Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

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1 Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009

2 Übug am Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche Methode beim Lere des Stoffes (diese wird als die beste agesehe). Ma macht sich dabei icht ur die Defiitioe ud Sätze aschaulich klar, soder merkt sich auch die Beweise, die gewisse Tricks ie habe. We es icht geht, sich die Beweise i alle Eizelheite zu merke (was icht verwuderlich ist iemad, de ich kee, ka es), so ist es sehr gut, sich die Hauptidee ud de ugefähre Ablauf des Beweises zu merke. Ma versucht da, sich selbst zu prüfe (besser i eier kleie Gruppe), ob ma de eie oder de adere Satz beweise ka. Eie Bemerkug zur Defiitio ud Verstädis des Begriffs Häufugspukt: Uedlich viele Glieder sid WENIGER, als alle! Weiterhi soll fährerweise darauf higewiese werde, daß i der richtige Klausur ma icht abschreibe dürfe wird (Gruß a das Kozept der Miiklausure). Nach dem Beatworte der Frage zum aktuelle Übugszettel geht es los. 2

3 Übug am Aufgabe Aufgabe Welche Kovergezkriterie für Reihe gibt es? Fide ei Beispiel für eie kovergete aber icht absolut kovergete Reihe. Lösug Wir liste die Kriterie hier auf ud gebe kurz die Beweisidee a. i) (Leibizkriterium) Eie alterierede Reihe ( ) k+ a k ist koverget, falls a k eie mooto fallede Nullfolge ist. Der Beweis basiert auf dem wohlbekate Satz für Folge, ach dem eie mooto wachsede (fallede) ud ach obe (ute) beschräkte Folge kovergiert. ii) (Kovergezkriterium vo Cauchy) Eie Reihe c k ist koverget geau da, falls gilt: ε > 0 0 N > m 0 : k=m+ c k < ε. Der Beweis folgt aus dem etsprechede Kovergezkriterium für Folge (Cauchy- Kriterium). iii) (Geauso, wie für reelle Folge, gilt der Satz, daß eie mooto wachsede ud ach obe beschräkte Folge der Partialsumme kovergiert) Sei a k eie reelle Reihe mit a k 0. Diese Reihe ist geau da koverget, falls die Folge der Partialsumme s = a k ach obe beschräkt ist. iv) (Majoratekriterium) Es seie c k ud d k zwei Reihe mit c k d k für fast alle k N. Da gilt: a) Sei d k eie kovergete Reihe. Da ist die Reihe c k absolut koverget. b) Sei c k diverget. Da divergiert auch die Reihe d k. Der Beweis folgt durch direkte Abschätzug (techischer Kiff: Summatio für die Abschätzug begit icht vo k =, soder vo k = k 0 ). v) (Wurzelkriterium) Es sei c k auf Kovergez zu utersuche. Ma rechet aus: lim k c k = r. k 3

4 Übug am a) Ist r <, so ist die Reihe c k absolut koverget. b) Ist r >, so ist die Reihe c k diverget. Hier basiert der Beweis auf dem Majoratekriterium mit der geometrische Reihe als kovergete Miorate. Divergez folgt aus der fehlede Nullfolgeeigeschaft der Reihe für r >. vi) (Quotietekriterium) Sei c k 0 für fast alle k N. Da ist die Reihe c k absolut koverget, falls c k+ lim k c k = r <. Die Reihe c k divergiert, falls c k+ c k > für fast alle k N. Hier basiert der Beweis wieder auf dem Majoratekriterium mit der geometrische Reihe als kovergete Miorate. Divergez folgt aus der fehlede Nullfolgeeigeschaft der Reihe für c k+ c k >. Ei Beispiel eier kovergete aber icht absolut kovergete Reihe ist mit schell gefude, da diese Reihe, wie ma sich leicht klarmacht, ach Leibizkriterium kovergiert, aber, wege des Beispiels der harmoische Reihe, icht absolut kovergiert. Aufgabe 2 Utersuche die folgede Reihe auf Kovergez ud absolute Kovergez: ( ) i) ii) iii) ı ( ) 2 + Lösug Wir beutze hier die obe agegebee Kovergezkriterie ud gebe Möglichkeite a, wie die Beweise der Kovergez bzw. Divergez erfolge köe. 4

5 Übug am i) ist absolut koverget. Dies zeigt ma wie folgt: 0 < ( 2) = < q, ii) für ei q R, q > 0, ab = 0, da q Majoratekriterium awede. Die Reihe die Reihe kovergiert auch ++5 3ı Jetzt köe wir das kovergiert absolut ud stellt für wege der obige Abschätzug eie Majorate dar. Somit ++5 absolut ist diverget. Es gilt: Da u, wege ı = ı = ( )( 3ı ) 9 + (4 + 3) 2 = ( + + 5) + ı = ( + + 5) ı , der Realteil des allgemeie Reiheglieds icht beschräkt ist ud, isbesodere, keie Nullfolge bildet, ist die Reihe ++5 diverget. iii) Die Reihe ( ) 2+ a = 2+ : a + a = 3ı ist wege des Leibizkriteriums koverget. Es gilt ämlich für 2 + 2( + ) + = < =. Somit ist a mooto falled ud. Wege < = ud der Tatsache, daß 2+ 2 eie Nullfolge ud eie beschräkte Folge ist, ist a eie Nullfolge. Somit sid die Voraussetzuge des Leibizkriteriums erfüllt ud ( ) kovergiert. 2+ Sie ist jedoch icht absolut koverget, de es gilt: ( ) 2 + = 2 + > ( ) 2 + = 3 = 3 5

6 Übug am Somit stellt 3 eie Miorate für die Reihe ( ) 2+ = 2+ wege des Beispiels der harmoische Reihe divergiert, divergiert auch Aufgabe 3 Utersuche auf Kovergez ud absolute Kovergez: i) ii) Lösug Hier kommt die Brechstage zum Eisatz. i) Die Reihe a + a Da folgt: 2! 2! (2)! (2ı) (2)! ist absolut koverget. Es gilt für a = 2! = 2+ ( + )! (2)! (2( + ))! 2! r = lim a + a Weil u r <, ist die Reihe koverget. ii) Die Reihe Da folgt: (2ı) r = lim a = lim 2 = 2( + )(2)! (2 + 2)! = = lim 2 + = lim 2! (2)! ist diverget. Es gilt für a = (2ı) : (2)! : dar. Da sie (2 + )(2 + 2) = = 0. wege dem Quotietekriterium absolut (2ı) c = = = = lim 2 2 ( ) = lim 2 2 = 2, da 2 koverget (2 2) ud koverget mit (dies folgt aus de Recheregel für kovergete Folge, da ud, wie aus Vorlesug bekat, ). Weil u r >, folgt aus dem Wurzelkriterium, daß (2ı) divergiert. 6