A.5.1 Die Matrix und elementare wirtschaftsrelevante Anwendungen
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- Imke Mann
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1 A.5.1 Die Matrix und elementare wirtschaftsrelevante Anwendungen Eine Matrix vom Typ M mxn (oder eine (m x n)-matrix) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Im folgenden Beispiel ist A eine 4 x 4-Matrix, B eine 2 x 3 Matrix und C eine 2 x 2 Matrix, d.h. A M 4x4, B M 2x3 und C M 2x2 : A = B = c 11 c12 C = c 21 c22 Ein Element oder eine Komponente einer Matrix wird mit der entsprechenden Zeilennummer zuerst gefolgt von der Spaltennummer indiziert, so ist A 42 = -12. r d d 1 = d 2 d 3 Wenn die Zeilen in Spalten umgewandelt werden entsteht die Transponierte Matrix, so z.b. ist B T die Transponierte Matrix von B T B = 2-3 Eine Matrix mit nur einer Spalte, wie z.b. d r, oder nur mit einer Zeile, wird als Vektor gedeutet und stets in dieser besonderen Notation, d.h. mit Pfeil oben, geführt. Operationen mit Matrizen Die Addition erfolgt elementweise hier vorgestellt in einem Beispiel: = Die Multiplikation mit einem Skalar: = 4 8 Die Matrixmultiplikation: (4.1) a 11 a12 b 11 b12 a11b11 + a12b 21 a11b12 + a12b21 a a b b = a b + a b a b + a b Erkenntnis: Die Matrixmultiplikation ist nicht (vertauschbar)kommutativ, d.h. A B B A. 22
2 Die Multiplikation mit der Inversen Matrix, d.h. die Matrixdivision: Bei Zahlen ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation die Zahl 1, d.h. 4 1 =4 Analog gibt es auch für quadratische Matrizen die Einheitsmatrix E, d.h. A E = A Analog wie bei den Zahlen (Skalaren) ist die Division mit der Matrix A als die Multiplikation mit ihrem Kehrwert A -1 und dieser wird als die Inverse Matrix bezeichnet. A A -1 = E Sei die 2x2 Matrix wenn a11a 22 a 21a12 0 ist. A a a, dann ist A = 1 a a = a 21 a 22 a11a 22 a21a12 a 21 a 11, Matrizen haben eine Große Vielfalt von Anwendungsbereiche. Im wirtschaftlichen Bereich kommen insbesondere zunächst einstufige oder mehrstufige gerichtete Prozesse mit verteiltem Output und Input in Betracht. Im folgenden Beispiel wird im Rahmen der Aufgabenstellungen B.0 bis B.4 eine Rohstoffmengen- und Kosten-Preis- Kalkulation durchgeführt und dabei als Kommentar einige zusätzliche Begriffe erläutert. B.0 Ein Betrieb erhält einen Auftrag für den 4 verschiedene Rohstoffe R 1, R 2, R 3 und R 4 zunächst zu 3 Zwischenprodukte Z 1, Z 2, und Z 3 verarbeitet werden müssen um daraus letztendlich zwei verschiedene Endprodukte E 1 und E 2 zu erzeugen. Das Verflechtungsdiagramm (Gozintograph) aus der Abb. 1 liefert in Mengeneinheiten (ME) die Mengen an Rohstoffen, die für jeweils eine ME der Zwischenprodukte benötigt werden und anschließend wie viele ME an Zwischenprodukte für eine ME der Endprodukte notwendig sind. Abb. 1 23
3 Kommentar: Die Abb. 1 zeigt ein zweistufiges Verflechtungsdiagramm, das aus zwei einstufigen Verflechtungsdiagrammen besteht, und zwar Rohstoff-Zwischenprodukt (RZ) und Zwischenprodukt-Endprodukt (ZE). Einstufige Verflechtungsdiagramme sind stets gerichtet und können auch mit Hilfe von Übergangstabellen (Output-Input-Tabellen) dargestellt werden. Merkregel: In diesen Übergangstabellen wird der Output zeilenweise und der Input spaltenweise gelesen. Es ist sinnvoll mit der Bezeichnung der Übergangstabellen die Konkordanz zu der Matrixnotation herzustellen, denn Übergangstabellen sind eigentlich nicht anderes als Matrizen. Für das obige zweistufige Verflechtungsdiagramm ergeben sich dann folgende Übergangstabellen: RZ: Z 1 Z 2 Z 3 R R R R ZE: E 1 E 2 Z Z Z B.1 Berechnen Sie die Rohstoffmengen, die für diesen Auftrag benötigt werden. Mathematisch können die Menge an ME für den Übergang Rohstoff- Zwischenprodukte in der Matrix RZ (Kurzfassung der Übergangstabelle RZ) und für den Übergang Zwischenprodukte-Endprodukte in der Matrix ZE (Übergangstabelle ZE) erfasst werden: 24
