Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13) Übungsblatt 8 (Relationen und Funktionen)

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1 DEPENDABLE SYSTEMS AND SOFTWARE Fachrichtung 6. Informatik Universität des Saarlandes Christian Eisentraut, M.Sc. Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 0/3) Übungsblatt 8 (Relationen und Funktionen) Hinweis: Ist bei Aufgaben keine spezielle Schreibweise für Relationen angegeben, die Sie verwenden sollen, so stellen Sie die Relationen als Mengen von Paaren dar. Sei M eine beliebige Menge. Die Notation M n für ein n N ist eine abkürzende Schreibweise für das n-fache kartesische Produkt von M mit sich selbst, z.b. bedeuet M das gleiche wie M M. Relationen aufstellen Aufgabe 8. (Relationen formal darstellen) Welche Beziehungen stellen die folgenden Relationen dar? Notieren Sie die Relation dann formal. Beispiel: {(,, ), (,, ), (, 3, 3),..., (,, ), (,, 4), (, 3, 6),..., (3,, 3), (3,, 6), (3, 3, 9),... } Die Relation stellt die Multiplikation natürlicher Zahlen dar, die ersten beiden Komponenten sind die beiden Faktoren, die letzte das Ergebnis. Formal würde die Relation {(a, b, c) N 3 a b = c} lauten. (a) {(0, 0), (0, ), (0, ), (0, 3),..., (, ), (, ), (, 3),..., (, ), (, 3), (, 4),... } (b) {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5),... } (c) {(4, 4), (4, 8), (4, ), (4, 6),... } (d) {(,, ), (,, 3), (, 3, 4),..., (,, 3), (,, 4), (, 3, 5),..., (3,, 4), (3,, 5), (3, 3, 6),... } (e) {(, ), (, 3), (3, 5), (4, 7), (5, ), (6, 3),... } Aufgabe 8. Notieren Sie formal Relationen, die die folgenden Eigenschaften beschreiben. Beispiel: Studenten haben eine eigene Matrikelnummer {(x, y) Studenten M atrikelnummern x hat Matrikelnummer y} (a) Menschen haben Vornamen (b) Menschen haben Mütter (c) Menschen haben Großmütter (Hinweis: Stellen Sie diese Relation mit Hilfe der Relation aus (b) und einer weiteren Relation dar.) (d) natürliche Zahlen haben eine Binärdarstellung Aber Achtung: Die Notation ist überlagert, d.h. es gibt in anderen Kontexten eine weitere Möglichkeit, was diese Schreibeweise bedeuten kann. Achten Sie darauf, welche der Definitionen Sie im jeweiligen Fall anwenden müssen.

2 Aufgabe 8.3 Zeichnen Sie die als Mengen angegebenen Relationen als Pfeildiagramm. Geben Sie außerdem die Matrixdarstellung an. Beispiel: Sei {(, ), (, 3), (, 3)} gegeben. Die graphische Darstellung sieht wie folgt aus: 3 (a) {(, ), (3, 4), (, 4), (4, )} über der Menge {,, 3, 4, 5} (b) {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4)} über der Menge {,, 3, 4} (c) {(a, b) {,, 3, 4, 5, 6} a teilt b} (d) {(a, b) a {,, 3} b {a, b, c}} (e) {(a, b) {a, b, c,..., x, y, z} b ist der Nachfolger von a im Alphabet} Aufgabe 8.4 Geben Sie die als Matrix angegebenen Relationen als Pfeilbilder an. Hinweis: Es handelt sich um Relationen über natürlichen Zahlen. Die Nummer der Reihe gibt die erste, die Nummer der Spalte die zweite Komponente des Tupels an. Beispiel: ( ) 0 beschreibt die Relation {(, ), (, )} mit dem Pfeilbild (a) (b) (c) ( ) (d) (e) Aufgabe 8.5 Beschreiben Sie jeweils die Matrizendarstellung (a) reflexiver (b) transitiver (c) antisymmetrischer (d) symmetrischer Matrizen über natürlichen Zahlen. Hinweis: Am besten wählen Sie sich jeweils ein bis zwei Relationen, die diese Eigenschaft haben, stellen diese als Matrix dar und suchen charakteristische Merkmale.

