Didaktik der Geometrie

Transkript

1 Didaktik der Geometrie 7.1 Didaktik der Geometrie

2 Didaktik der Geometrie 7.2 Inhalte Didaktik der Geometrie 1 Ziele und Inhalte 2 Begriffsbildung 3 Konstruieren 4 Argumentieren und Beweisen 5 Problemlösen 6 Entdeckendes Lernen 7 Trigonometrie

3 Didaktik der Geometrie 7.3 Didaktik der Geometrie Kapitel 7: Trigonometrie

4 Didaktik der Geometrie 7.4 Inhaltsverzeichnis Kapitel 7: Trigonometrie 7.1 Seitenverhältnisse und Winkel im rechtwinkligen Dreieck 7.2 Winkel im Einheitskreis 7.3 Sinussatz, Kosinussatz und Additionstheoreme 7.4 Trigonometrische Funktionen 7.5 Angewandte Trigonometrie

5 Didaktik der Geometrie 7.5 Kapitel 7: Trigonometrie 7.1 Seitenverhältnisse und Winkel im rechtwinkligen Dreieck

6 Didaktik der Geometrie 7.6 Drehleiter

7 Didaktik der Geometrie 7.7 Benutzungsfeldanzeige Freynik: DLK Vario CC Fa. Magirus

8 Didaktik der Geometrie 7.8 Benutzungsfeldanzeige Freynik: DLK Vario CC Fa. Magirus

9 Didaktik der Geometrie 7.9 Benutzungsfeldanzeige Freynik: DLK Vario CC Fa. Magirushttp://

10 Didaktik der Geometrie 7.10 Benutzungsfeldanzeige Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 111

11 Didaktik der Geometrie 7.11 Steigung

12 Didaktik der Geometrie 7.12 Steigung

13 Didaktik der Geometrie 7.13 Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

14 Didaktik der Geometrie 7.14 Einführung des Sinus im Schulbuch Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 110

15 Didaktik der Geometrie 7.15 Einführung des Sinus im Schulbuch Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 110

16 Didaktik der Geometrie 7.16 Besondere Sinusund Kosinuswerte

17 Didaktik der Geometrie 7.17 Besondere Sinusund Kosinuswerte

18 Didaktik der Geometrie 7.18 Besondere Sinus- & Kosinuswerte

19 Didaktik der Geometrie 7.19 Besondere Sinusund Kosinuswerte

20 Besondere Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte Didaktik der Geometrie α im Gradmaß α im Bogenmaß 0 π π π π sin α Merkhilfe für sin α cos α tan α nicht definiert

21 Didaktik der Geometrie 7.21 Steigung g: x m x + t t: Schnittstelle Graph y-achse (Achsenabschnitt) m: Steigung des Graphen y P 1 (x 1 y 1 ) und P 2 (x 2 y 2 ) G g g Es gilt: y 2 P y 2 (x 2 y 2 ) m x y2 y1 x2 x1 α Gegenkathete y 1 Ankathete P 1 (x 1 y 1 ) tan t α x 1 x 2 x

22 Didaktik der Geometrie 7.22 Kapitel 7: Trigonometrie 7.2 Winkel im Einheitskreis

23 Winkelfunktionen am Einheitskreis Didaktik der Geometrie < α < 90 bzw. 0 < α < π 2 90 < α < 180 bzw. π 2 < α < π

24 Winkelfunktionen am Einheitskreis Didaktik der Geometrie < α < 270 bzw. π < α < 3 2 π 270 < α < 360 bzw. 3 π < α < 2π 2

25 Winkelfunktionen am Einheitskreis Didaktik der Geometrie 7.25 Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für jeden Winkel : (sin ) 2 + (cos ) 2 = 1

26 Didaktik der Geometrie 7.26 Kapitel 7: Trigonometrie 7.3 Sinussatz, Kosinussatz und Additionstheoreme

27 Vermessung Dreiecksberechnung Didaktik der Geometrie 7.27 Vermessung des Königreichs Hannover

28 Didaktik der Geometrie 7.28 Berechnung im allgemeinen Dreieck Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 142

29 Didaktik der Geometrie 7.29 Sinussatz In Dreiecken verhalten sich die Seitenlängen wie die Sinuswerte der Gegenwinkel. a: b: c = sin α : sin β : sin(γ) bzw. In Dreiecken ist der Quotient aus Seitenläge und Sinuswert des Gegenwinkels konstant. a sin α = b sin β = c sin γ

30 Didaktik der Geometrie 7.30 Sinussatz Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 143 a Bedeutung von : sin Da der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel ist, gilt: a 2 a sin r sin 2r Die Konstante Seitenlänge sin(gegenwinkel) ist der Durchmesser des Dreiecksumkreises.

