächliche Durchführung - zu teuer, - zu gefährlich (Atombombenexplosionen, Kriegsszenarien,...), - zu langwierig wären. Simulationen für mathematische Berechnungen: Monte Carlo Methode (nach John von Neumann): Beispiel: Berechnung von π durch Näherung Testen von Programmen Untersuchung des Programms hinsichtlich Fehlerquellen bei zufälliger Eingabe. Bereich Glückspiel: Computer - Lottotip, Glücksspielautomaten,... Programmierung von Spielen Kartenmischen, Flugsimulator: zufällige Windböen,... 2 ZUFALLSZAHLENGENERATOREN Alle Zufallszahlen, die von einer Maschine erzeugt werden, müssen einem deterministischen Prinzip unterliegen und können damit nicht wirklich zufällig sein. Man nennt diese Zahlen deshalb auch Pseudozufallszahlen. 2000/01 Seite 2

3 Beispiel: Eine Folge von Würfen mit einem normalen Spielwürfel ergab: 2,5,3,4,4,1,6,3,2,3,1,1,2,6,5,3,4 Ist das eine zufällige Folge von Zahlen, eine Zufallsfolge? Die Kennzeichen einer Zufallsfolge sind: Die Zahlen entstammen einem bestimmten gegebenen Zahlenbereich. Sie sind regellos verteilt, d.h. es gibt kein offensichtliches Gesetz, mit dem man mit Kenntnis der ersten n Zahlen auf die (n+1)te Zahl schließen kann. Sie entstammen einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. jede Zahl tritt mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit auf. Praktisch alle höheren Programmiersprachen (z.b. Turbo Pascal: Random oder Random(6); Basic: rnd), Tabellenkalkulationen (z.b. Excel: =Zufallszahl() ), Mathematikprogramme und Taschenrechner (z.b. TI 34: random) verfügen über Zufallszahlengeneratoren, die folgende Gestalt haben können. 2.1 Lineare Kongruenzmethode (D.H. Lehmer) Viele Zufallszahlengeneratoren arbeiten nach dieser Methode, die auf der Iteration z i+1 := (a. z i + c) mod p basiert. p heißt Modul, a Faktor, c Verschiebung. Mod (modulo) bezeichnet den ganzzahligen Rest bei der Division durch p. Der Benutzer muss dabei den Startwert z 0 selbst wählen oder irgendwie vorgeben lassen (z.b. durch die Systemzeit). Beispiel: a) Die Iteration mit den Werten a = 5, c = 1, p = 16 mit Startwert 1 liefert Berechnung Wert 1 (Startwert) ( ) mod 16 = 6 ( ) mod 16 = 15 ( ) mod 16 = 12 ( ) mod 16 = Für dieses sehr einfache Beispiel ergibt sich somit die Zufallsfolge n = z n = /01 Seite 3

4 Ab der 17ten Stelle wiederholt sich die Folge und ist somit periodisch und nicht mehr richtig zufällig. Solche Zufallsfolge sind unbrauchbar! Dieser Folge sieht man ihren Makel sofort an, aber wie erkennt man das bei anderen Zufallsfolgen? Dazu das nächste Beispiel b) Die Iteration mit den Werten a = 3421, c = 1, p = 2 16 (= 65536) und Startwert 1 z i+1 := (3421. z i + 1) mod ergibt für die ersten 60 Pseudozufallszahlen (zeilenweise von links gelesen) Ist die eine Zufallsfolge? Um diese Frage zu beantworten benötigt man Verfahren der höheren Mathematik, die wir hier nicht erwähnen. Ein einfacher und anschaulicher Test ist allerdings die visuelle Umsetzung, die jeweils 2 Zufallszahlen als Koordinaten eines Punktes deutet und sie im Bereich [0; 65536[ x [0; 65536[ darstellt. Dabei ergibt sich für obige Zufallsfolge mit Startwert 0 (ergibt dann als 1.Zufallszahl 1) und bei Zufallszahlen (d.h eingezeichneten Punkten) folgendes Bild. Abbildung auf Folie: c) Im Gegensatz dazu ergibt die nur leicht veränderte Iterationsvorschrift z i+1 := (3423. z i + 1) mod folgende Zufallsfolge: /01 Seite 4