3 Aufgabe 8.6 Geben Sie zu den Relationen 8.4 die inversen Relationen als Menge, als Pfeilbild und in Matrixdarstellung an. Beispiel: Inverse Relation ( zum ) Beispiel von 8.4: Die inverse Relation lautet ebenfalls {(, ), (, )}, 0 die Matrixdarstellung und das Pfeilbild damit wieder 0 Aufgabe 8.7 Zeichnen Sie die Komposition der folgenden Relationen. Die Relation sind in der Reihenfolge zu komponieren, wie sie in der Aufgabenstellung aufgeführt sind. Beispiel: {(, 3), (3, )} und {(, ), (3, 3)} damit ist die Komposition, die zu bilden ist, {(, 3), (3, )} {(, ), (3, 3)}. Es lässt sich (, 3) mit (3, 3) und (3, ) mit (, ) über die Definition der Komposition zusammenbringen. Als Pfeilbild sieht die Komposition so aus: 3 (a) {(, ), (, 3), (, 3)} und {(3, ), (, ), (3, )} über {,, 3} (b) {(a, b) N a = b + } und {(a, b) N a > 0 a = b } (c) {(, 4), (, 4), (3, 4)} und {(4, 4)} über {,, 3, 4} (d) {((, ), (, )), ((, )(, )), ((, ), (3, )), ((3, ), (4, ))} und {((, ), (3, 4)), ((3, ), (, )), ((, ), (, 3)), ((3, ), (4, 4))} über ({,, 3, 4} ) Einschub Definition Man sagt a teilt b (Notation a b), wenn es ein k Z gibt, so dass b = a k. Aufgabe 8.8 Beweisen Sie : a teilt b genau dann, wenn b kongruent 0 modulo a ist. 3

4 3 Eigenschaften von Relationen Aufgabe 8.9 Welche der folgenden Relationen sind reflexiv, transitiv, symmetrisch oder antisymmetrisch? Beweisen Sie Ihre Antwort. Beispiel: R := {(a, a) a N} über den natürlichen Zahlen Die Menge ist reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch. Textbeweis Erklärungen Schlussregel Reflexivität: x N : (x, x) R Sei x in N beliebig. Dann gilt: x = x. x : x = x ( :Bew), ( :Anw) Damit ist ( x, x) R Transitivität: x, y, z N : (x, y) R (y, z) R (x, z) R (Subst)(Definition der Relation) Seien x, y, z beliebig in N und ( x, y) und ( y, z) in R enthalten. ( :Bew),( :Bew),( :Bew), ( :Bew), ( :Anw),(Subst) ( Kommutativität ), ( :Anw) Dann gilt x = y und y = z. Damit gilt dann auch x = z und somit (x, z) R. Antisymmetrie: x, y : (x, y) R (y, x) R x = y Seien x und y beliebig in N. Ist x y, dann ist kein Paar mit x und y in der Relation enthalten. Damit ist die Prämisse von Antisymmetrie immer falsch, die Aussage damit wahr. Für x = y ist die Konklusion von Antisymmetrie erfüllt und die Aussage damit wahr. Symmetrie: x, y : (x, y) R (y, x) R Seien x und y beliebig in R. Dann ist x = y und damit ( x, y) = ( y, x). Angewendeter Satz: x, y, z N : x = y y = z x = z Angewendeter Satz: x, y N : x y (y = x) Angewendeter Satz: x, y N : x = y ( x, y) = ( y, x) (Subst)(Definition Relation), (Subst)(Definition Relation) ( :Anw), ( :Anw), ( :Anw), ( :Anw) ( :Bew), ( :Bew) (FU), ( :Anw), ( :Anw), ( :Anw) (Subst)(Definition ) (W) ( :Bew), ( :Bew) (Subst) (Definition Relation), ( :Anw),( :Anw), ( :Anw), (Subst) (Definition Relation) (a) {(, ), (, ), (3, 3)} über der Menge {,, 3} (b) {(, ), (, ), (3, 3)} über der Menge {,, 3, 4} (c) {(, ), (, 3), (3, ), (, ), (3, ), (, 3)} über {,, 3} (d) {(a, b) N a b} über den natürlichen Zahlen 4

