Einführung in die Stochastik

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1 Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse von Zufallsexperimenten Wahrscheinlichkeitsrechnung(-theorie : Modelle zur Beschreibung von Zufallsexperimenten, charakteristische Kenngrößen, Grenzwertsätze,... Statistik : Vergleich von Modell und Realität (Daten, Anpassung von Modellparametern, Entscheidung zwischen verschiedenen Modellen,... Zufallsexperiment : Vorgang, bei dem ein nicht vorhersagbares Ergebnis aus einer Menge Ω möglicher Ergebnisse eintritt, z. B. - Münzwurf: Ergebnis Kopf K oder Zahl Z - Zahlenlotto 6 aus 49 : 6 verschiedene Zahlen aus {1,...,49} (ohne Zusatzzahl - Lebensdauer einer Festplatte: Zeit T 0 - Anzahl defekter Chips in einer Tagesproduktion vom Gesamtumfang N: zufällige Zahl 0, 1,...,N - Anzahl von Schadenfällen in einer KFZ-Versicherungsklasse innerhalb eines Jahres: zufällige Zahl 0, 1,... - Ziehen von n Kugeln aus Urne mit N = R + S Kugeln (R = # roter Kugeln, S = N R = # schwarzer Kugeln: Anzahl gezogener roter Kugeln, also 0, 1, 2,... oder 0, 1,..., min(n,r Wichtig für die mathematische Beschreibung: Ω = Menge der möglichen Ergebnisse ω des Zufallsexperiments (Ergebnisraum, Ereignisraum, Stichprobenraum, z.b. 1

2 - Münzwurf: Ω = {K,Z} oder Ω = {0, 1} - Zahlenlotto: Ω = {ω = (ω 1,...,ω 6 ω i {1,...,49},ω i ω j (i j} z.b. ω = (21, 12, 49, 28, 1, 43 oder Ω = { ω = { ω 1,..., ω 6 } ω {1,...,49}, ω = 6} z.b. ω = {21, 12, 49, 28, 1, 43} - Lebensdauer: Ω = {ω ω 0} = [0, - defekte Chips: Ω = {0, 1,...,N} - Schadenfälle: Ω = {0, 1,...} = N 0 - Urne: Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i? } Ziehen mit/ohne Zurücklegen Beschreibung mit/ohne Beachtung der Reihenfolge (vgl. Urnenmodelle Ereignis: Teilmenge A von Ω, also A P(Ω Falls Ergebnis ω in A liegt: A tritt ein, z.b. - Münzwurf: A = Zahl geworfen = {Z} - Zahlenlotto: A = 3. gezogene Zahl ist die 21 = {ω = (ω 1,...,ω 6 Ω ω 3 = 21}, aber: A { ω = { ω 1,..., ω 6 } 21 { ω 1,..., ω 6 }} B = (genau 5 Richtige = {{1, 12, 21, 28, 43, ω 6 }, {1, 12, 21, 28, 49, ω 6 },......,{12, 21, 28, 43, 49, ω 6 } ; ω 6 {1,...,49}} oder in Ω: B = {(ω 1,...,ω 6 1 ω i / {1, 12, 21, 28, 43, 49}} Wahrscheinlichkeit P(A eines Ereignisses A Ω: Maß für die Unsicherheit des Eintretens von A Normierung: 0 P(A 1, P(Ω = 1 - Münzwurf: Wahrscheinlichkeit (Wkt. für Zahl? } Ω = {Z, K} P(A = A A = {Z} Ω = 1 2 2

3 - Zahlenlotto: Wahrscheinlichkeit für (genau 5 Richtige in Ω: Ω = B = 6 43 ( P(B = = = in Ω : Ω = B = P(B = ( ( = 49! 6!43! = ( 49 6 ( 6 ( ( 49 = = Mathematische Beschreibung von Zufallsexperimenten durch Angabe von Wahrscheinlichkeitsräumen (W-Räumen (Ω, A, P : Definition 1.1. a Ω ( heißt Ereignisraum. b Ein System A von Teilmengen von Ω, also A P(Ω, heißt σ-algebra (in Ω, falls (i Ω A (ii A A = A c A (iii A 1,A 2,... A = A i A c Sei Ω und A eine σ-algebra in Ω. Eine Abbildung P : A [0, 1] heißt W-Maß auf A, falls die Kolmogorov schen Axiome gelten, d.h. (i P(A 0 A A Nichtnegativität (ii P(Ω = 1 (iii P( A i = Normiertheit P(A i (A i,2,... A, A i A j = (i j σ Additivität Das Tripel (Ω, A, P heißt W-Raum. 3