5 Der optische Test auf zufällige Verteilung zeigt dabei folgendes Bild: Abbildung auf Folie: Aufgabe Tabellenkalkulation: Erzeuge durch die im Beispiel b) und c) besprochenen Iterationen die Zufallszahlen, und stelle diese entsprechend der Abbildung auf der Folie in einem Diagramm dar! Offensichtlich müssen die Parameter in der Iterationsvorschrift einigen Bedingungen genügen, um eine zufällige Generierung von (Pseudo)Zufallszahlen zu gewährleisten. Bedingungen für die Werte a, c und p: In der Praxis sollte der Wert p möglichst groß gewählt werden (größer als 2 20 ); a sollte zwischen p und p liegen; c ungerade sein; a bei der Division durch 4 den Rest 3 ergeben. Außerdem hilft manchmal dem unkundigen Zufallszahlenerzeuger auch noch der folgende Satz (ohne Beweis): p sei eine Primzahl mit p > 2; a, c. Durch die Iteration z:=(a.z + c) mod p beginnend mit einem Startwert z 0 < p wird eine Zufallsfolge z 0, z 1, z 2,...erzeugt. In dieser Folge sind genau dann p aufeinanderfolgende Zahlen paarweise verschieden, wenn c nicht durch p teilbar ist und wenn a 1 mod p gilt. Wählt man ohne Überlegen irgendwelche Zahlen p, a und c, so erhält man praktisch fast immer einen unbrauchbaren Zufallszahlengenerator. In der Literatur werden folgende Werte vorgeschlagen: p a c Anfangswert beliebig; beliebig beliebig Bemerkung: Durch den oben beschriebenen Algorithmus erhält man ganze Zufallszahlen im Intervall [0; 65536[. Um eine Zufallszahl im Intervall [0; 1[ zu bekommen, muss man nur durch p, also hier 65536, dividieren. 2000/01 Seite 5

6 2.2 Quadratmittenmethode (John von Neumann ( ) 1946) Diese Methode hat eigentlich mehr historischen Wert, da sie der erste Zufallszahlengenerator war, aber heute eigentlich kaum mehr verwendet wird. Der Algorithmus ist auf folgende Art erklärt: Man startet mit einer beliebigen n-stelligen Zahl, bildet das Quadrat, wählt als nächstes Folgenglied die durch die mittleren n Ziffern gebildeten Zahl usw. Ein Beispiel sagt mehr als 1000 Worte: Startwert 12345, also n = = , somit nächste Zahl ; = , somit nächste Zahl ; = , somit nächste Zahl ; Da man in diesem Beispiel n = 5 festgelegt hat, sind alle Zufallszahlen aus dem Intervall [0; ]. Zufallszahlen in [0; 1[ werden durch Division durch erhalten. 2.3 HP - Methode für Taschenrechner Viele neuere Taschenrechner-Modelle haben bereits einen Zufallszahlengenerator integriert. Um mit einem älteren Taschenrechner eine Zufallsfolge zu erzeugen, findet sich in einer Grebrauchsanweisung folgender Algorithmus (empfohlen von der Firma Hewlett Packard): Eingabe z [0;1] z := z + π z := z*z*z*z z := z*z z := z - [z] Ausgabe z [] bedeutet hier die Gaußklammer-Funktion (Größe-Ganzes-Funktion). Man wählt also einen beliebigen Startwert aus dem Intervall [0; 1], addiert π dazu, berechnet die 8.Potenz dieser Summe und verwendet nur die Nachkommastellen des Ergebnisses als Zufallszahl. m.a.w.: z 0 [0;1] z := (z 0 + π) /01 Seite 6