31 Didaktik der Geometrie 7.31 Sinussatz Folgerungen Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 143 Ist s eine Sehne im Kreis mit Durchmesser d und φ ein zugehöriger Umfangswinkel, dann gilt: s = d sin(φ)

32 Didaktik der Geometrie 7.32 Sinussatz Folgerungen Für den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC gilt: A ΔABC = 1 2 a h a = 1 2 b h b = 1 2 c h c Wegen h c = b sin bzw. h c = b sin 180 = b sin und entsprechenden für h b bzw. h a folgt: A ΔABC = 1 2 ab sin γ = 1 2 ac sin β = 1 bc sin α 2 Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus zwei Seitenlängen und dem Sinus des Zwischenwinkels.

33 Didaktik der Geometrie 7.33 Vermessung Dreiecksberechnung Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S 134

34 Didaktik der Geometrie 7.34 Kosinussatz Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 145 Kosinussatz: In einem Dreieck ist das Quadrat einer Seite so groß wie die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt dieser Seiten und des Kosinus ihres Zwischenwinkels. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α Bemerkung Der Kosinussatz ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für γ = 90 geht die Gleichung c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ des Kosinussatzes in die Gleichung c 2 = a 2 + b 2 des Satzes des Pythagoras über.

35 Didaktik der Geometrie 7.35 Kosinussatz Beweis Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 145 Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für das schraffierte Dreieck:

36 Didaktik der Geometrie 7.36 Additionstheoreme sin α + β = sin α cos β + cos α sin β cos α + β = cos α cos β sin α sin β

37 Didaktik der Geometrie 7.37 Kapitel 7: Trigonometrie 7.4 Trigonometrische Funktionen

38 Didaktik der Geometrie 7.38 Bogenlänge und Bogenmaß

39 Didaktik der Geometrie 7.39 Abwicklung der Sinusfunktion

40 Didaktik der Geometrie 7.40 Abwicklung der Kosinusfunktion

41 Didaktik der Geometrie 7.41 Abwicklung der Tangensfunktion

42 Didaktik der Geometrie 7.42 Abwicklung der Winkelfunktionen

43 Didaktik der Geometrie 7.43 Funktionen des Typs a sin(b (x+c))+d

44 Didaktik der Geometrie 7.44 x sin x, x R Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 184

45 Didaktik der Geometrie 7.45 x sin x, x R Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 185

46 Didaktik der Geometrie 7.46 Sinusfunktion: Parameter und Graph Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 193

47 Didaktik der Geometrie 7.47 Sinusfunktion: Parameter und Graph Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 193

48 Didaktik der Geometrie 7.48 Sinusfunktion: Parameter und Graph Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 194f

49 Didaktik der Geometrie 7.49 x cos x, x R Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 186f

50 Didaktik der Geometrie 7.50 x cos x, x R Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 187

51 Didaktik der Geometrie 7.51 Funktionen des Typs a tan b x + c + d

52 Didaktik der Geometrie 7.52 x tan x, x R\{ 2k + 1 π/2 k Z Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 189

53 Didaktik der Geometrie 7.53 x tan x, x R\{ 2k + 1 π/2 k Z Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 190

54 Didaktik der Geometrie 7.54 x tan x, x R\{ 2k + 1 π/2 k Z Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 190

55 Didaktik der Geometrie 7.55 sin x, x und tan x für kleine x Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 192

56 Didaktik der Geometrie 7.56 Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen

57 Didaktik der Geometrie 7.57 Kapitel 7: Trigonometrie 7.5 Angewandte Trigonometrie

58 Didaktik der Geometrie 7.58 Schwingungen

59 Didaktik der Geometrie 7.59 Schwingungen

60 Didaktik der Geometrie 7.60 Schwingungen

61 Didaktik der Geometrie 7.61 Schwingungen

62 Didaktik der Geometrie 7.62 Vermessung

63 Jakobsstab Jürgen Roth Längsstab am Jochbein unter dem Auge ansetzen. Querstück so lange verschieben, bis dessen Enden den Horizont und den angepeilten Stern gerade überdecken. Die halbe Länge des Querstabes, dividiert durch die am Hauptstab abgelesene Länge, (Abstand vom Auge zum Querstab) ergibt den Tangens des halben gesuchten Winkels zwischen Horizont und Stern. Der Längsstab wird oft so skaliert, dass für eine bestimmte Querstablänge der Winkel direkt abgelesen werden kann. Didaktik der Geometrie 7.63

64 Didaktik der Geometrie 7.64 Jakobsstab Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 109

65 Didaktik der Geometrie 7.65 Jakobsstab Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 116

66 Didaktik der Geometrie 7.66 Jakobsstab Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 116

67 Didaktik der Geometrie 7.67 Jakobsstab Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

68 Didaktik der Geometrie 7.68 Jakobsstab Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

69 Didaktik der Geometrie 7.69 Jakobsstab Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

70 Didaktik der Geometrie 7.70 Theodolit

71 Didaktik der Geometrie 7.71 Marine-Sextant

72 Didaktik der Geometrie 7.72 Marine-Sextant

73 Didaktik der Geometrie 7.73 Mathe-Meisterschaft Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 139

74 Didaktik der Geometrie 7.74 Mathe-Meisterschaft Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 139