Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg. Mathematik 4 Arbeitsblatt A 4-4 Winkelfunktionen. LehrerInnenteam m/ Mag. Wolfgang Schmid.

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1 Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Mathematik 4 Arbeitsblatt A 4-4 Winkelfunktionen LehrerInnenteam m/ Mag. Wolfgang Schmid Unterlagen Um die Größe eines Winkels anzugeben gibt es verschiedenee Maßeinheiten. Eines davon ist ihnen bereits bekannt: Definition: 1 Grad ist ein Neunzigstel eines rechten Winkels. 1 1 des rechten Winkels. 90 Auch 1 Grad will aber weiter unterteilt. sein. 1 Grad besteht aus 60 Winkelminuten. Man schreibt die: Eine Winkelminute besteht aus 60 Winkelsekunden. Man schreibt dies: Es gilt also: Dieses traditionelle Winkelmaß hat einen Nachteil, es wird nicht mit der Zahl 10 umgerechnet, folglich ist es nicht direkt übertragbar in unser dekadisches Zahlensystem (Dies beruht ja auf die Umrechnungszahl 10. Wir müssen also folglich stets zwischen diesen Winkelangaben und der dezimalen Winkelangabe umrechnen: Beispiel: Gib als Dezimalzahl an ' 15, 16 Winkelmaße 1) (Alt)Grad Da wir 15 ganze Grad haben muss die Zahl also 15,... lauten. Damit wir die Dezimalstellen bestimmen, müssen wir die 10 in eine Dezimalzahl umrechnen. Da ein ganzes Grad 60 Winkelminuten entspricht, müssen 10 also 10 gleich eines Grades entsprechen. 60 Wir müssen also die Winkelminuten durch 60 dividieren: 10 : 60 0, 16 Wenn wir nun die 15 dazugeben können wir die Lösung angeben: 1

2 Natürlich will man aber öfters auch den umgekehrten Weg gehen. Man hat einen Winkel in dezimaler Schreibweise gegeben und will ihn in Winkelminuten angeben. Beispiel: Gib den Winkel 5,4 in den Winkeleinheiten an: Wir können die 5,4 zerlegen in 5 + 0,4. Wir sehen also, dass 5 in dieser Dezimalzahl enthalten sind. Nun müssen wir untersuchen, wie viele Winkelminuten in den 0,4 enthalten sind. Da ein Grad aus 60 Winkelminuten besteht, müssen wir also folglich mit 60 multiplizieren, um die Grad in Winkelminuten umzuwandeln: 0, , 4' Die 14,4 können wir wieder zerlegen in ,4. Wir erkennen also, dass zu unseren 5 14 dazugekommen sind. Nun können wir noch untersuchen, wie viele Winkelsekunden in den 0,4 enthalten sind. Um die Winkelminuten in Winkelsekunden umzurechnen müssen wir wieder mit 60 multiplizieren: 0, 4' 60 4'' Wir bekommen also noch 60 zu unseren 5 14 dazu. Das Ergebnis l lautet also: 5, ' 4' ' )Neugrad Dies ist nun ein anderes Winkelmaß. Wie oben beschrieben, haben die Altgrad den Nachteil, dass sie nicht auf unserem 10er-System beruhen. Folglich hat man ein neues Winkelmaß geschaffen, welches eben auf diesem 10er-System beruht, eben die Neugrad. Definition: Ein Neugrad ist der 100ste Teil eines rechten Winkels. g des rechten Winkels. (sprich: 1 Gon) Auch hier gibt es kleinere Winkeleinheiten, wobei aber die Umrechnungszahl g c nun stets 100 ist. Ein Neugrad besteht aus 100 Neuminuten (Schreib: ). c cc Eine Neuminute besteht wieder aus 100 Neusekunden (Schreib: ). Praktisch angewandt wird diese Winkelangabe im Vermessungswesen und in manchen Teilgebieten der Physik. In der Mathematik hingegen ist die traditionelle Angabe in Altgrad üblich. Sie sollten also lediglich wissen, dass es diese Winkelangabe gibt, rechnen werden wir nicht mit dem Neugrad.