4 Bemerkung 1.1. Falls Ω endlich oder abzählbar unendlich ist (kurz: abzählbar, so können W-Maße immer auf A = P(Ω definiert werden. Falls Ω überabzählbar ist, so müssen W-Maße i.a. auf kleineren σ-algebren definiert werden (vgl. Georgii (2009, Satz 1.5. Beispiel 1.1. Laplace-Experimente Ω endlich, etwa Ω = N ( N A = P(Ω P(A = A Ω = Anzahl günstiger Fälle Anzahl möglicher Fälle, insbesondere P({ω} = 1 ω Ω Ω (Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich Beispiel 1.2. Diskrete W-Räume Ω abzählbar, etwa Ω = {ω 1,ω 2,...} A = P(Ω, P =? Durch eine Festlegung P({ω i } := p i mit p i 0, p i = 1, wird eindeutig ein W-Maß P auf A definiert. Es gilt: P(A = p i. i:ω i A Z.B. Wiederholtes Würfeln : Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim i-ten Wurf zum ersten Mal eine 6 auftritt? Ω = {1, 2,...} = N (Nr. des Wurfs mit erster 6 A = P(Ω P({i} = 5i 1 1 = ( 5 i 1 ( i 6 (i = 1, 2,... Laplace-Ansatz Allgemeiner: P({i} = q i 1 p (i = 1, 2,..., 0 < p,q < 1, p + q = 1 geometrische Wahrscheinlichkeiten 4

5 Beachte: p i := P({i} 0, p i = p q i 1 = p 1 q = p p = 1 Sprechweise: Sei (Ω, A, P diskreter W-Raum. Die Funktion ω p(ω := P({ω}, ω Ω, heißt (diskrete W-Dichte (von P. Bemerkung 1.2. Für Ω überabzählbar ist es i.a. nicht möglich, P punktweise, d.h. durch Angabe von P({ω}, festzulegen. Z.B. Zufallszahlen : Zufallsgenerator liefert willkürlich eine Zahl zwischen 0 und 1. Ω = (0, 1 = {ω 0 < ω < 1}, A =? P({ω} =? (nicht sinnvoll, allenfalls = 0 Ansatz: P((a,b = b a 1 = b a (a,b (0, 1 σ-algebra? I.A.: A = kleinste σ-algebra in (0, 1, die alle Intervalle (a,b enthält (= Borel-σ-Algebra in (0, 1 Allgemeiner: Beispiel 1.3. Ω = R 1 Durch eine Festlegung P((a,b := A = kleinste σ-algebra in R 1, die alle Intervalle enthält =: B 1 b a f(xdx, wobei f Riemann-integrierbar über beliebigen Intervallen [a,b] R 1, f 0 und f(xdx = 1, wird eindeutig ein W-Maß P auf A festgelegt. Interpretation: P((x, x + x f(x x (f stetig, x klein Z.B. f(x = { 1, 0 < x < 1 0, sonst Rechteck-Verteilung (Gleichverteilung über (0,1 5

6 Folgerungen aus den Kolmogorovschen Axiomen: Lemma 1.1. Sei (Ω, A, P ein W-Raum. Dann gilt : a P( = 0 ; n b P( A i = n P(A i für je endlich viele, paarweise disjunkte (p.d. A 1,...,A n A ; c P(A c = 1 P(A, A A ; d P(B\A = P(B P(A B, A,B A ; e Für A B, A,B A : P(B\A = P(B P(A, f 0 P(A 1, A A ; P(A P(B ; g P(A B = P(A + P(B P(A B, A,B A, n P(A 1... A n = P(A i P(A i A j +... (Siebformel von Poincaré-Sylvester ; 1 i<j n... + ( 1 n 1 P(A 1... A n, A i A h P( A i = lim P(A n, A 1 A 2... A, n P( A i = lim P(A n, A 1 A 2... A. n Obige Rechenregeln sind nützlich bei der konkreten Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten: Beispiel 1.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei am selben Kalendertag Geburtstag haben ( Geburtstagsproblem? O.E.: n 365, sonst Wahrscheinlichkeit = 1 Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,365}}, Ω = 365 n, A = P(Ω A = {ω Ω ω i = ω j i j} A c = {ω Ω ω i ω j i j}, A c = (365 n + 1 P(A = 1 P(A c (365 n + 1 = n Überraschend: Für n = 23 : P(A = > 1 2 Informatik: n Daten zufällig auf N Speicherplätze verteilt Wahrscheinlichkeit für Mehrfachbelegung = 1 N(N 1 (N n+1 N n Hashing 6