5 Aufgabe 8.0 Welche der folgenden Relationen sind links-total bzw. rechts-total? Geben Sie zunächst Quellund Zielmenge, sowieso Definitions- und Wertebereich an und beweisen Sie dann wie in 8.9 Ihre Behauptung. Beispiel: {(, ), (, )} über {,, 3} ist weder links-total, noch rechts-total, da der 3 kein Wert zugeordnet wird und die 3 nicht getroffen wird. (a) {(, ), (, )} über {, } (b) {(, ), (, 3), (3, )} über {,, 3} (c) {(a, a + ) a N} über N (d) {(a, a ) a N a > 0} (e) {(a, a) a N} (f) {(a, b) N a b} über N Aufgabe 8. Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass es Relationen gibt, die weder symmetrisch noch antisymmetrisch sind. Aufgabe 8. Geben Sie eine Relation an, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch ist. Aufgabe 8.3 Schließen Sie die folgenden Relationen reflexiv, transitiv und symmetrisch ab: Beispiel: {(, ), (, 3), (3, )} wird reflexiv über {,, 3} abgeschlossen durch Hinzufügen der Paare (, ), (, ) und (3, 3). Die Symmetrie-Eigenschaft erhält man, indem man die Paare (, ), (3, ) und (, 3) zur Menge hinzufügt. Die Menge ist nun schon transitiv, da alle möglichen Paare aus {,, 3} {,, 3} enthalten sind. (a) {(, ), (, )} über {, } (b) {(, ), (, )} über {,, 3} (c) {(, ), (, ), (, 3)} über {,, 3} (d) {(, ), (, ), (, 3), (, 4)} über {,, 3, 4} (e) {(, ), (, 3), (, 4), (4, ), (3, ), (, ), (, )} über {,, 3} Aufgabe 8.4 Schließen Sie die leere Menge über einer beliebigen Menge M reflexiv, transitiv und symmetrisch ab. Aufgabe 8.5 Schließen Sie die Relation x ist Ahne von y transitiv, symmetrisch und reflexiv ab. Welche Relation erhalten Sie? Aufgabe 8.6 Welche Eigenschaften haben diese natürlichsprachlichen Relationen? Notieren Sie die Relation zunächst als Menge und geben Sie dabei auch die Mengen an, über der die Relationen definiert sind. Beispiel: x ist Haustiert von y Formal lautet diese Relation {(x, y) Haustier Mensch x ist Haustier von y}. Die Relation kann nicht reflexiv, transitiv, symmetrisch oder antisymmetrisch sein, da Quellmenge und Zielmenge nicht übereinstimmen. Sie ist links-total, da jedes Haustier ein Menschen hat, der dieses Haustier besitzt (ansonsten wäre das Tier kein Haustier), sie ist aber nicht rechts-total, da es Menschen gibt, die keine Haustiere haben. 5