3 3) Das Bogenmaß Dies ist nun wieder eine für die Mathematik wichtige Winkelangabe, da sie bei manchen Aufgabenstellungen praktischer als die Altgrad ist. Zunächst erklären wir einmal auf welche Idee das Winkelmaß beruht: Wir nehmen uns einmal zwei Schenkel, die einen beliebigen Winkel bilden. Nun legen wir genau in das Zentrum des Winkels einen Kreis mit dem Radius r 1. Diesen Kreis nennt man den so genannten Einheitskreis (Ein Begriff, den sie alle behalten sollten. Definition: Einen Kreis mit dem Radius 1 nennt man einen Einheitskreis. r1 B A Dieser Kreis schneidet nun die beiden Schenkel in zwei Punkten (A und B in der Zeichnung beschriftet). Zu jedem Winkel ergibt sich nun genau eine bestimmte Länge des Kreisbogens zwischen diesen beiden Schnittpunkten. Die Länge des Kreisbogens ist dabei für jeden Winkel unterschiedlich groß und eindeutig. Damit ist also die Länge dieses Kreisbogens als Winkelmaß geeignet und man nennt es das Bogenmaß. Die Einheit dafür ist 1rad. Dies entspricht einem Winkel, dessen Kreisbogen genau 1 lang ist (Würde in etwa 57,3 entsprechen). Definition: 1 rad ist die Länge eines Kreisbogens eines Kreissektors mit Radius r 1. 3

4 Umrechnung zwischen Grad und rad. Beispiel: Gib 35,4 im Bogenmaß an. Wenn wir diesen Winkel im Bogenmaß angeben wollen, müssen wir in Wirklichkeit nur ausrechnen, wie Lange der Kreisbogen sein würde, wenn wir um das Zentrum dieses Winkels einen Kreis mit Radius r 1 (Einheitskreis) legen würden. Wie man die Länge eines Kreisbogens berechnet ist uns aber bereits aus dem. Semester bekannt (wenn nicht, bitte nachschlagen): π α b r 180 Für r können wir aber nun 1 einsetzen (Da wir immer am Einheitskreis rechnen) und der Winkel α ist laut Angabe 35,4. r π α 1 π 35, 4 b 0, Die Länge dieses Kreisbogens beträgt also genau 0,6. Dies ist aber genau die Winkelangabe im Bogenmaß. Wir erhalten also: 35, 4 0, 6rad Nun müssen wir noch wissen, wie man vom Bogenmaß in Grad umrechnet. Beispiel: Rechne,3rad in Grad um. Dass der Winkel,3rad groß ist, bedeutet ja nur, dass die Länge des Kreisbogens am Einheitskreis (r 1) also,3 lang ist. Wir müssen uns also nur den dazugehörigen Winkel α ausrechnen. Wir nehmen also wieder unsere Formel zur Berechnung des Kreisbogens. π α b r 180 Nun wissen wir, dass b,3 ist. Der Radius muss wiederum 1 sein. Wir setzen also ein: 1 π α, Wir formen nach α um: 1 π 3 α, / π α /: π 414 α 131, 78 π Es gilt also:, 3rad 131, 78 4

5 FESTLEGEN VON WINKELN DURCH RECHTWINKELIGE DREIECKE Wir denken uns zunächst einmal einen Winkel beliebiger Größe: α Im Zentrum diese Winkels zeichnen wir nun wieder unseren Einheitskreis (r 1)ein: r1 α Nun können wir um die Schnittpunkte zwischen Kreis und Winkelschenkel ein rechtwinkeliges Dreieck herauszeichnen: Dieses rechtwinkelige Dreieck( Vom Eckpunkt A zum Eckpunkt E und zu D), welches sich am Einheitskreis bildet interessiert uns nun. Wenn wir die Größe des Winkels α verändern, verändert sich auch die Größe der senkrechten Kathete von E nach D. Es folgt daraus, dass jedem Winkel α also genau eine solche senkrechte Länge zugeordnet werden kann. Diese Länge bezeichnet man nun also den Sinus von α (Schreib: sin α ). 5