4 ME RZ = ME ZE = 2 1 ME RE = Die Mengen für den direkten Übergang, wie in der Aufgabe gefordert, liefert die Matrix RE, die sich als Produkt der beiden Matrizen berechnen lässt: (4.2) RE = RZ ZE Aus RE ist abzulesen, dass für die Herstellung von E 1 es 18 ME von R 1, 58 ME von E 2, 32 ME von R 3 und 31 ME von R 4 benötigt werden. B.2 Welche Mengen R ur an Rohstoffen und welche Mengen Z ur an Zwischenprodukten sind notwendig, wenn 25 ME von E 1 und 40 ME von E 2 bestellt wurden? r 25 Der Produktionsvektor lautet: x = 40 ME, dann ist (4.3) R ur = RE x r bzw. Z ur = ZE x r ; 1210 ur 3610 R = ME bzw ur Z = 90 ME 275 Es werden 1210 ME von R 1, 3610 ME von R 2 usw. bzw. 235 ME vom Zwischenprodukt Z 1, 90 ME von Z 2 usw. B.3 Berechnen Sie die variablen Kosten für den Auftrag VAK, wenn die Kosten KR je ME für Rohstoffe, die Kosten (Herstellungskosten) KZ je ME für die Zwischenprodukte und die die Kosten (Herstellungskosten) KE je ME für die Endprodukte festgelegt sind: = ( ) ; K R = ( ) ; KZ KE = ( ) Die Auftragskosten für Rohstoffe AKR = KR R ur = Die Auftragskosten für die Zwischenprodukte AKZ = KZ Z ur = Die Auftragskosten für die Endprodukte AKE = KE x r = VAK = AKR + AKZ + AKE =
5 B.4 Berechnen Sie die Gesamten Auftragkosten GAK, wenn die Fixkosten als 0,1 der variablen Kosten anzusetzen sind. Berechnen Sie den resultieren Mengenpreis der Endprodukte, wenn der Mengenpreis P 1 des erstes Endproduktes das 1,2 des zweiten Endproduktes P 2 sein soll. GAK = VAK + 0,1 VAK = 1,1 VAK = GAK = 25 1,2 P P 2 ; P 2 = 771,62 ; P 1 = 925,94 A.5.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 1 3 r x r 2 Es sei A = ; x= ; b= 2 4 y 5 Die Matrixgleichung r r A x = b liefert ausgeschrieben folgendes LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannte: x + 3y = 2 2x 4y = 5 Die einzelnen Gleichungen des LGS können als Geraden in der Ebene Q x Q gedeutet werden und die Lösung des LGS als die Koordinaten (x 1 y 1 ) des Schnittpunktes der beiden Geraden. Es gibt zwei Lösungsalgorithmen für LGS: Der Gauß-Algorithmus Die Cramer-Regel Der Gauß-Algorithmus Die erweiterte Matrix Ab = 2 4 5, bestehend aus der Koeffizienten Matrix A und die 1-Spaltenmatrix des freien Gliedes, wird mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in die Diagonalform, d.h. nur die Elemente auf der Diagonale sind ungleich Null, gebracht. Äquivalenzumformung: Wenn einer Zeile einer Erweiterungsmatrix eines LGS das Vielfache einer anderen Zeile addiert wird, dann ändern sich die Lösungen des LGS nicht. 26
6 Die Ab Matrix wird in Diagonalform gebracht und danach gibt es einfach die Lösungen: Ab , x = 0,7; y = 0,9 Die Cramer-Regel Einer quadratischen Matrix A wird mit Hilfe der entsprechenden Determinante Det(A) eine Maßzahl zugeordnet. Wenn die Matrix eine 2x2 Matrix ist wie die Koeffizienten Matrix A aus dem obigen Beispiel, dann ist Berechnung ihrer Determinante recht einfach: Det(A) = Das Produkt auf der Hauptdiagonale das Produkt auf der Nebendiagonale 1 3 Det(A) = = 1 ( 4) 2 3 = Mit der Cramer-Regel werden die Lösungen eines LGS sofort berechnet gemäß der Formeln: Det(x) Det(y) (4.4) x = ; y = Det(A) Det(A) x = = = 0, Allgemein gilt für die Cramer-Regel: i (4.4a) x = i= { 1;2;3;... } i Det(x ) Det(A) y = = = 0, A5 Übungen (5.Ü) 5.Ü.1.1 Wandeln Sie folgende Matrizen in ihre Transponierten um: A = ; B= ( ) 5.Ü.2.1 Führen Sie folgende Operationen mit Matrizen bzw. Vektoren durch: ; ( ) 5.Ü.3.1 Multiplizieren die Matrizen A und B zunächst A B und danach B A 27