6 (a) x ist Vater von y (b) x ist Großvater von y (c) x ist Schwester von y (d) x ist die Matrikelnummer von y (e) x ist das Studienfach von y (f) x studiert y Aufgabe 8.7 Zeigen Sie jeweils die Äquivalenz der alternativen Charakterisierungen (aus der Vorlesung) zu den ursprüngenlichen von Transitivität, Antisymmetrie und Symmetrie. 4 Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen Aufgabe 8.8 Beweisen Sie, dass (also die Relation R := {(A, B) A B}) eine Ordnungsrelation ist. Hinweis: Sie benötigen die Definition von für den Beweis. Aufgabe 8.9 Nehmen Sie an, in der Definition von Ordnungsrelation würde die Eigenschaft reflexiv durch die Eigenschaft irreflexiv ersetzt, d.h. eine Relation wäre eine Ordnungsrelation genau dann, wenn sie irreflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Nennen Sie nun zwei Ordnungsrelationen. Hinweis: Irreflexivität einer binären Relation R über einer Menge M ist definiert als x M : (x, x) R. Aufgabe 8.0 Finden Sie eine Äqivalenzrelation, eine Ordnungsrelation, eine Totalordnung und eine Wohlordnung, die bisher noch nicht in der Vorlesung genannt wurden. Aufgabe 8. Was ist das minimale Element der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen? 5 Funktionen - spezielle Relationen Aufgabe 8. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv oder bijektiv? Beweisen Sie Ihre Antwort. Beispiel: Sei f : R R, f(x) = x. f ist weder injektiv, da z.b. die und die auf den gleichen Wert abgebildet werden, noch surjektiv, da z.b. nicht getroffen wird. Damit ist die Funktion auch nicht bijektiv (nach Definition). (a) f : R \ {0} R, f(x) = x (b) f : R R, f(x) = x (c) f : R \ {0} R, f(x) = x (d) f : R R, f(x) = x 3 (e) f : R R, f(x) = x + 6

7 6 Beweise mit Funktionen Aufgabe 8.3 Beweisen oder widerlegen Sie: Sind zwei Funktionen f und g injektiv so ist ihre Komposition f g surjektiv. bijektiv injektiv surjektiv bijektiv, Aufgabe 8.4 Beweisen Sie die folgenden drei Aussagen. Seien dafür f und g beliebige Funktionen: (a) Ist f g injektiv, so ist f injektiv. (b) Ist f g surjektiv, so ist g surjektiv. (c) Ist f g bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv. Aufgabe 8.5 Identifizieren Sie hier, welche der Schlussregeln angewendet worden sind. Dabei bezeichne id x die Funktion id: X X, x x ür eine beliebige Menge X. Zeichnen Sie auch den dazugehörigen Beweisbaum. Hinweis: Folgender Beweis stammt (mit kleinen Anpassungen) aus der Grundvorlesung Lineare Algebra. Textbeweis Erklärungen Schlussregel Behauptung: Seien M und N Mengen und sei f : M N eine Funktion. Dann ist f genau dann bijektiv, wenn eine Abbildung g : N M existiert mit g f = id M und f g = id N. Beweis: Hinrichtung: zu zeigen: Es existiert g : N M mit g f = id M und f g = id N = f ist bijektiv. Annahme: Es existiert g : N M mit g f = id M und f g = id N. Sei y N. Setze x als g(y) M. Dann gilt: f(x) = f(g(y)) = (f g)(y) = id N (y) = y für alle y N. Damit ist f surjektiv. Seien x und x M mit f(x) = f(x ). Dann gilt: x = id M (x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(f(x )) = (g f)(x ) = id M (x ) = x. Damit ist f injektiv. Es folgt: f ist bijektiv. Rückrichtung Man bezeichne mit x y x M, so dass f(x) = y mit y N. Nun definiere man g : N M, y x y. Für jedes y M gilt: (f g)(y) = f(g(y)) = f(x y) = y = id N (y). Man wähle x M mit f(x) = y mit y N. zu zeigen:f ist bijektiv = Es existiert g : N M mit g f = id M und f g = id N Annahme: f ist bijektiv Da f bijektiv ist, gibt es für jedes y N genau ein x M mit f(x) = y. 7

8 Textbeweis Erklärungen Schlussregel Dann ist x = x y, da f injektiv ist. Es gilt: (g f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x y = x = id M (x). Damit erfüllt g die geforderden Eigenschaften. 8