6 Definition: Jene Länge, welche durch einen Winkel α am Einheitskreis als senkrechte Kathete gebildet wird nennt man den Sinus von α. Genau dasselbe können wir aber auch für die waagrechte Kathete (Geht von A nach E) feststellen. Verändern wir den Winkel α, so ändert sich auch die Länge dieser Strecke. Folglich ist auch diese geeignet zur Festlegung eines Winkels geeignet. Man bezeichnet diese Strecke als Cosinus von α (Schreib: cos α ). Definition: Jene Länge, welche durch einen Winkel α am Einheitskreis als waagrechte Kathete gebildet wird nennt man den Cosinus von α. Noch eine Folgerung können wir aus der Definition von Sinus und Cosinus ableiten Da dies beide Längen innerhalb des Einheitskreises sind, können also sowohl sin α als auch cos α nie größer als 1 werden. Merke: sin α und cos α sind stets kleiner gleich 1. Eine Winkelfunktion, welche wir benötigen, fehlt uns nun noch. Da diese an einem anderen rechtwinkeligen Dreieck festgelegt ist, sehen wir uns deren Definition am Einheitskreis genauer an: Wir bilden nun ein rechtwinkeliges Dreieck (Eckpunkte A, B, D), indem wir vom unteren Schnittpunkt zwischen Schenkel und Einheitskreis im rechten Winkel nach oben gehen. Wir bilden das rechtwinkelige Dreieck also nun außerhalb des Einheitskreises. Aber auch hier gilt: Verändert man den Winkel α, so verändert sich auch die Länge der Strecke zwischen B und C. Diese Länge ist also ebenfalls typisch und eindeutig für jeden Winkel. Man bezeichnet diese Länge als den Tangens von α (Schreib: tan α ). Definition: Jene Länge, welche durch einen Winkel α außen am Einheitskreis als senkrechte Kathete gebildet wird nennt man den Tangens von α. Wichtig erscheint mir, dass sie sich also Folgendes bewusst sind. 6

7 Merke: Zu jedem Winkel α gibt es genau eine bestimmte Länge namens Sinus α, genau eine Länge namens Cosinus α und eine Länge namens Tangens α. Da der Tangens außerhalb des Einheitskreises gebildet wird, kann dieser größer als 1 werden. (Überlegen Sie sich dies!!) Merke: Der Tangens eines Winkels kann beliebig groß sein. Satz: Da es sich sowohl beim Sinus als auch bei Cosinus und Tangens eines Winkels um eine Zuordnung handelt, welche einem Winkel genau eine bestimmte Länge zuordnen, handelt es sich also um Funktionen. Man nennt Sinus, Cosinus und Tangens Winkelfunktionen. Nun stellt sich natürlich die einfache Frage: Wie rechnen wir mit diesen Winkelfunktionen? Da Sie die besprochenen Winkelfunktionen am Taschenrechner zur Verfügung haben, ist das konkrete Ausrechnen heutzutage kein Problem mehr. Beispiel: Ermittle am Taschenrechner den Wert der 1) Sinusfunktion ) Cosinusfunktion und 3) Tangensfunktion des Winkels α 3, 1. 1) Wir wollen also den Sinus von 3, 1 berechnen. Man schreibt dies folgendermaßen: sin 3,1 Das Berechnen selbst übernimmt der Taschenrechner für Sie: Geben Sie nur 3,1 ein und drücken danach die Taste SIN. Das Ergebnis erscheint sofort (Ohne Drücken der Taste ). Wir erhalten: sin 3, 1 0, 397 Anmerkung: Machen Sie sich bitte unbedingt bewusst, was sie eigentlich jetzt berechnet haben. ) Wir müssen nun lediglich 3,1 und dann COS drücken. Wir erhalten: cos 3, 1 0, 9197 Anmerkung: Machen Sie sich bitte unbedingt bewusst, was sie eigentlich jetzt berechnet haben. 3) Wir müssen nun 3,1 und dann TAN drücken und erhalten: tan 3, 1 0, 469 Anmerkung: Machen Sie sich bitte unbedingt bewusst, was sie eigentlich jetzt berechnet haben. 7

