Kapitel 6 REIHEN. Fassung vom 21. April Claude Portenier ANALYSIS 99

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1 Kapitel 6 REIHEN Fassung vom 2 April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 99

2 6 Der Begri der Reihe 6 Der Begri der Reihe DEFINITION Sei (z l ) l2n eine Folge in C Die Folge (s k ) k2n in C de niert durch s k := heißt P die Folge der Partialsummen von (z l ) l2n Zur Vereinfachung spricht man von der Reihe z l Man sagt, daßdiese Reihe konvergent ist, falls die Folge der Partialsummen (s k ) k2n konvergent ist Man bezeichnet dann auch mit P z l den Limes dieser Folge Er heißt Summe der Reihe, dh kx z l = lim k s k = lim k z l Die Reihe heißt divergent falls die Folge (s k ) k2n divergent ist kx z l BEISPIEL Die geometrische Reihe P zl ist genau dann konvergent, wenn jzj < In diesem Fall gilt z l = z Achilles und die Schildkröte Das Paradoxon von Zenon ( v Chr) kann man folgendermaßen beschreiben Achilles startet in 0 und die Schildkröte in x 2 R + Zenon behauptet, daßachilles die Schildkröte nie überholt Wenn Achilles in x 0 := x ankommt ist aber die Schildkröte schon in x > x Ist er dann in x, ist sie in x 2 > x, usw Bezeichnet man mit v die Geschwindigkeit von Achilles und ist q v die der Schildkröte mit q 2 ]0; [, wenn Achilles in x 0 = x ankommt ist die Schildkröte in x = x + q x Ist er dann in x, ist sie in x 2 = x + q x + q 2 x, usw Nach k Etappen ist die Schildkröte in kx x k = q l x Die maximale zurückgelegte Distanz ist dann kx sup k x k = lim k q l x = x q l = x q Genauso ist es für die vergangene Zeit, die zuerst x ist, dann (x + q x), usw, dh v v x v kx q l 00 REIHEN Claude Portenier

3 Der Begri der Reihe 6 nach der k-ten Etappe Diese Zeit wird also nicht x v X q l = x v q überschreiten, was mit unsere Erfahrung nicht möglich ist BEISPIEL 2 Es gilt l= l (l + ) = Aufgabe Es gilt l= 4 l (l + ) (l + 2) = SATZ Seien P z l und P w l konvergente Reihen in C und a 2 C Dann konvergieren die Reihen P (z l w l ) und P a z l und es gilt (z l w l ) = z l w l, sowie a z l = a z l BEMERKUNG Wie für Folgen (siehe Satz 52), hängt die Konvergenz einer Reihe nur von den Termen, ab einen bestimmten Index, ab Für alle n 2 N gilt dann Xn z l = z l + z l l=n BEMERKUNG 2 Jede Folge (z k ) k2n in C kann man als die Folge der Partialsummen der Reihe z 0 + P l= (z l z l ) au assen, da kx z k = z 0 + (z l z l ) l= Aufgabe 2 Berechnen Sie 0 3 l 2 l+ Claude Portenier REIHEN 0

4 62 Reihen mit positiven Termen 62 Reihen mit positiven Termen SATZ Sei P x l eine Reihe mit positiven Termen, dh mit x l > 0 für alle l 2 N Genau dann ist diese Reihe konvergent, wenn die Folge der Partialsummen nach oben beschränkt ist In diesem Fall gilt kx x l = sup k x l BEISPIEL Die harmonische Reihe P l= l ist divergent BEISPIEL 2 Für alle s 2 R mit s >, ist die Reihe P l= heißt Riemannsche Zeta-Funktion l= : ]; [! R : s 7! Mit Hilfe der Fourierreihentheorie kann man zeigen, daß l = 2, 2 6 l = 4 und 4 90 l = Aufgabe l= Zeigen Sie folgende Aussagen: (a) Die Reihe P ist konvergent l! (b) Es gilt l! = lim n + n n l= l s l= l s konvergent Die Funktion Der gemeinsame Grenzwert wird mit e bezeichnet und heißt Eulersche Zahl (siehe 66) Beweisen Sie zuerst mit Hilfe der Binomischen Formel, daß lim n + n n kx > für alle k 2 N l! gilt und benutzen Sie dann Aufgabe 53 (c) (d) Für alle k 2 N gilt Die Zahl e ist irrational 0 < e kx l! < k k! 02 REIHEN Claude Portenier