7 Beispiel 1.5. Es werden n Zahlen 1,...,n zufällig permutiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Zahl an ihrem Platz bleibt? (Rencontre-Problem, z.b. Tanzpaare treffen sich wieder Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,n}, ω i ω j (i j}, Ω = n! A = P(Ω A i = i-te Komponente bleibt fix = {ω Ω ω i = i}, A i = (n 1! ( n Siebformel n P(A = P A i = ( 1 k 1 P(A i1... A ik k=1 1 i 1 <...<i k n n ( n (n k! n = ( 1 k 1 = ( 1 k 1 n! (n k! k n! k!(n k! n! k=1 k=1 n = 1 ( 1 k 1 k! 1 e (n k=0 Viele diskrete W-Räume lassen sich als (so genannte Urnenmodelle interpretieren. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten besteht dann im Wesentlichen in der Bestimmung der Mächtigkeit der interessierenden Ereignisse (Kombinatorik: Betrachtet wird hier das Ziehen von Kugeln aus einer Urne. (Das Verteilen von Kugeln auf Urnen (vgl. statistische Physik ist auffassbar als Ziehen der Urnennummern für die zu verteilenden Kugeln. Gegeben: Urne mit N Kugeln der Nummern 1,...,N. Es werden n Kugeln gezogen. Vier Möglichkeiten: mit mit ր ց ր ց Ziehen Zurücklegen Beachtung der Reihenfolge ց ր ց ր ohne ohne 1 Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge: Ω 1 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}}, A 1 = P(Ω 1 P 1 ({ω} = 1 N n ω Ω 1 Ω 1 = N n ω heißt n-permutation mit Wiederholung oder geordnete Stichprobe (vom Umfang n mit Wiederholung 7

8 Z.B. n-facher Münzwurf (N = 2, n-faches Würfeln (N = 6, Spiel 77 (Ziehen einer 7-stelligen Zahl, N = 10,n = 7 2 Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge: Ω 2 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω i ω j (i j} Ω 2 = N (N 1 (N n + 1 =: N (n, A 2 = P(Ω 2 P 2 ({ω} = 1 N (n ω Ω 2 ω heißt n-permutation ohne Wiederholung oder geordnete Stichprobe (vom Umfang n ohne Wiederholung Z.B. Zahlenlotto (n = 6, N = 49; Reihenfolge notiert, Qualitätskontrolle, Speicherplatzbelegung ohne Kollision, jeweils Reihenfolge notiert 3 Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: Ω 3 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω 1 <... < ω n } (äquivalent zu {ω = {ω 1,...,ω n } ω i {1,...,N}} Ω 3 = ( N n, A3 = P(Ω 3 P 3 ({ω} = ( 1 ω Ω N 3 n ω heißt n-kombination ohne Wiederholung oder ungeordnete Stichprobe (vom Umfang n ohne Wiederholung Z.B. wie in 2, aber ohne Notieren der Reihenfolge 4 Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge: Ω 4 = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N},ω 1... ω n } Ω 4 = ( ( N+n 1 n = N+n 1 N 1 Beweis: Bei ω 1 ω 2... ω n sind n 1 = -Zeichen möglich = Ω 4 = = ( ( ( ( n 1 N n 1 N n 1 n 1 ( N + n 1 n ( n 1 n 1 ( N 1 Beachte: (1 + x n 1 (1 + x N = (1 + x N+n 1 Binomische Formel, Cauchy-Produkt und Koeffizientenvergleich liefern die Behauptung. 8