8 Natürlich kann man auch den umgekehrten Weg gehen. Man kennt zum Beispiel die Sinuslänge eines bestimmten Winkels und will den Winkel wissen. Man geht also den umgekehrten Weg. Wir benötigen dazu also eine Funktion die genau umgekehrt zur Funktion Sinus (Berechnet aus gegebenem Winkel die Sinuslänge) aus gegebener Sinuslänge den Winkel berechnet. Man nennt diese Umkehrfunktionen die sogenannten Arkusfunktionen. Die Umkehrfunktion zum Sinus heißt Arkussinus (Schreib: arcsin ), zu Cosinus Arkuscosinus (Schreib: arccos ) und zum Tangens Arkustangens (Schreib: arctan ). Definition: Die Umkehrfunktionen zu den Winkelfunktionen heißen Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens). Gehen wir dies an einem praktischen Beispiel durch: Beispiel: Gib jenen Winkel an, für den gilt, dass sin β 0, 3. Die Angabe bedeutet nichts anderes, als dass uns bekannt ist, dass die Sinuslänge eines Winkels 0,3 lang ist und wir daraus den Winkel berechnen müssen. Wir benötigen also die Umkehrfunktion für den Sinus, den Arkussinus und schreiben: sin β 0,3 β arcsin0,3 Das praktische Ausrechnen des Wertes übernimmt wieder der Taschenrechner für uns, wobei aber die Beschriftung etwas anders ist. 1 Die Umkehrfunktion zum Sinus ist wahrscheinlich mit sin beschriftet und befindet sich als zweite Funktion auf der Sinustaste. Bei den Umkehrfunktionen zu Cosinus und Tangens ist es entsprechend. Wir geben also Folgendes in den TR ein: 0,3. Drücken nun die Taste nd und nun Sin und erhalten das Ergebnis: β 18, 66 8

9 AUFLÖSUNG DES RECHTWINKELIGEN DREIECKS Wir haben zwar jetzt bereits die Winkelfunktionen kennen gelernt, haben aber bisher theoretisch immer nur an rechtwinkeligen Dreiecken gearbeitet, welche am Einheitskreis gebildet wurde. Wie wir nun sehen werden, lassen sich aber die Winkelfunktionen leicht auf beliebig große rechtwinkelige Dreiecke anwenden. Zunächst noch einmal eine Benennung zur Wiederholung: Hypotenuse Kathete Kathete Merke: Bei einem rechtwinkeligen Dreieck nennt man jene beiden Seiten, welche einen rechten Winkel bilden Katheten, jene dritte und längste Seite, welche nicht den rechten Winkel bildet die Hypotenuse. Wir werden nun dieses rechtwinkelige Dreieck immer von einem bestimmten Winkel aus betrachten. Von diesem Gesichtspunkt aus unterscheidet man auch noch zwischen den beiden Katheten: Hypotenuse α Ankathete Wir betrachten das obige rechtwinkelige Dreieck vom Winkel α aus. Es gibt nun eine Kathete, welche ein Schenkel des Winkels α ist, diese nennt man die Ankathete, und eine Kathete, welche kein Schenkel des Winkels α ist (die also dem Winkel gegenüber liegt), diese nennt man die. Definition: Jene Kathete, welche Schenkel zu einem gegebenen Winkel ist, nennt man die Ankathete. Jene Kathete, welche kein Schenkel des gegebenen Winkels ist, nennt man. 9