7 z 1 := z - [z]... Ein Tipp- oder Rechenfehler irgendwo in diesem Algorithmus ist nicht weiter tragisch (solange das Ergebnis in [0; 1] bleibt), da dies praktisch nur einen neuen Startwert für eine weitere Zufallsfolge bedeutet. 2.4 Verfahren von D.H. Lehmer 1951 Der Algorithmus besitzt folgende Form: Man beginnt mit einer n-stelligen natürlichen Zahl x 0, bildet x 0 2 und multipliziert die Ausgangszahl mit der rechten Hälfte von x 0 2 ; man erhält dann x 1 als linke Hälfte des Produkts usw. Ohne Beispiel fast unverständlich: x 0 = (Startwert) x 0 2 = * = x1 = x 1 2 = * = x2 = x 2 2 = * = x3 = Weitere Zufallszahlengeneratoren Es seien hier noch zwei weitere Algorithmen angegeben, die in Zufallszahlengeneratoren Verwendung finden: Der Fibonacci - Generator z i+2 = (z i + z i+1 ) mod p bestimmt eine Pseudozufallszahl im Bereich von 0 bis m-1. z i und z i+1 müssen als Startwerte vorgegeben werden. p wird beispielsweise als 2 28 gewählt. Der Generator mit z i+1 = (2 R. z i + c) mod p, R > 2 und geradem c mit p = 2 25 erzeugt brauchbare Pseudozufallszahlen. 2000/01 Seite 7

8 Es gibt aber noch eine Reihe weiterer Generatoren (wie z.b. einer basierend auf der logistischen Gleichung x n+1 := r. x n.(1 - x n) ), die hier nicht mehr alle besprochen werden. 2.6 Programmierung Der Kern des Programms für Zufallszahlen, die nach der linearen Kongruenzmethode erzeugt werden, ist folgender: const a=91; c=1;p=347 ; Var z: longint; Procedure Initialisierung; Var h,m,s,s100: Word; Begin GetTime(h,m,s,s100); z:=h + m*60 + s*3600; End; {Zufälligen Startwert wählen} {Zeit holen} {Startwert zufällig aus der Zeit berechnen} Function ZZ01:Real; {Zufallszahl zwischen 0 und 1} Begin z:=(a*z+c) mod p; ZZ01:=z/p End; Function ZZ(anf,ende:Integer): Integer; Begin ZZ:=Trunc(anf+(ende+1-anf)*ZZ01); End; { Ganze Zufallszahlen} { zwischen anf und ende (inkl.)} 3 TESTS FÜR ZUFALLSZAHLEN Wenn man auf irgend eine Art und Weise Pseudozufallszahlen ermittelt, ist man auch immer an der Qualität dieser Zufallszahlen interessiert. Auskunft darüber geben Verfahren der höheren Mathematik ( χ 2 - Test). Es gibt aber auch ein paar leichter verständliche Tests: 1. Run - Test Hier wird das Auftreten langer Sequenzen ( Runs ) von z.b. geraden Ziffern, Ziffern kleiner als 5 oder Primzahlen beobachtet. Die Häufigkeiten dieses Auftretens müssen mit den nach der Kombinatorik berechneten Wahrscheinlichkeiten gut übereinstimmen. 2000/01 Seite 8