5 Reihen mit positiven Termen 62 Aufgabe 2 Sind folgende Reihen konvergent? (a) (b) (c) (d) X X X X l= l + 4 l 2 3l + p p l + l p l + p p l + l q(l + ) 3 l + 2l Aufgabe 3 (Verdichtungsprinzip von Cauchy) Sei (a k ) k2n eine fallende Folge Genau dann ist die Reihe P a l konvergent, wenn die Reihe P m=0 2m a 2 m konvergent ist Folgern Sie, daßdie harmonische Reihe divergent ist Aufgabe 4 Zeigen Sie, daßfür alle s 2 R + mit s > gilt " (s) = # s s + + l s (l + ) s l s De la Vallée Poussin hat gezeigt, daßdie Reihe s + l s (l + ) s l s für alle s 2 R + konvergent ist In der Tat gilt s + l s l s (l + ) s l= l= 6 l s+ für alle s 2 ]0; [ und l 2 N Damit kann man die Riemannsche Zeta-Funktion auf R + r fg de nieren Die Ungleichung kann man mit Hilfe von sx 6 ( x)s x für alle x 2 [0; [ (vgl Aufgabe 082) beweisen x 2 C de la Vallée Poussin, Mém Acad Sci Belg 53 (896), n o 6 Claude Portenier REIHEN 03

6 63 Entwicklungen in der Basis p 63 Entwicklungen in der Basis p Seien p 2 Nrf0; g und x 2 R + Die Menge aller ganzen Zahlen k 2 Z mit 6 x ist nach p k unten beschränkt Sei also m 2 Z das kleinste Für alle k > m de niert man durch Induktion naturliche Zahlen x k als die größten, so daß kx x l 6 x für alle k > m, p l dh x k = $ l=m p k x!% Xk x l p l l=m für alle k > m SATZ Es gilt x = sowie x l, p l l=m 0 6 x k 6 p für alle k > m ; x m 6= 0 () und für alle n 2 N existiert k 2 N mit k > n und x k 6= p () Diese Zerlegung ist eindeutig DEFINITION Erfüllt eine Folge (x k ) k>m die Bedingungen () und (), so heißt! x = x l = x p l k+m p m p k l=m k=0 die strikte Entwicklung in der Basis p von x Ist p = 0 so nennt man sie die strikte dezimale Entwicklung Man schreibt auch x = x m ; x m+ : : : x x 0 x x 2 : : : p m und spricht von der wissenschaftliche Notation oder Gleitpunkt-Darstellung BEMERKUNG Ist m 6 0, so schreibt man x = x m x m+ : : : x x 0 ; x x 2 : : :, wohingegen für m > 0 x = 0; 0 : : : 0x m x m+ : : :, wobei die Anzahl der Nullen m ist 04 REIHEN Claude Portenier

7 Entwicklungen in der Basis p 63 BEISPIEL Im dezimalen System, dh p = 0, gilt 0; 99 : : : = 9 0 l =, aber diese Entwicklung ist nicht strikt l= BEISPIEL 2 Im dyadischen System, dh p = 2, ist 2 = 0; 00 : : : 3 Aufgabe Zeigen Sie, daßdie strikte Entwicklung in der Basis p von x genau dann periodisch ist, wenn x rational ist Claude Portenier REIHEN 05

8 64 Cauchy-Kriterium 64 Cauchy-Kriterium HAUPTSATZ Sei P z l eine Reihe in C Genau dann konvergiert diese Reihe, wenn für alle " > 0 ein N 2 N existiert mit qx z l 6 " für alle p; q > N l=p KOROLLAR Ist die Reihe P z l konvergent, so gilt lim l z l = 0 BEMERKUNG Die Umkehrung ist falsch wie das Beispiel der harmonischen Reihe 62 zeigt SATZ Sei P z l eine Reihe in C Existiert eine Teilfolge (k l ) l2n von N, so daß(z kl ) l2n nicht gegen 0 konvergiert, so ist die Reihe divergent Aufgabe Sei P x l eine konvergente Reihe mit Zeigen Sie, daß 0 6 x l+ 6 x l für alle l 2 N lim l l x l = 0 gilt, indem Sie Summen der Gestalt P k l=n+ x l mit k > 2n betrachten Aufgabe 2 konvergent? Ist die Reihe l l (l + ) l 06 REIHEN Claude Portenier