7 5.Ü = T A ; B= Berechnen Sie für folgende Matrizen jewils die Inverse Matrix: 5.Ü Ü.6.0 Berechnen Sie folgende Determinanten: Det(A) = Det(B)= Det(C)= R 1 und R 2 sind die wesentlichen Rohstoffe, die das Werk eines Unternehmens wöchentlich für seine Produktion benötigt. Die Übergangstabelle WR lautet (Angaben in ME) : WR R 1 R 2 Woche Woche Woche Woche Diese Rohstoffe werden direkt ans Werk von vier verschiedenen Lieferanten zu annähernd gleichen Kosten geliefert. Die Übergangstabelle RK in GE lautet: RK K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 8,5 8,7 8,4 8,6 R 2 25, Ü Ü.7.0 Welcher Lieferant ist über ein ganzes Monat günstiger? Hinweis: Multiplizieren Sie die Matrizen WR RK Aus zwei verschiedenen Rohstoffen R 1 und R 2 werden 3 verschiedene Zwischenprodukte Z 1, Z 2 und Z 3 erzeugt. Die benötigten Mengen an Rohstoffen pro Mengeneinheit Zwischenprodukt werden in ME (Mengeneinheiten) angegeben. Die entsprechende Übergangstabelle RZ lautet: RZ Z 1 Z 2 Z 3 R R
8 5.Ü.7.1 Berechnen Sie die benötigten Mengen an Rohstoffe R ur, die für die Produktion von T Z ur = ( ) ME Zwischenprodukte geordert werden müssen. Ergebnis: R = ( ) ME 5.Ü.7.2 Aus den Zwischenprodukten Z 1, Z 2 und Z 3 sollen 4 verschiedene Endprodukte E 1, E 2, E 3 und E 4 hergestellt werden. Die Übergangstabelle ZE ist in ME angegeben. ZE E 1 E 2 E 3 E 4 Z Z Z Berechnen Sie die Mengen an Rohstoffen, die für die jeweilige ME an Endprodukten notwendig sind. Welche Mengen an Rohstoffen R ur sind für eine 5.Ü.7.3 Produktion von E = ( ) ME Endprodukten notwendig? Berechnen Sie den Verkaufsertrag VE der obigen Produktion E, wenn der Preisvektor je Endprodukteinheit lautet: P = (26,89 44,99 32,79 12,69 ) 5.Ü.8.0 Eine Großkonditorei erreicht am Wochenende ein dringender Auftrag für Sonntag drei verschiedene Torten E 1, E 2 und E 3 zu Backen, und zwar 12 Stück der Sorte E 1, 18 Stück vom Typ E 2 und 25 Stück vom Typ E 3. ( E =( ) Dafür ist es notwendig aus den vier Zutaten R1, R2, R3 und R4, d.h. Ei, Mehl, Butter, und Zucker, zwei verschiedene Teige und zwei verschiedene Cremes herzustellen, d.h. die Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z 3 und Z 4. Die ME für Eier ist Stück für Mehl, Butter und Zucker sind 100g. Den Materialbedarf in Mengeneinheiten ME zeigen folgende Übergangstabellen: RZ Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 R R R R Die ME für die Zwischenprodukte sind auch jeweils 100g. 29
9 5.Ü.8.1 ZE E 1 E 2 E 3 Z Z Z Z Berechnen Sie die Matrix RE, d.h. die Mengen an Eier, Mehl, Butter und Zucker, die jeweils für jede der 3 Tortensorten benötigt werden. 5.Ü.8.2 Berechnen Sie die Mengen an Zutaten R ur, die benötigt werden. 5.Ü Ü Ü.9.1 Es wird der Lagervorrat an Zutaten mit folgendem Ergebnis überprüft, d.h. der Lagervektor lautet: ur = ( ) T L Leider reicht der Lagervorrat an Eiern nicht aus. Es wird Entschieden mit dem vorhandenen Eiern zu backen und nur die Anzahl an Torten vom Typ E3 zu reduzieren. Berechnen Sie wie viele Torten E 3 gebacken werden können. Lösen Sie folgende LGS: a) 2x + 3y = 4 b) 2x + y = 3 c) 1,5x 3y = 2 3x 5y = 2 4x + 3y = 1 2x + 4y = 3 5.Ü.10.1 Eine zweiziffrige Zahl ist viermal so groß wie ihre Quersumme. Vertauscht man ihre Ziffern und addiert die dadurch entstehende neue Zahl zu der ursprünglichen Zahl, so erhält man 132. Wie heißt die ursprüngliche Zahl? 5.Ü.11.1 Jemand stellt einen Arbeiter für 30 Tage an. Wenn er arbeitet, bekommt er 7 Pfennig am Tag; wenn er nicht arbeitet, muss er 5 Pfennig am Tag bezahlen. Nach 30 Tagen ist keiner dem anderen etwas schuldig. Wie viele Tage hat der Arbeiter gearbeitet und wie viele frei gehabt? (Adam Ries, 16. Jh.) Ergebnis: 12,5 Arbeitstage und 17,5 Freitage 5.Ü.12.1 Ein Hotel verfügt über 455 Betten in 290 Ein- bzw. Zweibettzimmern. Wie viele Einzelzimmer und wie viele Doppelzimmer sind vorhanden? 5.Ü.13.1 Lösen Sie folgende LGS: a) x y + 8z = 25 b) 5x y + 2z = 20 6x + 7y + 8z = 4 2x + 6y + 2z = 2 x + 7y 9z = 40 4x +2y 8z = 2 30
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