10 Beachten Sie bitte, dass man also nicht allgemein sagen kann, was die und was die Ankathete ist, da dies immer abhängt, von welchem Winkel aus wir dies betrachten. So, nach dieser Definition, überlegen wir uns nun, wie wir die Längen sin α, cos α und tan α bei einem gegebenen Winkel α berechnen können. Wir nehmen dazu ein beliebig großes rechtwinkeliges Dreieck an und bezeichnen die Seiten nur mit AK für Ankathete, GK für und HYP für Hypotenuse. Zunächst einmal wollen wir den Sinus des Winkels α berechnen. Dazu zeichnen wir im Zentrum des Dreiecks den Einheitskreis ein und bilden unser rechtwinkeliges Dreieck (A, F, E benannt), an dem ja die Länge sin α definiert ist. sin α Wir erhalten nun zwei ähnliche Dreiecke (d.h. die Winkel in den beiden Dreiecken sind gleich groß). In ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis entsprechender Seiten aber stets gleich (Wer sich daran nicht mehr erinnert, bitte in den alten Unterlagen nachsehen), d.h. wenn wir zwei Seiten des einen Dreiecks durchdividieren und die entsprechenden Seiten des anderen Dreiecks durchdividieren erhalten wir gekürzt denselben Bruch. Bei uns ist nun das Dreieck ABC ähnlich dem Dreieck AFE. Ich wähle nun bei dem Dreieck AFE die Seiten sin α und r( 1, da Einheitskreis). Die zu sin α entsprechende Seite des Dreiecks ABC ist die GK. Die zu r entsprechende Seite ist die Hypotenuse HYP. Nun dividieren wir jeweils die Seiten und erhalten: sinα 1 Hypotenuse 10

11 Da sinα sin α erhalten wir: 1 sin α Hypotenuse Damit haben wir eine Formel, mit der wir bei gegebenen zwei der drei Größen an beliebigen rechtwinkeligen Dreiecken rechnen können. Satz: Der Sinus eines Winkels ergibt sich bei einem rechtwinkeligen Dreieck aus dem Verhältnis von und Hypotenuse. sin α Hypotenuse Dies ist bitte auswendig zu lernen!!!!!! Dasselbe können wir nun für die Berechnung der Cosinuslänge eines Winkels durchführen. Wir zeichnen wieder unsere Dreiecke: cos α Auch hier sind die Dreiecke ABC und AFE wieder ähnlich. Wir verwenden diesmal vom Dreieck AFE die Seiten r(1) und cos α. Im Dreieck ABC entspricht der Seite r die Hypotenuse HYP und der Seite cos α die Ankathete AK. Wir dividieren wieder die entsprechenden Seiten: cosα Ankathete 1 Hypotenuse Wir erhalten also: Ankathete cos α Hypotenuse Satz: Der Cosinus eines Winkels ergibt sich bei einem rechtwinkeligen Dreieck aus dem Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse. Ankathete cos α Hypotenuse Dies ist bitte auswendig zu lernen!!!!!! Als Letztes führen wir unsere Überlegung noch für den Tangens durch. Wir machen wieder folgende Skizze (Beachten Sie, dass das rechtwinkelige Dreieck nun natürlich außen am Einheitskreis gebildet wird. 11

12 tan α Auch hier sind die Dreiecke ABC und AFE wieder ähnlich. Wir wählen vom Dreieck AFE die Seiten r (1) und tan α. Der Seite r entspricht im Dreieck ABC die Ankathete. Der Seite tan α entspricht die. Wir dividieren wieder die entsprechenden Seiten: tanα 1 Ankathete Wir erhalten also: tan α Ankathete Satz: Der Tangens eines Winkels ergibt sich bei einem rechtwinkeligen Dreieck aus dem Verhältnis von und Ankathete. tan α Ankathete Dies ist bitte auswendig zu lernen!!!!!! 1