9 Majoranten-Kriterium Majoranten-Kriterium DEFINITION Eine Reihe P z l in C heißt absolut konvergent, falls die Reihe P jz lj konvergent ist HAUPTSATZ Seien P z l eine Reihe in C und P a l eine konvergente Reihe mit positiven Termen, so daßjz l j 6 a l für alle l 2 N Dann ist die Reihe P z l absolut konvergent und es gilt jz l j 6 a l Ist die Reihe P z l absolut konvergent, so konvergiert diese Reihe und es gilt z l 6 jz l j BEMERKUNG Eine konvergente Reihe braucht ia nicht absolut zu konvergieren wie das Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe 67 zeigen wird BEISPIEL Da die Reihe P l= mit s > 2, gilt l(l+) konvergent ist (siehe Bsp 62) und da für alle s 2 R l 6 s l l (l + ), hat man einen zweiten Beweis der Konvergenz der Reihe P l= für s > 2 l s Claude Portenier REIHEN 07

10 66 Quotienten-Kriterium 66 Quotienten-Kriterium HAUPTSATZ (d Alembert) Seien P z l eine Reihe in C und m 2 N mit z l 6= 0 für alle l > m Existiert ein q 2 [0; [ mit z l+ z l so ist diese Reihe absolut konvergent 6 q für alle l > m, BEISPIEL Für alle s 2 R und z 2 C mit jzj < ist die Reihe P l= ls z l konvergent Man kann zeigen (Übung 65) daß l = 2 und 2 l Im Beispiel 853 werden wir zeigen, daß l = ln 2 2 l l= l= l= l 2 2 l = 6 BEISPIEL 2 Die harmonische Reihe P l= erfüllt folgende Bedingung : l z l+ z l = l < für alle l >, l + aber es gibt kein q 2 [0; [ und kein m 2 N mit l 6 q für alle l > m l + Das Kriterium ist also nicht anwenbar, was nicht verwunderlich ist, da die harmonische Reihe 62 divergent ist BEISPIEL 3 Die Reihe P l= ist aber auch nicht anwenbar l 2 ist konvergent nach Beispiel 622 Das Quotienten-Kriterium Aufgabe Sind die folgenden Reihen konvergent? (a) (b) X l= X l= l! l l l 3 l! l l 08 REIHEN Claude Portenier

11 Leibniz-Kriterium Leibniz-Kriterium HAUPTSATZ Sei (x l ) l2n eine fallende Nullfolge Dann ist die alternierende Reihe ( ) l x l konvergent Präziser sind die Partialsummen (s 2k+ ) k2n und (s 2k ) k2n wachsend bzw fallend Für alle k 2 N gilt s 2k+ 6 ( ) l x l 6 s 2k, und kx ( ) l x l ( ) l x l 6 x k+ BEISPIEL sowie Die alternierende harmonische Reihe ( ) l+ l, l= ( ) l 2l +, sind konvergent, aber nicht absolut konvergent Später werden wir zeigen (vgl Beispiel 853), daß ( ) l+ l = ln 2 und X ( ) l 2l + = 4 l= Aufgabe Sind die folgenden Reihen konvergent? (a) (b) (c) X l= X l= X l=! l + ( p )l l ( ) l sin l 4 + ( ) l l l 2 + l Claude Portenier REIHEN 09

12 67 Leibniz-Kriterium Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Menge der x 2 R, so daßdie Reihe P (l + ) ( x)l konvergent ist und zeigen Sie, daß 2x 6 (l + ) ( x) l 6 2x + 3x 2 für alle x 2 0; REIHEN Claude Portenier

13 Wurzel-Kriterium Wurzel-Kriterium HAUPTSATZ (Cauchy) Seien P z l eine Reihe in C, m 2 N und q 2 [0; [ Gilt p l jzl j 6 q für alle l > m, so ist die Reihe absolut konvergent DEFINITION Eine Reihe der Gestalt c l z l, wobei (c l ) l2n eine Folge in C und z 2 C sind, heißt Potenzreihe SATZ Ist die Potenzreihe P c l z l für ein w 2 C konvergent, so ist sie für alle z 2 C mit jzj < jwj absolut konvergent Aufgabe konvergent? Ist die Reihe l 2 l + Aufgabe 2 Zeigen Sie, daßdie Reihe 2 ( ) l konvergent ist Kann man das Quotientenkriterium benutzen? Man kann zeigen, daßdie Bedingung des Quotientenkriteriums diejenige des Wurzelkriteriums impliziert 2 l Claude Portenier REIHEN

