Die einleitend angesprochenen Zusammenhänge sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt:

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1 Ein konstantes Abstandsrodukt Eckart Schmidt Zu zwei fest vorgegebenen Punkten sind die Ortslinien für Punkte mit konstanten Abstandssummen, Abstandsdifferenzen oder Abstandsverhältnissen Kegelschnitte; zu konstanten Abstandsrodukten ergeben sich Cassinische Kurven mit dem Sonderfall der Lemniskaten. Betrachtet man die Abstände zu vorgegebenem Punkt und vorgegebener Geraden, so erhält man in den ersten drei Fällen wieder Kegelschnitte, zu konstantem Abstandsrodukt aber einen anderen Kurventy, der hier näher untersucht wird. - Diese Ausarbeitung ist eine Ergänzung zu einer Jahresarbeit, eingereicht von Herrn Jürgen Kühl zum Abitur Ostern Vorbemerkungen Die einleitend angesrochenen Zusammenhänge sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt: Abstände Punkt-Punkt Punkt-Gerade konst. Summe Ellisen Parabeln konst. Differenz Hyerbeln Parabeln konst. Produkt Cassini-Kurven??? konst. Quotient Kreise Kegelschnitte

2 Punkte, deren Abstandssumme bzw. Differenz bzgl. zweier fester Punkte konstant ist, liegen bekanntlich auf einer Ellise bzw. Hyerbel. Die vorgegebenen Punkte sind die Brennunkte und die halbe Abstandssumme bzw. -differenz ergibt die große Halbachse. Punkte, deren Abstandsverhältnis bzgl. zweier fester Punkte konstant ist, liegen auf einem Kreis, dem Aollonius-Kreis der Dreiecke über der Verbindungsstrecke mit dem entsrechenden Seitenverhältnis. Punkte, deren Abstandssumme bzgl. eines vorgegebenen Punktes und einer vorgegebenen Geraden konstant ist, liegen auf zwei Parabelsegmenten. Brennunkt der beiden Parabeln ist der vorgegebene Punkt; Leitlinien sind die Parallelen zu der vorgegebenen Geraden im Abstand der Abstandssumme. Dies ist darin begründet, dass Parabelunkte vom Brennunkt und von der Leitlinie den gleichen Abstand haben. Punkte, deren Abstandsdifferenz bzgl. eines vorgegebenen Punktes und einer vorgegebenen Geraden konstant ist, liegen auf einer Parabel oder zwei Parabelsegmenten, je nachdem die Abstandsdifferenz kleiner gleich oder größer als der Abstand des vorgegebenen Punktes von der Geraden ist. Brennunkt ist wieder der vorgegebene Punkt, Leitlinien sind die Parallelen zur vorgegebenen Geraden im Abstand der Abstandsdifferenz. Punkte, deren Abstandsverhältnis bzgl. eines vorgegebenen Punktes und einer vorgegebenen Geraden konstant ist, liegen

3 auf einem Kegelschnitt. Ist das Abstandsverhältnis <1, 1 oder >1, so erhält man eine Ellise, eine Parabel oder eine Hyerbel. In jedem Fall ist der vorgegebene Punkt Brennunkt und die vorgegebene Gerade Leitlinie (Polare des Brennunktes) ([1], S19). Cassini-Kurven Zu zwei festen Punkten im Abstand ist die Ortslinie der Punkte mit einem Abstandsrodukt bekanntlich eine Lemniskate. Legt man den Ursrung eines kartesischen Koordinatensystems in den Mittelunkt der beiden vorgegebenen Punkte, so erhält man die Gleichung ([], S.77) ( x² + y²)² ²( x² y²), bzw. in Polarkoordinaten r ² ² cos(ϕ ). Wählt man ein konstantes Abstandsrodukt q² ², so erhält man die Gleichung ([], S.89) ( x² + y²)² ²( x² y²) q bzw. in Polarkoordinaten r ² r² cos(ϕ ) q. Für q < erhält man zwei symmetrische Ovale, für < q < ergibt sich eine geschlossene Kurve mit Sattel, der für q verschwindet. Für weitere Eigenschaften dieser Cassini-Kurven sei auf die zitierte Literatur verwiesen. Erwähnt sei noch, dass die Cassini-Kurven, sofern es sich um die beiden Ovale handelt, anallagmatische Kurven sind.

