Fehlerfortpflanzung & Extremwertbestimmung. Folie 1

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1 Fehlerfortpflanzung & Etremwertbestimmung Folie 1

2 Fehlerfortpflanzung Einführung In vielen technischen Zusammenhängen sind die Werte bestimmter Größen nicht genau bekannt sondern mit einer Unsicherheit behaftet. Wir nehmen daher an, von einer Eingangsgröße sei der Mittelwert und eine charakteristische Abweichung bekannt: Die Fehlerfortpflanzungsrechnung gibt Auskunft über die Auswirkung der Unsicherheit einer Eingangsgröße auf das Ergebnis. Für eine gegebene Funktion z() soll zunächst der Fehler des Funktionswertes bei einer fehlerbehafteten Eingangsgröße untersucht werden. Oder anders ausgedrückt, wie stark pflanzt sich ein Fehler in auf die abhängige Variable z fort?? z z z Wir betrachten hierzu zunächst Funktionen einer Variablen und übertragen das Ergebnis dann auf Funktion mehrerer Variablen. Folie 2

3 Lineare Fehlerfortpflanzung Als einfaches Beispiel betrachten wir die Funktion z() = 2. Die Eingangsgröße sei gegeben. z ( ) Man kann natürlich eplizit die 40 Funktionswerte z(+)und z(-) berechnen und daraus den Fehler in 35 2 z( ) z ermitteln: z=z(+)-z(-) 30 z Dieses Vorgehen wird aber schnell 25 z zu kompliziert, wenn Funktionen mit mehreren Variablen betrachtet werden In der Regel genügt es für die Auswirkung des Fehlers die linearisierte Funktion (Tangente ) zu betrachten Damit folgt unmittelbar z z( ) Folie 3

4 Lineare Fehlerfortpflanzung D.h. mit Hilfe der Steigung an der Stelle lässt sich berechnen wie stark sich der Fehler in auf die abhängige Variable z auswirkt. z ( ) Der mittlere Funktionswert z kann 40 unmittelbar mit berechnet werden z( ) Zusammengefasst: 30 z z z mit z z( ) und z z( ) z 10 5 z Folie 4

5 Lineare Fehlerfortpflanzung Verallgemeinerung Das Ergebnis der vorhergehenden Folie lässt sich unmittelbar auf Funktionen mehrerer Variablen erweitern, wobei entsprechende partielle Ableitungen eingesetzt werden müssen. Hängt die Funktion z von zwei Veränderlichen ab: z=z(,y) gilt:, y y y z z z mit z z(, y) und z z (, y) z (, y) y y Anmerkungen: - Die part. Ableitung z.b. nach bestimmt also die Auswirkung des Fehlers in der entsprechenden Eingangsgröße. - Man kann mit Hilfe partieller Ableitungen also die Empfindlichkeit einer Funktion bzgl. verschiedener Variablen untersuchen. Folie 5

6 Lineare Fehlerfortpflanzung weitere Anmerkungen: - Da die partiellen Ableitungen u.u. auch negative Werte ergeben können, sind Beträge zu verwenden. Ansonsten könnte es vorkommen, dass ein Fehler in durch einen entsprechenden Fehler in y kompensiert würde und das Gesamtergebnis dann fehlerfrei wäre. - Für Funktionen mit mehr als zwei Variablen z f( 1, 2, 3, ) gilt entsprechend: i i i z z z mit z f(,,, ) und z f (,,, ) f (,,, ) f (,,, ) z bezeichnet den so genannten absoluten Fehler. Der relative Fehler ist z z Folie 6

7 Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Satz von Schwarz Wie im eindimensionalen Fall, können die partiellen Ableitungen z und z y erneut differenziert werden. Man erhält 4 zweite partielle Ableitungen z, z y, z y, z yy. Hierbei bedeutet z y, dass z(,y) zuerst nach und dann nach y abgeleitet wird. Weitere gebräuchliche Schreibweisen sind: 2 2 z zy(, y) z(, y) y y Bzgl. der Reihenfolge der Ableitungen gibt es einen nützlichen Satz: Satz von Schwarz: Sind Funktion und deren partiellen Ableitungen stetig, so ist die Reihenfolge der Differentiation vertauschbar, d.h. es gilt: z y = z y. Folie 7

8 Kurze Wiederholung zu relativen Etrema Bei Funktionen mit einer Veränderlichen gilt: Die notwendige Bedingung für relative Etremwerte ist: f ( 0 ) = 0. Geometrische Interpretation: Jede Etremstelle hat eine waagerechte Tangente. Die Bedingung für relative Etremwerte ist hinreichend, wenn zusätzlich gilt: f ( 0 ) 0. Geometrische Interpretation: Bei jeder Etremstelle ist die Kurve gekrümmt Folie 8

9 Relative Etrema von Funktionen zweier Veränderlicher Die erste Bedingung kann unmittelbar auf zwei Variablen verallgemeinert werden. Die zweite leider nicht. Bei zwei Variablen besagt die notwendige Bedingung für einen relativen Etremwert bei ( 0, y 0 ), dass die Tangentialebene waagerecht sein muss. Die Gleichung der Tangentialebene im Arbeitspunkt 0, y0 lautet: T(, y) z( 0, y0) z (, y ) z (, y ) y y y d.h. es muss gelten: z (, y ) z (, y ) 0 y 0 0 Folie 9

10 Relative Etrema von Funktionen zweier Veränderlicher Eine waagerechte Tangentialebene liegt aber auch an einem Sattelpunkt vor, wobei es sich natürlich um kein Etremum handeln kann. Um Sattelpunkte auszuschließen, Bedarf es einer weiteren Bedingung. Diese ist allerdings nicht so anschaulich wie im eindimensionalen Fall. Zunächst wird eine Hilfsfunktion, die so genannte Funktionaldeterminante definiert: D (, y) z (, y) z (, y) z (, y) 2 yy y zy (, ) y Die zweite (hinreichende) Bedingung für ein lokales Etremum lautet dann: an der Stelle ( 0, y 0 ) muss gelten: D(, y ) Folie 10

11 Relative Etrema von Funktionen zweier Veränderlicher Kochrezept I. Bestimme die partiellen Ableitungen: z (, y), z (, y), z (, y), z (, y), z (, y) yy y? II. Löse das Gleichungssystem: z (, y) 0, z (, y) 0 'Lösungspärchen' (, y ), (, y ),... y III. Aufstellen der Funktionaldeterminante: Dy (, ) z ( y, ) z ( y, ) z ( y, ) Für jede gefundene Lösung (, y ) überprüfe ob gilt: D(, y ) 0 Falls ja, liegt an der Stelle (, y ) ein lokales Etremum. i yy y i i i i i Die Art des Etremums kann mit Hilfe von z oder z bestimmt werden. z (, y ) 0 z (, y ) 0 lok. Minimum; i i yy i i z (, y ) 0 z (, y ) 0 lok. Minimum i i yy i i Falls gilt D (, y) 0kann ohne Weiteres keine Aussage gemacht werden. i i yy? 2 Folie 11