14 69 Limes superior und Limes inferior 69 Limes superior und Limes inferior DEFINITION Ist (x k ) k2n eine Folge in R (sogar in R ), so de niert man lim sup k x k := inf l2n sup k2n;k>l x k 2 R und lim inf k x k := sup l2n (inf k2n;k>l x k ) 2 R, und nennt diese Zahlen Limes superior bzw Limes inferior BEISPIEL und Es gilt lim sup k ( ) k =, lim inf k ( ) k =, lim sup k> ( ) k k = 0, lim inf k> ( ) k k = 0 BEMERKUNG Die Folgen sup k2n;k>l x k l2n und (inf k2n;k>l x k ) l2n sind fallend bzw wachsend Ist (x k ) k2n beschränkt, so sind diese Folgen konvergent und es gilt sowie lim sup k x k := lim l2n sup k2n;k>l x k 2 R lim inf k x k := lim l2n (inf k2n;k>l x k ) 2 R LEMMA Eine Folge (x k ) k2n in R ist genau dann konvergent, wenn lim sup k x k = lim inf k x k 2 R In diesem Fall gilt lim n x n = lim sup n x n = lim inf n x n SATZ Sei P z l eine Reihe in C (i) Gilt z l 6= 0 für alle l 2 N und so ist diese Reihe absolut konvergent (ii) Gilt z l 6= 0 für alle l 2 N und lim sup l z l+ z l lim inf l z l+ z l <, >, 2 REIHEN Claude Portenier

15 Limes superior und Limes inferior 69 so ist diese Reihe divergent (iii) Gilt so ist diese Reihe absolut konvergent (iv) Gilt so ist diese Reihe divergent p l lim sup l jzl j <, p l lim sup l jzl j >, z BEMERKUNG 2 Konvergiert eine der Folgen l+ p l z l bzw jzl j und ist der Limes l2n l2n <, so konvergiert die Reihe absolut Ist der Limes >, so divergiert die Reihe BEISPIEL 2 Wir betrachten die Reihe P l= a l de niert durch 8 < l ungerade l 2 a l := falls : (l+) 3 Diese Reihe ist durch die konvergente Reihe P l= a 2k+ a 2k = l 2 l gerade (2k + )3 (2k + ) 2 = 2k + und a 2k+2 a 2k+ = und somit lim sup l a l+ a l = und lim inf l a l+ a l = 0 majorisiert, also konvergent, aber (2k + )2 (2k + 3) 3 6 2k + 3, Aufgabe Sei (x n ) n2n R eine beschränkte Folge und H R die Menge ihrer Häufungspunkte Zeigen Sie, daßgilt lim sup n x n = max H und lim inf n x n = min H Aufgabe 2 Seien a; b 2 R mit 0 < a < b und (x k ) k2n eine Folge in [a; b] Zeigen Sie, daßgilt = lim inf k lim sup k x k x k Claude Portenier REIHEN 3

16 60 Konvergenzradius einer Potenzreihe 60 Konvergenzradius einer Potenzreihe DEFINITION Seien P c l z l eine Potenzreihe und C die Menge aller z 2 C für die diese Reihe konvergent ist Man nennt den Konvergenzradius dieser Reihe R := sup jcj 2 R SATZ Seien P c l z l eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R und z 2 C (i) (ii) (iii) Ist jzj < R, so ist die Reihe absolut konvergent Ist jzj > R, so ist die Reihe divergent Ist jzj = R so kann man nichts sagen BEISPIEL Der Konvergenzradius der geometrischen Reihe P zl ist BEISPIEL 2 Der Konvergenzradius der Reihe P l= l zl ist Für z = bekommt man die divergierende harmonische Reihe, für z = die konvergierende alternierende harmonische Reihe Wir werden später zeigen, daßdiese Reihe konvergent ist, falls jzj = und z 6= HAUPTSATZ (Hadamardformel) Der Konvergenzradius einer Potenzreihe P c l z l ist durch R = p l lim sup l jcl j gegeben, wobei 0 := und := 0 de niert wird Aufgabe Zeigen Sie, daß eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ist z l! Aufgabe 2 Ist P c l z l eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe P c l z 2l gleich p R 4 REIHEN Claude Portenier

