Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius)

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1 Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) 1 Grundregeln des Rechnens 1.1 Zahlbereiche Zahlen N {1, 2, 3,...} Zahlen Z {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Zahlen Q { a b a Z, b N} Zahlen R alle rationalen und irrationalen Zahlen Zahlen C {a + bi a, b R} e π 2 Bsp: 1.2 Brüche kürzen erweitern mit 13 Multiplikation Addition Division : a) b) Ein Unternehmer spekuliert mit Aktien im Wert von 1 Mio Euro. 1. Jahr 100% Gewinn. 2. Jahr 100% Verlust. Wie viel hat er dann noch? 1.3 Rechengesetze Assoziativität (a + b) + c a + (b + c) (a b) c a (b c) Kommutativität a + b b + a a b b a Distributivgesetz a (b + c) a b + a c 2 Semantik in der Mathematik 2.1 Quantoren! 2.2 Aussagenlogik A A B A B 2.3 Mengenlehre Menge M {a, b, c,...} x M, A B, leere Menge {} Vereinigung A B {x x A x B} Bsp: [1, 5] [ 3, 2] Durchschnitt A B {x x A x B} [1, 3] [2, 4] Differenz A \ B {x x A x / B} [1, 5] \ [0, 7] Komplement A c {x R x / A} [1, 5] c 1

2 2.4 Wahrheitstabellen Können wahr oder falsch sein, je nach Kontext. wahre Aussage: 5 > 3 A: Heute ist Freitag. B : Ich muss morgen nicht in die Uni. A B A B A B A B A B A B ( A B) A B Schreibweise bei Funktionen f(x) 3x f : R R G { (x; 3x 2 + 5) x R } x 3x f(x) [4x] f : R x [4x] a n 2n + 1 a n : N n 2n + 1 Berechne den Funktionswert an 2: f(2) Berechne die : 0 f(x) 3 Umformungen 3.1 Gleichungen x x x 12 x x x + 4x 2 2x 3x 2 x 6x 2 2x Schnittpunkt zweier Funktionen: f(x) 3x + 4, g(x) x Ungleichungen x + 5 < 3 1 x 2 x 2 > 9 (2x 1)(3 x) > Beträge x 5 < 3 1 x 2 x 2 > Potenzen, Wurzeln, Logarithmen und e y a x x log a y Potenz von

3 Potenzgesetze a 0 1 a 1 a a m+n a m a n (a n ) m a n m a n b n (ab) n a n 1 a n Logarithmengesetze log(1) 0 log(x y) log(x) + log(y) log(x n ) n log(x) log b (a) ln(a) ln(b) Wurzelgesetze a 1 2 a a b ab ( n a) n a a2 ±a 4 Summen und Produkte 4.1 Summe Summenzeichen Bsp: 4 1 k 3 2n 1 n0 100 k 8 k 0 Summenformeln: 4.2 Produkt Produktzeichen 5 k k0 n n n k n (n + 1) 2 k 2 n (n + 1)(2n + 1) 6 k 3 n2 (n + 1)2 4 4 k ! 0! 1 m a k a n a n+1 a m 1 a m mit (a k ) ist Zahlenfolge. kn Bsp: a k 1 k dann ist 5 k2 a k 5 3 Binomialkoeffizient ( ) n k n! (n k)!k! Bsp: ( ( 5 0) 5 ) ( 1 Lotto 49 ) Binomische Formeln (a + b) 2 (a b) 2 (a + b)(a b) Quadratzahlen

4 Bsp: (10 + 4) 2 4x 2 25y 2 2x + 5y x x + x 2 5 Funktionen Funktion/Abbildung f(x) ist eine Zuordnung, bei der jedem x genau ein y zugeordnet wird mittels einer Funktion(svorschrift) f. x: unabhängige Variable y: abhängige Variable y 2x 3 Wertetabelle Definitions- und Wertebereich x y f : X Y Bsp: f : [0, 1] R f : [ π, 2π] [ 1, 1] x x 2 x sin(x) Wertebereich Bildbereich Bsp: f : R R W f x sin(x) g : [0, 2] R W g x x 2 h: R R W h x 3x f(x) 1 4 x 2 D f 5.1 Polynome n a k x k a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n k0 n 0 konstante Funktion f(x) c n 1 lineare Funktion f(x) mx + n n 2 quadratische Funktion f(x) ax 2 + bx + c n 3 kubische Funktion f(x) ax 3 + bx 2 + cx + d n 4 f(x) a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a gebrochenrationale Funktion f(x) Polynom Polynom Definitionslücken Polstellen 5.3 Wurzel- und Potenzfunktionen f(x) a x g(x) x 4

5 5.4 Trigonometrische Funktionen 180 π tan sin cos sin cos π 2 0 π 2 π 3 2 π 2π 5.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen f(x) e x g(x) ln(x) e 0 ln(1) e x 0 ln(x) n.d. x 0 6 Kurvendiskussion 6.1 lineare Funktion f(x) 3x + 1 Skizze: Beschränktheit/Wertebereich 6.2 quadratische Funktion f(x) x 2 1 Skizze: 6.3 kubische Funktion f(x) 4x 3 1 Skizze: 2 5

6 6.4 f(x) x 4 9x 2 Skizze: 6.5 f(x) x+1 x 2 Skizze: 6.6 Wurzelfunktion f(x) x Skizze: 6.7 trigonometrische Funktion f(x) sin(x) Skizze: 6

7 6.8 Exponentialfunktion f(x) e x Skizze: 6.9 Logarithmusfunktion f(x) ln(x) Skizze: 7 Beispiel einer ökonomischen Funktion Budgetgerade m p 1 x 1 + p 2 x 2 Bsp: Student 20 Budget zum Lernen. Kaffee 2, Buch 5. Indifferenzkurven Nutzenniveau u(x 1, x 2 ) 8 Gleichungen 8.1 Quadratische Gleichung x 2 + px + q 0 pq-formel: x 1,2 p 2 ± (p 2) 2 q x 2 + 2x 6 2 6x 5 2x (x 1)(x + 2) 0 7

8 8.2 Biquadratische Gleichung ax 4 + bx 2 + c 0 x 4 5x Wurzelgleichung 5x 30 0 x 1 x 3 x x Exponential- und Logarithmusgleichungen lg(3x + 1) 2 ln(x) 2 ln(x) + ln(1 + x) 9 Lineare Gleichungssysteme I a 1 x + b 1 y c 1 II a 2 x + b 2 y c 2 3 mögliche Lagebeziehungen von 2 Geraden in der Ebene: I 2x y 3 II 2x + 2y 4 Einsetzungsverfahren: Additionsverfahren: Gleichsetzungsverfahren: weitere Beispiele: I 2x 3y 4 II 2x + 3y 5 I x 2y 3 II 2x + 4y 6 8