9 Alternativ: Die Abbildung ω = (ω 1,ω 2,...,ω n (ω 1,ω 2 + 1,...,ω n + n 1 := ω, ω Ω 4, ist injektiv mit Bildmenge Ω 3 = { ω = ( ω 1,..., ω n ω i {1,...,N + n 1}, ω 1 < ω 2 <... < ω n } Folglich: Ω 4 = Ω 3 = ( ( N+n 1 n = N+n 1 N 1. W-Modelle in der statistischen Physik: Beispiel 1.6. Es werden n Kugeln (Moleküle, Elementarteilchen auf N Zellen (Energiezustände verteilt. Wie viele mögliche Besetzungsmuster gibt es, wenn I die Kugeln unterscheidbar sind; II die Kugeln nicht unterscheidbar sind; a jede Zelle höchstens mit 1 Kugel belegt werden darf (Pauli-Verbot; b die Zellen mit mehreren Kugeln belegt werden dürfen? Lösungen: I a Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}, ω i ω j (i j} ω i : Zellen-Nr. für i-te Kugel Ω = N (n I b Ω = {ω = (ω 1,...,ω n ω i {1,...,N}} Ω = N n Werden diese N n Möglichkeiten als gleichwahrscheinlich postuliert (Laplace-Ansatz, so erhält man das Maxwell-Boltzmann-Modell (für Gasmoleküle II a Ω = {ω = (ω 1,...,ω N ω j {0, 1}} ω j : Anzahl der Kugeln in Zelle Nr. j Ω = ( N n (n Plätze aus N auszuwählen Laplace-Ansatz liefert das Fermi-Dirac-Modell (für Elektronen, Neutronen, Protonen II b Ω = {ω = (ω 1,...,ω N ω j {0, 1,...,n}, ω j : Anzahl der Kugeln in Zelle Nr. j Ω = ( N+n 1 N 1 ( = N+n 1 n 9 N ω j = n} j=1

10 Beweis: n Objekte werden durch N 1 Trennwände getrennt, d.h. man hat n + N 1 Plätze, auf die N 1 Trennwände zu verteilen sind, also ( n+n 1 N 1 Möglichkeiten. Aus den obigen Urnenmodellen lassen sich weitere W-Modelle ableiten: Beispiel 1.7. a N Kugeln in einer Urne, davon R rote (Nummern 1,...,R und S schwarze (Nummern R + 1,...,R + S = N. Es werden n Kugeln zufällig gezogen (mit Zurücklegen. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A r = genau r rote Kugeln werden gezogen. Lösung: Benutze (Ω 1, A 1,P 1. Für r = 0, 1,...,n gilt: ( ( n n A r = R r S n r = R r (N R n r = r r P 1 (A r = A r Ω 1 = ( n r p r (1 p n r, wobei p := R N Setzt man p r := ( n r p r (1 p n r, r = 0, 1,...,n (p fest, so gilt p r 0, (p r r=0,...,n definiert ein W-Maß auf B := P({0, 1,...,n}. n p r = 1, d.h. r=0 Definition 1.2. Sei X = {0, 1,...,n}, B = P(X. Das durch P(B := ( n p r (1 p n r, B X, r r B definierte W-Maß auf B heißt Binomialverteilung mit Parametern n,p. Bezeichnung : B(n,p oder β n (p b In der obigen Situation (N = R + S Kugeln werde n-mal ohne Zurücklegen gezogen. Man bestimme entsprechend die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse à r = genau r rote Kugeln werden gezogen. 1. Lösung: Benutze (Ω 2, A 2,P 2. Man beachte zunächst, dass gilt: max(0,n S r min(n,r ( ( n n R! Ãr = R (r S (n r S! = r r (R r! (S n + r! P 2 (Ãr = Ãr ( R N R r( Ω 2 = n r ( N n 10 =

11 2. Lösung: Benutze (Ω 3, A 3,P 3. Für r w.o.: Ar = ( R r P 3 ( Ar = A 1 Ω 3 = ( N R = n r ( R N R r( n r ( N, max(0,n S r min(n,r n Definition 1.3. Sei X = {0, 1,...,n}, B = P(X. Das durch P(B := ( R N R r( n r ( N, B X, r B n definierte W-Maß auf B heißt hypergeometrische Verteilung mit Parametern n; N, R. Bezeichnung : H(n;N,R Beispiel 1.8. Urne: N 1 Kugeln der Farbe 1, N 2 Kugeln der Farbe 2,...,N k Kugeln der Farbe k ( 2, N N k =: N. Es werden n Kugeln gezogen (mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass n 1 Kugeln der Farbe 1,...,n k Kugeln der Farbe k gezogen werden (n n k = n? Lösung: Benutze (Ω 1, A 1, P 1, ω = (ω 1,...,ω n A n1,...,n k = {ω genau n 1 der ω i {1,...,N 1 }, genau n 2 der ω i {N 1 + 1,...,N 1 + N 2 },..., genau n k der ω i {N N k 1 + 1,...,N N k }} ( ( ( n n n1 n n1 n k 1 A n1,...,n k = n 1 n 2 n } {{ k } 1 = P 1 (A n1,...,n k = wobei n! n 1! n k! Nn N n k k p i = N i N n! n 1! n k! pn p n k k =: p n1,...,n k, k ( 0, p i = 1. N n 1 1 N n N n k k 11