4 Konstantes Abstandsrodukt bzgl. Punkt und Gerade Fest vorgegeben sei jetzt ein Punkt P im Abstand von einer Geraden g und ein konstantes Abstandsrodukt q. Arbeitet man in Polarkoordinaten bzgl. P und der zugehörigen Senkrechten zu g, so lässt sich die Gleichung der Kurve unmittelbar in der folgenden Form angeben: r r cosϕ q². Damit können auf einer Geraden durch P zwei bis vier Punkte liegen. Beschränkt man sich auf Argumente π ϕ π unter Zulassung negativer Radien, so können diese wie folgt angegeben werden: ² + q² cosϕ ² q² cosϕ r1 cosϕ, r cosϕ + ² q² cosϕ + ² + q² cosϕ r3 cosϕ, r cosϕ. Von den zugehörigen Punkten existieren R 1 und R immer. R 1 und R bzw. R und R 3 liegen symmetrisch zu einem Punkt Q( ; tanϕ) im Schnitt der Trägergeraden mit einer Parallelen zu g im halben Abstand zu P. Diese Parallele sei als Mittelarallele angesrochen.

5 Die Punkte R 1 und R lassen sich dann wie folgt konstruieren: q² Zeichnet man um P einen Hilfskreis mit dem Radius, der die Verbindungsgerade PQ in den Punkten S 1 und S schneidet, so erhält man die konstruierbaren geometrischen Mittelwerte: ϕ ϕ cos( ) sin( ) QR 1 QP QS1 und QR QP QS cosϕ cosϕ QR ϕ mit tan( ) QR1. Damit sind die Strecken QR 1 QR und QR QR 3 die Radien von Inversionskreisen um den Punkt Q (siehe auch unten), die den Punkt P in die Schnittunkte der Trägergeraden mit dem Hilfskreis überführen. Bezeichnet man den Schnitt der Geraden g und der Trägergeraden mit R, so gilt: PR 1 RR, PR R3R, PR3 RR, PR R1R. Der Sezialfall Eine sezielle Kurve erhält man für Punkte mit dem ² Abstandsrodukt q ², d.h. das Abstandsrodukt ist das Quadrat des halben Abstands von Punkt P zur Geraden g. Diese Kurve besteht aus zwei asymtotischen Zweigen, von denen einer eine Schleife mit Knotenunkt ist. Arbeitet man in kartesischen Koordinaten mit dem Ursrung im Punkt P, so hat diese Kurve die Gleichung ( x ² + y²)( x )². 16 Die Nullstellen N 1 und N und der Knoten K ergeben sich zu ( (1 m ) N1, ;0) und K( ;0). Die Steigungen im Knoten betragen ±. Auf den Tangenten im Knoten liegen auch die Wendeunkte

6 7 W (, ± ) ( Steigungen m11 ). 6 3 Arbeitet man in Polarkoordinaten mit der Gleichung r r cosϕ ², so lassen sich Hoch- bzw. Tiefunkt E als auch die Wendeunkte W wie folgt erfassen: 3 ϕe ε re, sin ±, ( ε + 1) mit ε ; 3 ϕw 1 rw, sin ±. 3 Genauer untersucht seien die Tangenten in den Punkten R 1 bis R einer Trägergeraden PQ; sie haben die Gleichungen: 3 ϕ ϕ t1 : (cosϕ + cos ) x + (sinϕ + sin ) y + 0, 3 ϕ ϕ t : (cosϕ sin ) x (sinϕ + cos ) y + 0, 3 ϕ ϕ t3 : (cosϕ + sin ) x + (sinϕ sin ) y + 0, 3 ϕ ϕ t : (cosϕ cos ) x (sinϕ sin ) y + 0. Die Tangenten in den bzgl. Q symmetrisch liegenden Punkten R 1 und R bzw. R und R 3 schneiden sich in den Punkten ϕ ϕ S1( ( + cosϕ); cos cot ),