17 Konvergenzradius einer Potenzreihe 60 Aufgabe 3 Sind P a l z l und P b l z l Potenzreihen mit Konvergenzradien R a und R b in ]0; [, so erfüllt der Konvergenzradius R der Potenzreihe P a l b l z l die Ungleichung R > R a R b Aufgabe 4 Bestimmen Sie alle x 2 R, so daßdie Reihe P l= x l konvergent ist l Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Grenzwert folgender Folgen : (a)! kx x k := l 3 k 4 (b)! nx x k := l k n k für ein n 2 N Claude Portenier REIHEN 5

18 6 Abzählbarkeit von N N 6 Abzählbarkeit von N N Wir errinern, daßeine Menge A abzählbar ist (siehe De nition 34) falls sie endlich ist oder falls eine Bijektion von N auf A existiert ZB ist Z abzählbar, da 8 n + < m n = 2m n 7! ( ) n = falls 2 : m n = 2m + eine Bijektion von N auf Z ist SATZ N N ist abzählbar Präziser ist die Abbildung eine Bijektion (n; m) 7! (n + m) (n + m + ) + m : N N 2! N BEMERKUNG Die Umkehrabbildung kann man folgendermaßen berechnen : Ist k 2 N gegeben, so bestimme man l 2 N mit l (l + ) (l + ) (l + 2) l (l + ) 6 k < = + (l + ) Dann ist die einzige Lösung (n; m) 2 N N von (n + m) (n + m + ) + m = k durch 2 gegeben m := k l (l + ) 2 und n := l m 6 REIHEN Claude Portenier

19 Abzählbarkeit von Q Abzählbarkeit von Q LEMMA Eine nicht-leere Menge A ist genau dann abzählbar, wenn eine Surjektion von N auf A existiert HAUPTSATZ Eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist abzählbar KOROLLAR Q ist abzählbar Aufgabe Zeigen Sie: (a) Die Menge aller endlichen Teilmengen von N ist abzählbar (b) Die Menge aller Teilmengen von N ist überabzählbar Aufgabe 2 surjektiv ist Zeigen Sie, daßdie Abbildung N N! N : (x; y) 7! 2 x (2y ) Durch Induktion auf n 2 N zeigt man mit Hilfe von Aufgabe 38, daßfür alle m 2 N mit m 6 n manche x; y 2 N mit m = 2 x (2y ) existieren Claude Portenier REIHEN 7

20 63 Überabzählbarkeit von R 63 Überabzählbarkeit von R HAUPTSATZ (von Cantor) überabzählbar R, sowie jedes Intervall mit mindestens zwei Punkten sind KOROLLAR Die Menge der irrationalen Zahlen ist überabzählbar BEMERKUNG Eine komplexe Zahl heißt algebraisch (über Q ), falls sie Lösung ist einer Gleichung der Gestalt kx c l x l = 0 mit c l 2 Z (oder Q) für alle l 2 f0; ::; kg ZB ist p 2 algebraisch, und e sind nicht algebraisch Man sagt, daßeine Zahl transzendent ist, wenn sie nicht algebraisch ist Aufgabe (a) (b) Zeigen Sie, Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar Die Menge der transzendenten Zahlen ist überabzählbar 8 REIHEN Claude Portenier

21 Umordnung Umordnung DEFINITION Ist : N! N eine Bijektion, so heißt die Reihe P j=0 z (j) eine Umordnung der Reihe P z l HAUPTSATZ (Umordnungssatz) Sei P z l eine absolut konvergente Reihe Dann ist jede Umordnung P j=0 z (j) absolut konvergent und es gilt z (j) = z l j=0 BEISPIEL Es gibt eine Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe, die divergent ist ZB : k X + : : : : : : k + 2l + 2k + 2 BEMERKUNG Sei (z j ) j2j eine Familie in C, die durch eine abzählbare unendliche Menge J indiziert ist Ist für eine Abzählung : N! J von J die Reihe P z (l) absolut konvergent, dann gilt dies für jede Abzählung Wir sagen dann, daßdie Reihe P j2j z j absolut konvergent ist (man sagt auch, daß(z j ) j2j eine summierbare Familie ist) und da die Summe dieser Reihe nicht von der Wahl dieser Abzählung abhängt, wird sie auch mit X bezeichnet j2j z j Claude Portenier REIHEN 9