9 2. Maximum - Test Es wird überprüft, ob der Anteil der Dreierblöcke abc mit a < b und c < b etwa 28,5% ist, wie man auf Grund der Wahrscheinlichkeitsrechnung erwarten müsste. 3. Poker - Test Hier wird die Häufigkeit der verschiedenen Arten von 5 Blöcken (vgl. 5 Pokerkarten) mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten verglichen. siehe Abbildung: Folie 4 ANDERS VERTEILTE ZUFALLSZAHLEN Auf welchem Weg man gleichverteilte Zufallszahlen ermitteln kann, seien es ganze Zahlen von 0 bis p oder Dezimalzahlen im Intervall [0; 1[, haben wir nun ausführlich besprochen. Doch für viele Simulationen braucht man entweder Zufallszahlen aus einem anderen Intervall oder überhaupt anders verteilte Zufallszahlen. Beispiele: Simulation des Lottospiels: Zufallszahlen von 1 bis 45. Simulation für die Dauer eines Telefonats oder die Lebensdauer eines Transistors: exponentialverteilte Zufallszahlen. Simulation für die Größe eines Messwertes: normalverteilte Zufallszahlen. Hier helfen nun einige schlaue Behauptungen: Vorwissen aus der M Gleichverteilung L a;b : Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = 1/(b-a) Verteilungsfunktion F(x) = (x-a)/(b-a) a) Gleichverteilte Zufallszahlen Wenn x eine auf [0;1[ gleichverteilte Zufallszahl ist, so ist (a + (b - a)).x eine auf dem Intervall [a; b[ gleichverteilte Zufallszahl. Beweis: eh klar. q.e.d. Beispiel: x sei in [0; 1[ gleichverteilt, dann ist (1 + (7-1)).x im Intervall [1; 7[ gleichverteilt. Um damit den Vorgang des Würfelns zu simulieren, muss man nur mehr aus den zufälligen Dezimalzahlen ganze Zahlen machen, z.b. durch die Integer - oder Gaußklammer-Funktion. In TP heißt der entsprechende Befehl trunc(); beim TI92 int() oder floor(), bei Excel Ganzzahl(). b) Exponentialverteilte Zufallszahlen Wenn x eine auf [0;1[ gleichverteilte Zufallszahl ist, so ist - 1/α. ln(x) eine mit dem Parameter α exponentialverteilte Zufallszahl. Beweis: (für Genießer) F = P(-1/α.lnx < z) = P(ln x > -α.z) = P(x > e -α.z ) = 1 - P((x < e -α.z ) = 1 - F L0,1 ( e -α.z ) = 1 - (e -α.z - 0)/(1-0) = 1 - e -α.z = F Eα q.e.d. Exponentialverteiltung E α : Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = α.e - α.x ; 2000/01 Seite 9

10 Verteilungsfunktion F(x) = 1 - e - α.x c) Normalverteilte Zufallszahlen (Methode 1) Wenn x 1,x 2,...x n auf [0;1[ gleichverteilte Zufallszahlen sind, so ist x:= - verteilte Zufallszahl. (Es ist günstig, n = 12 zu setzen.) Beweis: schwierig! n n xi i= 1 2 n 12 eine N 0;1 2 q.e.d. Normalverteilte Zufallszahlen (Methode 2) Wenn x 1,x 2 auf [0;1[ gleichverteilte Zufallszahlen sind, so sind x: = 2.ln( x ).sin( 2π x ) und y: = 2.ln( x ).cos( 2π x ) 2 unabhängige N 0;12 - verteilte Zufallszahlen Beweis: viel zu schwer! q.e.d. Aufgaben: 1) Erzeuge in Excel 300 gleichverteilte Zufallszahlen und zähle ihre Häufigkeit im Intervall [0; 1[. Transformiere sie auf exponentialverteilte Zufallszahlen (Parameter α = 1) und bestimme deren Häufigkeit im Bereich [0; 3[. Stelle beide Häufigkeiten in 2 entsprechenden Diagrammen dar! 2) Erzeuge wieder 12 mal 300 Zufallszahlen und tranformiere sie nach Methode 1 (n = 12) auf eine Tabelle von N 0;1 2 - normalverteilten Zufallszahlen. Zeige deren Verteilung in einem Diagramm und vergleiche mit den richtigen Werten einer Normalverteilung (Klassenbreite 0,1; von -2 bis +2). 3) Wie 2), nur nach Methode 2! 5 LITERATUR Rechenberg: Was ist Informatik, Wien 1994 Kempermann: Zahlentheoretische Kostproben, Frankfurt 1994 Duden Informatik, Mannheim 1993 Schülerduden Mathematik II, Mannheim1982 Dewdney: Der Turing Omnibus, Berlin /01 Seite 10