13 So, nun sehen wir uns aber nach derartig viel Theorie an, wie man mit diesen Winkelfunktionen wirklich rechnet. Dazu sei zu den Aufgaben in ihrem Lehrbuch Folgendes gesagt: Wenn nicht ausdrücklich anderes gesagt wird befindet sich der rechte Winkel stets beim Eckpunkt C, d.h γ 90. Beispiel: Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man c 110, 6 und α 35, 4. Berechne die Seiten a und b, den Winkel β und den Flächeninhalt. Wir fertigen uns zunächst eine Skizze an und tragen uns die bekannten Größen ein (Tragen Sie diese daheim eventuell mit Farbstift ein): Als Erstes möchten wir die Seite a berechnen. Bekannt ist uns der Winkel α. Von diesem aus betrachtet ist die Seite a die. Bekannt ist noch die Seite c, welches die Hypotenuse ist. Wir müssen uns nun also überlegen, welche Winkelfunktion mit und Hypotenuse rechnet. Dies ist der Sinus. Wir setzen also in die Definition ein: a sin α Hypothenuse c Wir setzen nun unsere bekannten Zahlenwerte ein: a sin35, 4 110, 6 Die Seite a lässt sich also nun berechnen: a sin35, 4 / 110, 6 110, 6 a 110, 6 sin 35, 4 Wir tippen dies mit dem TR aus und erhalten: a 64,07 Da wir nun auch die Seite a haben, können wir die Seite b aus dem pythagoräischen Lehrsatz berechnen: b c a b 110, 6 64, 07 90, 15 Genauso gut hätten wir aber b auch mittels der Winkelfunktionen berechnen können. Von α aus ist b die Ankathete, c die Hypotenuse. Ankathete und Hypotenuse werden vom Cosinus benötigt. Es gilt also: cos α Ankathete b Hypotenuse c Wir setzen die bekannten Werte ein: b cos35, 4 / 110, 6 110, 6 b 110, 6 cos 35, 4 90, Auf welche der beiden Arten Sie rechnen ist natürlich völlig egal (Sie hätten auch noch mit dem Tangens arbeiten können).

14 Nun benötigen wir noch den Winkel β. Da wir bereits alle Seiten des Dreiecks kennen ist es egal mit welcher Winkelfunktion wir arbeiten. Ich wähle diesmal den Tangens. Der Tangens ist folgendermaßen definiert: tan β Ankathete Von β aus betrachtet ist die Seite a die Ankathete, b die. Wir setzen also entsprechend ein: b tan β a Wir setzen unsere bekannten Werte ein: 90, 15 tan β 64, 07 Nun haben wir wieder den Fall, dass die Tangenslänge bekannt ist 90, 15 (Ergibt sich als Ergebnis der Division ), wir aber den dazugehörigen 64, 07 Winkel β benötigen. Wir verwenden also die Umkehrfunktion arctan. 90, 15 β arctan 64, 07 Wir tippen dies mit dem TR aus und erhalten: β 54, 6 Die Fläche ist nun eine Einsetzübung: a b A 887, 96 Noch ein weiteres Beispiel sei angeführt: Beispiel: Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man: b 10 β 9, 87. Berechne die Seiten a und c, den Winkel α und den Flächeninhalt. Wir fertigen wieder eine Skizze an und tragen bekannte Größen ein: 14

15 Beginnen wir mit der Berechnung der Seite c. Vom Winkel β, welcher uns bekannt ist, ist die Seite b, welche ebenfalls bekannt ist, die, die Seite c die Hypotenuse. und Hypotenuse verwendet der Sinus. Wir setzen also ein: b sin β Hypotenuse c Wir setzen bekannte Zahlenwerte ein: 10 sin 9, 87 c Wir formen nach c um: 10 sin 9, 87 / c c c sin 9, / :sin 9, c 40, 95 sin 9, 87 Die Seite a berechnen wir mittels des Pythagoras: a c b 08, 94 Anmerkung: man hätte natürlich auch eine Winkelfunktion verwenden können. Für die Berechnung des Winkels α verwende ich den Sinus (Da alle Seiten bekannt sind, könnte man jede Winkelfunktion verwenden). Laut Definition gilt: sin α Hypothenuse Von α aus ist a die und c die Hypotenuse. a sin α c Wir setzen die bekannten Zahlenwerte ein: 08, 94 sin α 40, 95 Wir benötigen wieder die Umkehrfunktion: 08, 94 α arcsin 60, 13 40, 95 Für die Fläche setzen wir ein: a b A 1536, 4 15

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