22 65 Produkt von zwei Reihen 65 Produkt von zwei Reihen LEMMA Ist P z l eine konvergente Reihe und ist (l k ) k2n eine Teilfolge von N mit l 0 = 0, so ist die Reihe! X k=0 l k+ X l=l k konvergent und hat die gleiche Summe Die Umkehrung ist wahr für Reihen mit positiven Termen z l BEISPIEL Die Umkehrung ist ia falsch wie folgendes Beispiel zeigt ( ) l ist divergent und ( ) = 0 Sind P z l und P w l konvergente Reihen in C, so gilt 0! z l! kx w l = lim k z l w m = l;m=0 k=0 X (l;m)2n 2 06l;m6k l=k oder m=k wobei die letzte Reihe konvergent ist Man summiert nach dem Schema : z 0 w 0 z 0 w z 0 w 2 z 0 w 3 : : : z w 0 z w z w 2 z w 3 : : : z 2 w 0 z 2 w z 2 w 2 z 2 w 3 : : : z 3 w 0 z 3 w z 3 w 2 z 3 w 3 : : : z l w m C A, Diese Weise zu summieren ist leider in der Praxis nicht nützlich Zum Beispiel wenn man zwei Potenzreihen mutipliziert, um die Termen gleicher Potenz in Klammern zu setzen, möchte man diagonal summieren : ::: ::: ::: ::: 20 REIHEN Claude Portenier

23 Produkt von zwei Reihen 65 HAUPTSATZ (Cauchyprodukt) Sind die Reihen P z l und P w l absolut konvergent, dann gilt 0!! X z l w l = z l w m C A, wobei letztere Reihe absolut konvergent ist k=0 (l;m)2n 2 l+m=k Aufgabe Zeigen Sie, daßfür alle z 2 C mit jzj < gelten ( z) 2 = (l + ) z l 2 und ( z) 3 = (l + 2) (l + ) z l, indem Sie Cauchyprodukte mit der Reihe P zl bilden Berechnen Sie dann l l 2 und 2 l 2 l Claude Portenier REIHEN 2

24 66 Die Exponentialfunktion 66 Die Exponentialfunktion LEMMA Die Reihe P z l ist absolut konvergent für alle z 2 C Ihr Konvergenzradius ist l! DEFINITION Die Potenzreihe P z l heißt Exponentialreihe Die Funktion de niert l! durch exp : C! C : z 7! exp (z) := heißt komplexe Exponentialfunktion Durch Einschränkung erhält man die reelle Exponentialfunktion Man nennt exp : R! R : x 7! exp (x) e := exp () = l! = 2; 7828 : : : die Eulersche Zahl Wir errinern an die Aufgaben 53und 62 Es gilt e = lim n> + n n z l l! BEMERKUNG Die Folge kp k! k2n ist streng wachsend und sup k k p k! = SATZ (Restabschätzung) so gilt Schreibt man exp (z) = jr n (z)j 6 2 jzjn n! Xn z l l! + r n (z), für alle jzj 6 n + 2 Damit kann man Werte von exp, zb e, mit einer apriori Abschätzung des Fehlers berechnen Mit Hilfe des Hornerschen Schema kx z l z l! = : : : k + z k + z k 2 + : : : + z 2 + z +, kann man die Rechnungen mit wenig Speicherplatz durchführen 22 REIHEN Claude Portenier

25 Die Exponentialfunktion 66 x 7! exp (x) x exp (x) 3 0; 049 : : : 2 0; 3 : : : 0; 36 : : : 0 e = 2; 7 : : : 2 7; 38 : : : 3 20; 09 : : : 0 2; 20 : : : ; 68 : : : 0 43 Aufgabe Ist die Reihe P l= exp l 2 konvergent? Claude Portenier REIHEN 23