12 Definition 1.4. Sei X = {(n 1,...,n k n i N 0, k n i = n} R k, B = P(X. Das durch P(B := p n1,...,n k, B X, (n 1,...,n k B definierte W-Maß heißt Multi-(Poly-nomialverteilung mit Parametern n;p 1,...,p k. Bezeichnung : M(n;p 1,...,p k Auch durch asymptotische Betrachtungen lassen sich aus Urnenmodellen weitere W- Modelle gewinnen: Beispiel 1.9. Seien p k = p k (n = ( n k p k (1 p n k, k = 0, 1,...,n, die Wahrscheinlichkeiten der B(n,p-Verteilung aus Beispiel 1.7. Falls p = p(n derart, dass np(n λ > 0 (n, so folgt: lim p k(n = λk n k! e λ =: p k (k = 0, 1,... Definition 1.5. Sei X = N 0 = {0, 1, 2,...}, B = P(X. Das durch P(B := k B λ k k! e λ, B X, definierte W-Maß heißt Poisson-Verteilung mit Parameter λ (> 0. Bezeichnung : P(λ, Poiss(λ, π λ,... Relative Häufigkeiten und Simulation: Wird ein Zufallsexperiment (Ω, A,P unter identischen Bedingungen n-mal unabhängig durchgeführt (s.u., so nähert sich die relative Häufigkeit H n (A eines Ereignisses A A, d.h. H n (A := 1 (Anzahl der Versuche, in denen A eintritt, n für n der Wahrscheinlichkeit P(A für das Eintreten von A (vgl. Grenzwertsätze. 12

13 Vorsicht: H n (A ist zufällig, d.h. hängt von ω 1,...,ω n ab, wobei ω i das Ergebnis im i-ten Versuch bezeichnet. Möglich ist H n (A = 0, aber P(A > 0. Die Erfahrungstatsache H n (A P(A (n groß wird benutzt, um mit Hilfe von Simulation stochastischer Vorgänge unbekannte (oder nur aufwendig zu berechnende Wahrscheinlichkeiten zu approximieren (Monte-Carlo-Verfahren. Beispiel Spieler besitzt 1.000e,benötigt aber 5.000e(um Schulden zu tilgen. Er spielt solange Roulette, bis er sein Kapital auf e erhöht (oder aber die 1.000everloren hat. Betrachte folgende drei Strategien: 1. Spieler setzt stets 100eauf Rot (Gewinnwkt. je Spiel: 18, Auszahlung: 200e Spieler setzt gesamtes Kapital (bzw. die Differenz zu 5.000eauf Rot (Gewinnwkt.: 18, Auszahlung: doppelter Einsatz Spieler setzt stets 100eauf 1 (Gewinnwkt.:, Auszahlung: 3.600e 37 Bei welcher Strategie ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler das Kasino mit (mindestens 5.000e verlassen kann am größten? Simulation: Für jede der drei Strategien werden n = 1000 Spielverläufe simuliert, d.h. Computer erzeugt Zufallszahlen U 1,U 2,..., wobei U i R(0, 1-verteilt ist, also P(U i (a,b] = b a (a,b] (0, 1 Setze V i = 37 U i und W i = k, falls V i (k,k + 1] (k = 0, 1,...,36 Dann gilt P(W i = k = P(V i (k,k + 1] = P(U i ([ k, ] k = 1, 37 also beschreiben die W 1,W 2,... dasselbe Zufallsgeschehen wie ein wiederholtes Roulettespiel. Setze noch 0, W i = 0, X i = 1, W i {1,...,18}, 2, W i {19,...,36}, so gilt P(X i = 0 = 1 37, P(X i = 1 = = P(X i = 2. Identifiziere: 1 ˆ= Rot, 2 ˆ= Schwarz Folgende Tabelle gibt für n = 1000 Simulationsläufe (jeweils bis 5.000eoder 0eerreicht sind die relative Häufigkeit dafür an, dass der Spieler nach 200, 400, 600, 800, 1000 Spielen 13

14 bei Strategie 1, 2, 3 zu den gewünschten 5.000egelangt ist: Strategie # Spiele Die Simulationsergebnisse legen die Vermutung nahe, dass gilt: Strategie 2 Strategie 3 Strategie 1 14

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