7 ϕ ϕ S3( ( cosϕ); sin tan ). Auf eine exlizite Darstellung der weiteren Schnittunkte wird hier verzichtet, jedoch seien folgende geometrischen Eigenschaften erwähnt: S 1 und S 13 liegen symmetrisch zu R 1, S 1 und S symmetrisch zu R, S 13 und S 3 symmetrisch zu R 3 sowie S und S 3 symmetrisch zu R. Die Schnittunkte S 1 und S 3 bzw. S 13 und S liegen auf Parallelen der Trägergeraden im Abstand. Zur Konstruktion der Tangenten sei von einer Trägergeraden PQ mit den Kurvenunkten R 1 bis R ausgegangen, die den Hilfskreis um P mit dem Radius in den Punkten ( S1, m cosϕ; m sinϕ) schneidet. Verbindet man z.b. S 1 mit dem Knoten K und betrachtet den Schnittunkt sinϕ T ( ; ) 1+ cosϕ dieser Verbindungsgeraden mit der an P gesiegelten Mittelarallelen, so ergibt die Siegelung von T an der Mitte der Sehne S 1 K den Tangentenschnitt S 3. Entsrechend erhält man mit dem Punkt S den Tangentenschnitt S 1. Die Verbindungsgeraden R 1 S 1, R S 3, R 3 S 3, R S 1 sind dann die Tangenten in den Punkten R 1 bis R. Die Tangenten in den Punkten R 1 bis R bilden ein vollständiges Vierseit. Die Newton-Gerade des Vierseits, d.h. die Gerade der Diagonalenmitten, ist die Verbindungsgerade der Tangentenschnitte S 3 und S 1, auf der auch der Punkt Q liegt. Der Miquel-Punkt F, d.h. der gemeinsame Punkt der Umkreise der Teildreiseite, hat die Koordinaten (1 + 3cos(ϕ )) 3 sin(ϕ ) F( ; ) 5 + 3cos(ϕ ) 5 + 3cos(ϕ ).

8 Ortslinie der Miquel-Punkte ist ein Kreis um ( ;0) mit dem 3 Radius. Sind Knoten K, R und der Miquel-Punkt F kollinear, so ist R das Maximum bzw. Minimum E. Zu der Konstellation der Tangenten in den Punkten R 1 bis R kann eine Hyerbel aufgezeigt werden, die die Tangentenschnitte S 1, S 13, S, S 3 als auch die Punkte P und R der Trägergeraden enthält. Die Gerade g ist Tangente in R, die Trägergerade Normale in P. Das Zentrum Z( (3 cos(ϕ )); sin(ϕ )) ist der vierte harmonische Punkt, mit dem Q die Strecke S 1 S 3 harmonisch teilt. Verschiebt man den Ursrung des Koordinatensystems in den Punkt Z und dreht es um den Winkel 9sinϕ + sin(3ϕ ) δ mit tan(δ ) 9cosϕ + cos(3ϕ ), dann erhält diese Hyerbel die Gleichung sec ²( ϕ) sec ²( ϕ) 3 u² v² 1. ² ² Polaren von Punkten der Geraden S 1 S 3 bzgl. dieser Hyerbel sind arallel zur Trägergeraden PQ; dabei liegt S 1 auf der Polaren von S 3 und umgekehrt. Der Mittelunkt von S 1 und S 3, der auf der Geraden g liegt, ist Pol der Trägergeraden. Betrachtet man abschließend zu einem Punkt Q der Mittelarallelen die im vorigen Abschnitt angesrochenen

9 Inversionskreise um Q durch R 1 und R bzw. R und R 3, so sei ohne Herleitung erwähnt, dass diese Kreise eine Lemniskate einhüllen, für die das Abstandsrodukt bzgl. P und dem ² Siegelunkt an der Mittelarallelen den Wert hat. Literatur [1] H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Stuttgart. S. 19. [] H. Schmidt: Ausgewählte höhere Kurven. Kesselringsche Verlagsbuchhandlung Wiesbaden,199. Eckart Schmidt - Holstenstraße - D 3 Raisdorf htt://eckartschmidt.de eckart_schmidt@t-online.de