26 67 Funktionalgleichung der Exponentialfunktion 67 Funktionalgleichung der Exponentialfunktion HAUPTSATZ Für alle z; w 2 C gilt exp (z + w) = exp (z) exp (w) KOROLLAR Für alle z 2 C, x 2 R und n 2 Z gilt (i) exp (z) 6= 0 und exp ( z) = exp (z) (ii) exp (x) > 0 (iii) (iv) exp (nz) = exp (z) n exp (z) = exp (z) BEMERKUNG und erhält Um exp (x) für x 2 R zu berechnen, zerlegt man x in x = bxc + h mit 0 6 h <, exp (x) = exp (bxc + h) = e bxc exp (h) Für z 2 C schreibt man z = x + i y mit x; y 2 R und es gilt exp (z) = exp (x) exp (i y) Aufgabe Für alle x 2 R de niert man die hyperbolischen Funktionen durch cosh (x) := 2 [exp (x) + exp ( x)] und sinh (x) := [exp (x) 2 exp ( x)] Zeigen Sie, daßfür alle x; y 2 R gilt (a) cosh (x + y) = cosh (x) cosh (y) + sinh (x) sinh (y) (b) sinh (x + y) = cosh (x) sinh (y) + sinh (x) cosh (y) (c) cosh (x) 2 sinh (x) 2 = 24 REIHEN Claude Portenier

27 Die trigonometrischen Funktionen Die trigonometrischen Funktionen Man untersucht die Funktion Wir setzen R! C : x 7! exp (ix) U := fz 2 C j jzj = g LEMMA Für alle x 2 R gilt exp (ix) 2 U DEFINITION dh Für alle x 2 R de niert man cos x := Re (exp (ix)) und sin x := Im (exp (ix)), Eulerformel exp (ix) := cos x + i sin x DEFINITION 2 Die Funktionen cos und sin heißen Kosinusfunktion bzw Sinusfunktion Die geometrische Relation zwischen dem Punkt exp (ix) 2 U und x 2 R wird in Theorem 76 und Bemerkung 772 geklärt SATZ (i) Für alle x; y 2 R gilt cos x = 2 [exp (ix) + exp ( ix)] und sin x = [exp (ix) exp ( ix)] 2i (ii) cos ( x) = cos x und sin ( x) = sin x (iii) cos 2 x + sin 2 x = Claude Portenier REIHEN 25

28 68 Die trigonometrischen Funktionen Additionssätze (iv) cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y und sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y (v) cos x cos y = 2 sin x + y sin x y 2 2 und sin x sin y = 2 cos x + y sin x y 2 2 (vi) cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x = 2 sin 2 x und sin 2x = 2 sin x cos x Aufgabe Zeigen Sie, daßfür alle z 2 C gilt jexp (z)j = exp (Re z) 26 REIHEN Claude Portenier

29 Reihenentwicklung der Funktionen cos und sin Reihenentwicklung der Funktionen cos und sin SATZ Für alle x 2 R gilt cos x = ( ) l (2l)! wobei diese Reihen absolut konvergent sind x 2l und sin x = ( ) l (2l + )! x2l+, BEMERKUNG Es gilt folgende Restabschätzung : Schreibt man kx ( ) l kx cos x = x 2l ( ) l + r 2k+2 (x) und sin x = (2l)! (2l + )! x2l+ + r 2k+3 (x), so ist jr n (x)j 6 jxjn n! für alle jxj 6 n + Wir werden zeigen (vgl Beispiel 8), daßdiese Abschätzung für alle x 2 R gültig ist Aufgabe (a) Sei x 2 R + Zeigen Sie, daßdie Folgen x 2k (2k)! k>n und x 2k+ (2k+)! sind, wenn x 6 p (2n + 2) (2n + ) bzw x 6 p (2n + 3) (2n + 2) Unter Benutzung des Leibniz-Kriteriums 67 zeigen Sie, daßgilt (b) (c) und x cos x 6 x 2 x > sin x > x 2 + x4 24 x 3 6 h für alle x 2 für alle x 2 h 0; p i 20 k>n p 30; p 30 i genau dann fallend In der Tat gelten bessere Ungleichungen wie die folgenden Bilder zeigen Man de niert f 0 := ; f := g 0 := id ; g := id id 2 2 ; f 2 := id id4 24 ; f 3 := id id4 24 id3 6 ; g 2 := id id3 6 + id5 20 ; g 3 := id id3 6 + id5 20 id id Claude Portenier REIHEN 27

30 69 Reihenentwicklung der Funktionen cos und sin 28 REIHEN Claude Portenier